И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Лемма 3. Если  — положительно определенное преобразэвание, то сэшрстврет такое пололсительно опреоеленное преобразование Н, что Н'= В ),мы запишем это так1 Н = $' В = — В ' ~. При этом, если В не вырождено, то и Н не вырождено. )Токазательство. Выберем в й ортогональный базис, в котором В записывается в диагональной форме: Х, 0 ... 0 О Х,...О В 0 0 ... 3'„ Х„Х„..., Մ— собственные значения В.
Согласно лемме 2 все Х;) О. Положим У), о... о О ):), ... О О О ...~')„ где числа $~Х; выбираются неотрицательными. В силу той же леммы 2 преобразование Н положительно опре- а 1Бт РАВЛОЖение лиНЕЙБОГО НРЕОБРАЗОВАння 1б! делена. Прн этом, если В не вырождено, то (см. замечание к лемме 2) ),>О, значит, и Р'Ат> О и, слеДовательио, Н не вырождено.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Пусть А — любое иевырожденное линейное преобразование. Г!оложим Н =)ГААь. В силу доказанных лемм 1 и 3, Н есть невырожденное положительно определенное преобразование. Положиьк далее, и=Н- А. (2) Преобразование Н унитарно. В салюм деле, ~/ ~/ь =- Н -'А (Н 'А) * = Н ' А А ' Н ' = Н 'Н'Н ' = Е. Из (2) следует, что А =НН. Теорема доказана.
Операцию извлечения квадратного корня, примененную в этом параграфе, можно использовать для доказательства следующего предложения: Преть А и  — два мосопряженных преобразования, примем А — невырожденное положительно определенное преобразование. Тогда собственные значения преобразования АВ вещественны. Доказательство. Мы знаем, что характеристические многочлены (а значит, и собственные значения) преобразований Х = АВ и С-'ХС 1 совпадают. Положим С=А'. Тогда 1 1 1 1 С-'ХС=А ' АВА' =А'ВА'. Легко видеть, что полученное преобразование является саьюсопряженным: (А'ВА') =(А') Ве 'тАз) =А'ВА'.
Утверждение доказано. У п р а ж н е н и е. Доказать, что если А и  — положительно определенные преобразования, вз которых одно не вырождено, то преобразование АН имеет неотрицательные собственные значения. [52 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл. н 1 18.
Линейные преобразования в вещественном ьвклидовом пространстве В этом параграфе мы будем заниматься линейными преобразованиями в вещестеенноь[ пространстве. Из материала данной главы для этого достаточно знать содержание Я 9 — 11. 1. Все определения й ! О, а именно определения инвариантного подпространства, собственного вектора, собственного значения, были введены для линейного пространства над произвольным полем и поэтому имеют смысл гакже и для вещественного линейного пространства.
Существенную роль во всей теории играла доказанная в ~ 1О теорема о том, что в комплексном пространстве всякое линейное преобразование имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае вещественного пространства эта теорема неверна. Например, поворот плоскости вокруг начала координат на угол, отличный от йп, представляет собой линейное преобразование, не имеющее ни одного одномерного инвариантного надпространства. Однако имеет место следующая теорема: Т е о р е и а 1.
У всякого линейного првобраэаакия А в вещественном линейном пространстве к' существует одкомерног или двумерное инвариантное надпространство. )1ок азател ьство. Выберем в 1т базисе„е.„..., е„. Преобразованию А отвечает в этом базисе матрипа 11 ам 11. рассмотрим сне[ему уравнений ане, +а,Д, +... +а,Д„= Цо а„,е,+а„Д,+... +а„Д„=Х$„ и будем искать для нее ненулевое решение $'„Ц,..., Ц. Такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель а,„— Х а„ а„— Л ... ап $16) пРеОБРАВОВАния В ВещестВенном пРОстРАнстВе 1БЗ равен нулю.
Приравняв его нулю, мы получим уравнение и-й степени относительно А с вещественными коэффициентами. Пусть Х, есть корень этого уравнения. Возлюжны два случая: а) Х, есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю числа Ц, Д, ..., Ц, являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора х в базисе е„е„..., е„, мы можем систему (1) переписать в виде Ах=К,х, т. е. х порождает одномерное инварианпюе подпространство. Ь) Х,=а+1Р, т. е. Х, комплексно.
Пусть ~1+ Ч1» ~м+ Ч2 '' ю $и+1Чн есть решение системы (1); подставляя эти числа вместо $„$,, . ° ., $„в (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, мы получаем: а,Д,+а,Д,+... +а,Д„=с4,— ~)ЧО ам1,+а„$,+... +а.,„$„=с4а — ))Ч,. (2) а„Д, +а„Д, +... +а„Д„=с4„— (1Ч„ и соответственно а, Ч,+а„т1, +... +а„,й„=аЧ, +ре„ аз1Ч1+ амЧя + ' + аалЧп аЧи + Йз (2') а„,Ч, +а„Ч, +... +а„„Ч„=ссЧ„+рч„. Будем теперь $„$„..., $„(соота. Ч„Ч„..., Ч„) считать координатами некоторого вектора х (соотв. у) в 1с; тогда соотношения (2) и (2') можно записать следующим образом: Ах=ах — ру; Ау=ссу+рх.
(3) Равенство (3) Означает, что двумерное подпространство, порожденное векторами х и у, инвариантно относительно А. линейные пРГОБРазовлния ггл. и В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что вдвумерном инвариантном подпространстае, отвечающем корню Х = а-)- гр, преобразование имеет вид (3).
2. Самосопряженные преобразования Определение !. Линеиное преобразование А в вен(ественном евхлидовом пространстве )с' называется самосопрязхеннгзм, если для любых векторов х и у (Ах, у)=(х, Ау). (4) Пусть е„е„..., е„— ортогональный нормированный базис в )с и х=- й,е, + $,е„+... +$„е„, у = т),е, + т),ее+... + П„егс Пусть, далее, ~г — координаты вектора г=-Ах, т, е. где й' а,ь 'й — матрица преобразования А в базисе е„ е„..., е„.
Следовательно, (Ах, У)=(г, У)= Х ~ге)г = Х агьРанн Ь а=а диалогично, (х, Ау)=- ~~.", АД(ц . с а=г '(5) Таким образом, условие (4) означает, чт. ап„— — а„г Итак, для того чтобы преобразование бьто самосопрялгенным, необходимо и достаточно, чтобы в ортогональнолг нормированном базисе его матраца была симмети гна. Уп ражнен ие. Локааать, по в вещественном пространстве нечетного числа измерения (в частности в трехмерном) у каакаого линейного преобразования есть оаномерное инвариантное полпространство.
З гв1 пввоввлзовлния в вещественном пвостелнствв 1ЗЗ Всякая симметричная билинейная форма А (х; у) в произвольном базисе имеет вид А(х, у)= — ~л а;Д1Ч„ (6) где ам — — ало Сравнивая (б) и (6), получаем следующий результат, который мы используем для доказательства теоремы 3 этого параграфа: Для всякой симметричной билинейной 4ормы А(х; у) суи(ествует такое самосопряженное преобразование Л, что А(х; у)=(Ах, у).
Покажем, что для каждого самосопряженного преобразования существует ортогональный базис, в котором матрппа этого преобразования диагональна. Доказательство будет основано на содержании п. 1. Другое доказательство, не зависящее от п. 1 (и, следовательно, от теоремы существования корня алгебраического уравнения)„см. в $ 17. Предварительно докажем следующне леммы. Л е и и а 1. У всякого салюсопряженного преобразования суи1ествует одномерное инвариантное подпространстзо. Доказательство. Согласно теореме 1 этого параграфа каждому корню ). характеристического уравнения отвечает одномерное инвариантное надпространство, если Х вещественно, н двумерное — если й комплексно.
Поэтому, для доказательства леммы достаточно показать, что все Х вещественны. Предиоложнм, что Х комплексно. Прн доказательстве теоремы 1 мы для такого Х=-а+1() построили двз такнх вектора х н у, что Лх =- ах — 13у, Лу=- рх+ау. Ко тогда (Лх, у)=-а(х, у) — (3(у, у), (х, Лу)=-))(х, х)+а(х, у). ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВйНИЯ [ГЛ. и Так как (Ах, у)=-(х, Ау), то, вычитая из второго равенства первое, имеем: 0=[3 [(х, х)+(у, уЯ и так как (х, х)+(у, у) ~О, то [3=0, т. е. ), вещественно.
Л е м и а 2. Пусть А — самосопряхсенное преобразование, а е — его собственный вектор. Тогда совокупность Г векторов, ортогональных е, образует (и — 1)-мерное инвариантное надпространство. Доказательство. Ясно, что совокупность )с' векторов хЕ )л, ортогональных вектору е, есть (и — 1)-мерное надпространство. Покажелп что Я' инвариантно относительно преобразования А. Пусть х Е )с', т. е. (х, е) = О.
Тогда (Ах, е)=(х. Ае) =-(х, Хе)=),(х, е)=0, т. е. и Ахс)т'. Т е о р е л[ а 2. Суи[ествует ортогонаяьный нормированный базис, в копюром матрица самосопрялсеннога преобразования А диагональна. Док азательство. Согласно лемме 1 преобразование А имеет хотя бы один собственный вектор е,. Обозначим через й' подпространство, состоящее из векторов, ортогонсльных е,. Так как Й' инвариант[[о, то в нем, согласно той же лемме 1, также существует собственный вектор; обозначил[ его е,. Продолжая это построение, мы получим и собственных векторов, из которых каждый следующий по построению ортогонален к предыдущим, т.
е. получил[ и попарно ортогональных собственных векторов е„е„..., е„. Выберем их за базис в К. Так как Ае[=) е[ ([=1, 2, ..., и), то матрица преобразования А в этом базисе имеет вид Х,О ... 0 О )Н...О 0 0... Х„ т. е. является диагональнои л[атрицеи. $1б1 пРеОБРАЗОВАНиЯ В ВвщвстВЕННОМ пРОСтРАНСТВЕ 157 3. Приведение квадратичной формы в ортогональном базисе к сумме квадратов. (Приведение к главным осям.) Пусть в и-мерном евклидовом пространстве задана симметричная билинейная форма А (х; у). Как было показано выше, каждой симметричной билинейной форме А(х; у) соответствует такое линейное самосопрямсенное преобразование А, что А(х; у)--(Ах, у). Согласно теореме 2 этого параграфа, существует ортогональный нормированный базис е„е„..., е„, состоящий из собственных векторов преобразования А (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
