И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кроме того, в п. 3 нам понадобится более детальная структ)ра ЛФ,'. А именно, обозначая через Ф)»' подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка = й — 1, мы получили возрастающую цепочку инвариантпых подпространств О с Л),".' с И„'." с... с Л',",'. (5) Все члены этой цепочки различны. Подпрсстрапство ЛЯ состоит при этом из всех векторов х, для которых (А — )чЕ)л х = О, т.е. это есть ядро преобразования (А †).,Е)а. Преобразование А †,Е переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее. 2. Втвделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение. Пусть Р., — некоторое собственное значение преобразования А.
В этом пункте гиы покажем, что пространство Е можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение ),„а во втором у преобразования А уже нет собственного значення )ч. Не ограничивая общности, можно считать, что )ч =-О.
Действительно, пусть )гтфО. Рассмотрим преобразование В=А — )чЕ; оно уже имеет собственное значение, равное нулю*). Очевидно также, что инвариаитные надпространства преобразований А и В совпадают. Итак, впредь мы будем считать, что преобразование А имеет собственное значение Х = О. Докажем наше утверждение сначала для частного случая, когда в просгпринсгпее нет присоеоиненных векторов, отвечглои(их этому собсгпаенному значению, а есть только собственные векторы е ').
') Б самом деле, если л,— собственное значение преобразования А, т. е. АВ=Хг) (Г Ф О), то В).=(А — лтЕ))=0, т. е.. / — собственный вектор В, отвечающий собственному значению л= — В. еч) Хотя потом наше утверждение будет независимо доказано для общего случая, рассмотрение этого частного случая полезно, так как, во-первых, ва нем более выпукло видна основная идея доказательства и, во-вторых, становится очевидной необходимость введения подпростраиств, отличных от введенных здесь )уе и ЛП 1зз ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМАЛЬНОГ9 ФОРМЕ 9 191 г(ам нужно построить два инвариантных надпространства, прямая сумма которых равна 1г. В качестве первого нз них, в кагором Х =-О есть единственное собственное значение, люжно взять совокупность Л'9 всех собственных вектороз, отвечающих собственному значению )9=-0 или, другими словамн, ядро преобразования А.
В качестве второго надпространства возьл9ем образ М пространства 17 при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у=-Ах, где х пробегает все пространство )г. Легко видеть, что каждое из этих надпространств инвариантно (это доказана в и. 4 Э 9). Докажем, что онн дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра н Образа для любого преобразования А равна п (см. п.
4 5 9), то достаточно доказзть, что пересечение этих надпространств равно нулю. Иредположилп что это не так, т. е. пусть существует вектор уФО такой, что усМ и уб)У9. Так как усМ, то оп имеет внд у= — Ах, где х — некоторый вектор нз )г. Так как у~)У„та Ау=О, где у~О. (7) Равенство (7) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению Х=-О, а равенство (б) прн этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению 1=О.
Таким образом доказано, что подпространства М и )У9 не имеют общих векторов кроме нулевого. Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна и, мы получаем отсюда, что пространство Я разложимо в прямую сумл9у инвариантных надпространств М и )ул: М+ ~~о' 3 а и е ч а н н е. Из приведенного вьппе доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от [аа клнсническин Вид линейных и!«есн»дзовлнип [Гт!.
[[! нуля в том и только том случае, когда преобразование Л имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению ),=-О. Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению ) =О. Подпространство Ж, при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающих собственному значению )с=-О.
Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим ). Итак, рассмотрим введенное в п. 1 инвариантное подпрсстранство Ж!»', состоящее из всех собственных и присоединенных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению ).=О. Как мы помним, оно является ядром преобразования А», т.
е. состоит из всех векторов х, для которых В качестве второго слагаемого прямой суммы мы возьмем надпространство М'»' — образ пространства )т' при том же преобразовании Л». Легко видеть, что М'»' также инвариантно относительно преобразования Л. Действительно„если у Е М!»«, т. у=А»х, то Ау = Л» гх = А»[Ах), т. е. Ау также принадлежит М!»!. Теорема. Пространство )т' можно разложить в прямую сумму инвариантных надпространств )у,'»' и М'»!, При этом подпространство Ф«!»! состоит только из собственных и пригх«единенньгх векторов, отвечающих собппвенномг[ значеншо )« =О, а в подпространстле М'м преобразование А обрапшмо [т.
е. 1 = О не является собственным значением преобразования А в надпространство М'»'). Для доказательства первого утверждения нам, как и в рассмотренном выше частном случае, достаточно показать, что пересечение надпространств гтг«!»! и М'»' равно нулю. *) Что М «слишком всликоэ, видно при атом не только из соображснна раамерносги, но также и иа того, что [[[ пересекасгси дажв с самим !«[а, а не только с его расширением. ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ з !ч Допустим противное, т.
е. пусть существует вектор у-"О такой, что уЕ М'Р' и уЕ №Р'. Так как у ЕМ'Р', то у=АРх. (8) Далее, так как уЕФУ', то Аеу = О. (9) Но из равенств (8) и (9) следует, что существует такой Вектор х, для ЕОторого А х=~О и в то же время А'Рх=- Аеу--=О. Это значит, что х есть присоединенный вектор преобразования А с собственным значением ) = О, не принадлежащий подпространству Лп~", что невсвможно, так как )у,'Р' состоит из всех таких Векторов. Таким образом, мы доказали, что пересечение №Р' и М~Р равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпрострапств равна и (это ядро и образ преобразования АР), то отсюда следует, что пространство )с раскладывается в прямую сумму этих подпространств: й= МОР + Л'.".
()О) Докажем теперь второе утверждение теоремы, т. е. что в подпространстве М'Р' преобразование А не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было не так, то в М'Р' существовал бы вектор х~ О такой, что Аех =- О. Но это равенство означает, что х~Л7", т. е. является общим вектором М'Р' и №»', а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль. Теорема доказана полностью.
Теперь мы можем ссвободиться От предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт. Если ), — некоторое собственное значение преобразования А, пю пространглпво К можно разложить в прямую 186 кАНОПИЧЕСКип ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРА30ВАНИЙ 1гл. И1 сул!му инвариантных подпрасп!ранств 1!с» и )с, в первом из которых преобразсвание А имеет люлько собственное значение Л1, а во втором все собспшенные значения А оп!личны от Л,. Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве 11 и к некоторому собственному значению Л, этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвеча1ощее собственному значению Л«Продолжая этот пропесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следующей теоремы: Тсорема. Пусть преобразование А пространства 1« ил1еет я различных собспменных значений Л„..., Л .
Тогда й можно риала»сить в прямую сум»1у й инвариантных надпространств Д1)м ..., 1У;,~н: р»!(Р 1+ +»!1»«1 (11) Каждое из подпрвсп!ране!ив 1ч'1!Рв с1ктоит только из собственных и присоединенных векторов, Отвечаюа1их собственному значеншо ЛР Другими словами, для каждого 1' существует такое число Ри что длЯ всех х~Л!1»в (А — Л1Е)Р! х = О.
У нас осталась еще только одна, впрочем, не менее важная задача †выбра в каждом из этих надпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форл1у. Это будет сделано в следующем пункте. 3. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением. В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в и ространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид. В Общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.
Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, л«ы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав ]ет ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ $19] некоторый базис в подпространстве г]гег и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А. Введем предварительно некоторые понятия, удобные для дальнейшего. Определение 4. Вектора из пространства гс называются относительно линейно независимыми над подпространспыои ЙО если никакая их линеиная комбинпг]ия, отличная от нуля, не принадлежит Кг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
