И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Заметим, что всякие ликейно зависимые векторы нз Р относительно линейно зависимы над любым подпространством. Определение 5. Базисол пространства Я опгносителено Надпространства ггг называется такая систела е„..., еь линейно независимых векторов из гг', которая после пополнения каким-нибудь базиагл из Я, образует базис во всем пространстве.
Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в гс„дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить еектор исходного базиса из ]гг'О Число векторов в таком относггтельногг базисе равно разности размерностей пространства и подпространства. Всякую систему относительно линейно независимых векторов над К, можно дополнить до относительного базнса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпростраиства гс,. Получится некоторая система векторов из гс, которые, как легко проверить, линейно независимы.
Чтобы получить относетельный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всех] пространстве Я, а затем отбросить базис подпространства. Итак, пусть преобразование А в пространстве гг' имев~ только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю. Рассмотрим снова цепочку (5) подпространств, полученных в п. 1: О ]уп'г=...
=Л" '=-Л" е . гг гг . э где подпространство Лггяг есть ядро преобразования А", Так как преобразование А в прсстрапстве й нс имеет отличных От нуля собственных ззачений, то, очевидно у»г сов]икает нрн этом со всем пространством ]т. !ЗЗ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ !Гл. !И Выберем в максимальном из этих подпространств Ф(Р! базис относительно содержащегося в нем подпространства Ф,'Р ".
Пусть векторы этого базиса будут е„..., е. Очевидно, что это будут присоединенные векторы (р — 1)-го порядка. ! )ы уже видели (см. упражнение на стр. 181), что АЖ,!Р!=- )Уе!Р ". Поэтому векторы Ае„ ..., Аее лежат в Щ ". Покажем, что эти векторы линейно независимы в Ж',Р " относительно лежащего в нем подпространства !У,'Р ". Действительно, пусть не все а,==О и а, Ае, +... -1 аеАее = А (а,е, +... -( а„е,) е !У(Р " 'Тогда вектор к=а!е,+... +а его)У!!Р ", а это противоречит предположению, что векторы е„...„е линейно независимы над Н!!Р ".
Дополним вектор Ае„ ..., Ае до базиса в Ф!Р-" относительно )у!Р ". Яы получим тогда !) +з векторов Ае„..., Ае, 1'„..., 1„ которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка р — 2. Снова применим к этим векторам преобразование А и полученную систему векторов нз У!Р "дополним, как и вьане, до базиса в )у„'Р " относительно д!!Р-з!. Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства !т'!О и выберем базис в этом пространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.
Расположим полученные векторы в следующую таблицу е, ... ее Ае,... Аее (12) АР 'е,...АР !ее АР '),...АР '1,...)!!...Ь„ ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМАЛЪНОЙ ФОРМЕ $19! Ае, =О. Дальше, по определению, Ае,= ААР 'е =-АР 'е =-е, 1 1 1 и аналогично Ае, =-е„ Ае =е„,. Таким образом, преобразование А переводит векторы первого столбца снова в себя, т. е. подпрострапство 11'„ натянутое на этн векторы, инвариантно относительно А. Матрица преобразования А в подпространстве 111 в базисе е„..., е имеет внд !....,! О О 1 ... О О (13) ~О О О ... О ОР Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве Л11П.
Векторы двух нижних строк образуют базис в )У1", так как зто есть базис У1" относительно Л11о в соединения с базисом Л'1". Векторы трех нижних строк образуют базис в Л»11 и т. д. Наконец все векторы таблицы образукп базис в Л1191, т. е. во всем пространстве К. Покажем, что в этом базисе матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим пронзвольный столбец таблицы (12), например, для определенности первый. Обозначим для удобства АР 'е, через ео АР 'е,— через е, н т. д. н рассмотрим действие преобразования А на каждый из этих векторов. Так как е, — собственный вектор, отвечаюший нулевому собственному значени1о, то ~90 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД Л$ШЕЙНЫХ ПРЕОВРЛЗОВЛНИЙ 1ГЛ.
П1 с е. это есть жорданова клетка, отвечающая собственному значению ) =-О. Аналогичное инвариантное подпро:транство отвечает каждому из столбцов таблицы (12), н размерность каждого такого подпространства равна числу )екторов в соответствующем столбпе. Так как матрица треобразовання А в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца таблицы (12), имеет вид (13), то матрица преобразования во всем пространстве Й в базисе, остоящем из всех векторов таблицы (12), состоит нз жордановых клеток, число которых равно числу столбюв в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу ~екторов соответствующего столбца.
Если вместо преобразования А рассмотреть преобраюванне А+1,Е, то, так как матрица преобразования 1.,Е диагональна, мы получим тот же результат для прсзоразования пространства Я, имеющего только одно собгтвеннос значение, раьнсе произвольному числу ,".оответствующие жордановы клетки матрицы преобразования А+1,Е будут иметь внд: 1 0...0 0).,1...0 (14) 0 0 0...~, Вспоминая теперь, что для произвольного преобразования А мы можем разложить пространство й в сумму инвариантпых подпространств, в каждом из которых преобразование А имеет только одно собственное значение (см.
формулу (11)), мы получаем отсюда полное доказательство теоремы 2 18. 2 20. Другое доказательство теоремы о приведении к нормальной форме Это доказательство мы будем вести по индукции, именно предположим, что для линейного преобразования в пространстве п измерений такой базис существует, и докажем, что мы можем найти ну кный базис в пространстве !яв] ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРИВЕДЕНИИ ]9! п+1 измерений. Для доказательства теоремы нам понадобится сгедующая Лемма.
ог всякого линейного преобразования А в и- мерном колтлексном пространстве г( существует хотя бы одно (и — 1)-л]ерное инвариантное надпространство й'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим преобразование А*; у него, как и у всякого преобразования, есть собственный вектор е Аве=Хе. Покажем, что (и — 1)-мерное поцпространство ]с', состоящее из гекторов х, ортогональных *) е, т.
е. для которых (х, е)=-О, инвариантно относительно А. Действительно, пусть хЕ)с', т. е. (х, е) =-О. Тогда (Ах, е) =(х, А*е)=(х, ).е) =О н, значит, Ах также принадлежит )с'. Инвариантность подпространства )с' относительно преобразований А доказана. Докажем теперь сформулированную выше основную теорему этого параграфа. Пусть А †произвольн линейное преобразование в (и+ 1)-мерном пространстве Я. Согласно лемме, в )с' существует и-мерное подпространство й', инвариантное относительно А.
Так как в и-мерном пространстве мы предполагаем'теорему доказанной, то в )1' существует базис, в котором линейное преобразование имеет нормальную форму. Обозначим этот базис в ]с' через е„е„..., е; 1„]„..., !ч; ...; Й„)г„..., Ь„ где р+д+... +э= и.
Б этом базисе линейное преобра- *) ]Иы здесь используем наличие в я скалярного произвеае. ния, т. е. считаем пространство Й евклидовым. Незначительнык изменением доказательства можно освободичъси от згого предположения и иа протяжении всей главы считать ]1 аффинным прост. рансгвом. !92 КЛНОНИЧЕСКИИ ВИД ЛИНЕЙНЫ К ПРЕОБРЛЗОВАНИИ !ГЛ, 111 зование в и-мерном подпространстве Г имеет вид Ае, = Х,е„ Ае, =- ег + )с,е„ Аер — — е, + Х,е, А(, = Х,~ы 'Ча= 1!+)4а А(е —— ('е а+Л„Гч, АЬ, = Х„Ь„ АЬ, == 61+ ХАЬ„ АЬ, =- Ь,, + Х Ь,.
Дополним этот базис каким-нибудь вектором е, который вместе с е„е„..., ер! ~ы ~„, ..., ~ч, '', Ь„Ь„ ..., Ь, составляет базис в )с. Прйменим к е преобразование А и разложим полученный вектор Ае по векторам базиса: Ае = и,е+... +агар+ ()1), +... + ()ч!ч+... ...
+ 6,Ь, +... + 6,Ь, + те*). Мы можем считать, что т=О. В самом деле, если в некотором базисе А имеет нормальную форму, то А — тЕ также имеет в этом базисе нормальную форму. Поэтому, если тчлО, то можно вместо преобразования А рассмотреть преобразование А — тЕ, причем А и А — тЕ, согласно сделанному замечанию, имеют нормальную форму в одном и том же базисе. *) Линейное преобразование А имеет в (л+!)-мерном пространстве Х! собственные значения )ч, лм ..., ла н т. Действительно, напипмм матрицу преобразования А в базисе е„еа, ..., е1,', (1, )а, ...
-" )д". " ' Ьы "г...., ЬА е. Она будет треугольной матрицей, в кото. рои йо диагонали стоят числа хг, Ц, ..., Ц и т. Так как собственными значениями треугольной матрицы явля1отся числа, сгояп1ие го диагонали (см., например, $ 1О, п. 4), то !и, Хт, ..., Ха и т будут собственными значениями А в (л+ 1)-мерном пространстве. Таким образом, при переходе от инвариантного и-мсраого к (л+ 1)-мерному пространству добавилось одно собственное значение; т.
З 201 дРуГОе докАЗАтельстВО теОРемы О ПРнВеденни ! 3 Мы полагаем, следовательно, что Ае=ие,+... +и е +(1,1,+... ".+()дауд+" +бй1+ * +бра (1) Теперь постараемся заменить вектор е вектором е' так, чтобы после этой замены вектор Ае' стал возможно проще. Будем искать Вектоо е' в виде ...
— Р 1 —... — в,й, —... — Ы,й,. (2) Мы имеем Ае'=-Ае — А (х е, +... +х,е )— — А (р,(, +... + р )'„) —... — А (в,й, +... + ы,й,), или, пользуясь формулой (1), Ае' = и,е, +... + ире, + (Ц, +... + Ц)ч +... ... + Ь,й,+... +б,й,— А(х,е, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
