И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 28
Текст из файла (страница 28)
О 0 0 0 ! ... 0 0 1= 0 0 0 ... 0 ! 0 0 О ... О О Зажгим, что матрицы Г', /з, ..., /р-! имеют следующий вид е); 0 0 1 . ... 0 /Ооо...о 0 0 0 ! ... 0 ! ~ 0 О О ... О О /! . . . . . . . . . ~ /р ! ооо.... 0) !(Ооо ... Оо 0 О 0.... 0/ 'чООО...ОО /Р=/Р" '=... =О. Теперь нетрудно вычислить произвольный многочлен от матрицы (3). Действительно, миогочлен Р(1) можно по формуле Тейлора представить в внле () )+( (1 — Д!)э ...+(' — ) )" Р (Л) и! ! ") Проще всего это сосчитать так.
Мы имеем /е, =О, /е,=е,, ..., /е =ер,. Следовательно, 1те,=0,1эе =О, /те =е,, ... 1те =е, . Айалогичио, /эе! —— /ее!='/вез=О, /зе! — — е, ... /зе $ !61 НОРМАЛЬНАЯ ФОРА!А ЛннвйнОГО НРЕОБРАЗОВАНия 177 где л — степень миогочлена. Подставляя вместо ! матрицу А„имеем: Р (Ад =р (Х,) Е+(А! — Х,Е) Р' ()ч)+ Р" ()ч)+... (А! — ХтЕ)з +(А,— Х,Е)л л! Но А,— ! тЕ=1, следовательно, Р(А!)=Р(Х!) Е+Р'(Хд1+ ! 1т+...+ ! 1". л! г)Р х Р (!д Р (хд Р!е !! (!!) 1! 2! ''' (р — 1)1 Л !! "' (р — 2)! Р(А )= О О О Р (Х!) Мы видим, таким образом, что, для того чтобы вычислить много- член от одной клетни нормальной форл!ы порядка р, достаточно знать значение этого многочлена и его производных до порядка р — 1 в точке Аг, где Х! †собственн значение, отвечаю!цее клетке.
Отсюда следует, что если матрица А имеет нормальную форму (4) с клетками порядков р, о, ..., ь, то для вычисления матрицы Р (А!) достаточно знать значения Р (!) в точках г=х„ А„ ..., Аа с пройзводными до поряднов р — 1, о в !..... з — 1 соответственно. Мы докажем следующую теорему. Теорема. Пусть в комплексном и-мерном пространстве задано линейное преобразование Л.
Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразовании имеет нормальную 4юрму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2). Два независимых доказательства сформулированной теоремы будут даны в 2 19 и 20. Кроме того, важная теория инвариантных множителей и Х-матриц дает нам третье независимое доказательство этого результата. Подставляя вместо 1. )з, .... 1Р ! их выражения н учитывая, что 1Р=1Р+! =...
=-О, получаем окончательный вид магртщы Р (А,): 178 КАНОНИс[ССКИИ ВИД ЛИНЕЙНЫХ НРЕОБРАЗОВАНИИ [ГЛ. [и й 19. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме Мы уже упоминали в р 18, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т. е. когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (кх точное определение будет дано чуть позже). В этом параграфе дается способ построения базиса, в котором матрпна преобразования Л имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой способ выбора является, в некотором смысле, наиболее естественным а).
Перед этим параграфом мы рекомендуем читателю перечитать п. 4 $ 9 и разобрать приведеннье там прнмеры. 1. Собственные и присоединенные гекторы гнгнейиого преобразования. Пусть 2., †некотор собственное значение преобразования Л. Мы уже имели раньше такое определение. О и р е д е л е н и е 1. Вектор х =~= О называется собственным вектором првобразг!вата!я А, втвечагва[ил! агбсгпвечному значении й„если Лх.=Х х, т. е. (А — )ь,Е)х=О. Рассмотриы совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном )са. Роно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства гт'. Мы обозначим его Жха',~. Легко видеть, что й[),,! инвариантно относительно преобразования Л (проверьте!).
Заметим, что надпространство Ж(" ,состоит нз всех собственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению Х„к которым добавлен еще нулевой вектор. О п р е д е л е н и е 2. Вектор х называется присоеданенньии вектором 1-го порядка преобразования Л, *) Сн. также И. Н. Про с кур я к о а, Сборник ладан ио линейной алгебре, где инее!ся аналоги шос докааательстао. ( 19) ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ )тз о(пвечаюцил( собс(пленив»(у значению Х„еслсс еехпюр у = (А — )(оЕ) х является сабспаенным векпюрол( превбраз(я)анин А. Пусть ).,— собственное значение преобразования Л.
Рассмотрим надпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие (А — Х»Е)о х = О, (2) т. е. ядро преобразования (Л вЂ” Х»Е)о. Обозначим это потпространство У„,; У», является инвариантным подпро- (9), (9) странством пространства )(. В самом деле„пусть х Е У",', т.е. (А — Х,Е)ох=-О. Нам надо доказать, что и вектор Ах~ У)~), т.е. что (Л вЂ” Х„Е)о Ах=О. Но преобразование Л перестайовочно с (Л вЂ” Х,Е)о, т. е. (А — ХоЕ)о Ах= Л(А — Х»Е)'х=О. Рассмотрим несколько более подробно структуру про- странства У)9). В нем есть векторы двух типов.
Если х Е У(),', т. е. (А — )оЕ) х = О, то подавно н (А — йоЕ)ох=-О, т.е. хбЛх»). Таким образом, У»(:) цели- ком содержится в У)'~. Если хЕ У(„,), но х~У~~,',~, т. е. (А — воЕ) х ~ О, (А — Х,Е)* х = О, то х — присоединенный вектор 1-го порядка. Действи- тельно, в этом случае у=(А — Х»Е)х есть собственный вектор. Таким образом, подпростраиство У~ ) получается, если к надпространству У) добавить присоединенные векторы ()) 1-го порядка. Аналогично вводим подпространство У»,, состоящее (») из всех векторов х, для которых (А — Х»Е)» х = О.
(3) Это подпространство инвариантно относительно преоб- разования А. Ясно, что подпространство У~„) содержит предыдущее подпространство У(„ (60 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОВРАЗОВАНИП (ГЛ. П! Определение 3. Вектор х называется присоединенным вектором Й-го порядка, если вектор р= (А — ЛоЕ) х есть присоединенньш" вектор порядка Й вЂ” 1. По индукции можно показать, что если х — присоединенный вектор Й-го порядка, то (А — Й,Е)А х ~= О, (А — )(,Е)~"' х = О. Другими словами, присоединенным векторам Й-га порядка называется вектор, принадлежащий М,+ ' и не при(л+(! надлежащий Жл,!.
(А! П р н м е р. Пусть !г — пространство многочлснов ст и пени ( и†1 и преобразование А †дифференцирован: АР (1) = †„ Р (1). (( Легко видеть, что 1=О есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор Р(()=сопл!. Найдем для этого преобразования подпрострапства !У(во!. По определению (У~~~! состоит из всех мпогачленов Р((), для которых А"Р(1)=О, т. е. ((А —,Р(1)=О. (((А Эта будут все многочлены, степень которых не превышает Й вЂ” 1. Присоединенными векторами Й-го порядка будут миогочлспы, степень которых в точности равна Й вЂ” 1. В этом примере размерность каждого из надпространствв равна Ф(в! и она растет от 1 до и вместе с ростом Й. Подпрастранство й(ов"! уже совпадает со всем пространством Я, и если мы закатил! определять й((в"+ (, й(~~""~! и т.
д., та все эти подпространства будут совпадать с (Ч(в !. Легко видеть также, что в этом примере А!Чв = Й(в . (А+ Ц (и Это следует из того, чта каждый многочлен степени Й есть производная от мнагочлена степени Й+ 1. (в( ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМЛЛЬНОЙ ФОРМЕ $ (Ч У и р аж не н не. Показать, что лля л(обого линейного преобразования А имеет место равенство (А — Хое) й(~л " — — Л(~л ~. Пусть А — линейное преобразование, а ла — его собственное значение. Покажем, что подпространства (т') ', '(У~ ~',...
сначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера р(п„этот рост прекрашается, т. е. (тл, == ('т'М (ГО СР+(( (см. приведенный в этом пункте пример). Мы утке показали, что каждое подпространство (т'~ (е( содержит (уь, ', т.е. что с увеличением номера подпространства (Ч(( ', а значит, и их размерности, могут только увеличиваться. Так как наше пространство конечномерно, то для какого-то р(п мы впервые получим, что Л(~лв'=(уь(Р+" (см. упражнение на стр. 22). Докажем, что в этом случае (ткгв' н= Ж(ЛР~ (=..., т.
е. что дальнейшего возрастания подпространств происходить не будет. Действительно, предположим противное, а именно, что Ьл(Реп=-(((к(Р', но для некоторого ( >О подпространство ((((Р+'+н строго больше, чем (((л(Р+о. Тогда существует вектор х такой, что ..- лНР+(+(( — лл(Р+О хс л.м, хЕ.'л, Это значит, что (А — Р,,Е)Р+(+'х=О, но (А — ХаЕ)Р+(х~О. (4) Обозначим через у вектор у=(А — «вЕ)(х.
Тогда первое из равенств (4) означает, что уЕ)((г(Р+н, а второе, что у ~ (к'к(Р,, что невозможно, так как подпространства ((('а+и и (т')Р( по предположению совпадают. Итак, пусть 3.,— некоторое собственное значение преобразования А. Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства Йл,, (Р( )а2 клноничнскии вид линннпых пппонрлзовлиии )гл, ги состояп;его из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
