И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 32
Текст из файла (страница 32)
По той же лемме совпадают между собой общие наиболыпие делители миноров й-го порядка у С '(А — ЛЕ) и С '(А — ЛЕ)С=А' — ЛЕ. Следовательно, Рл(Л) для А и А' равны между собой. Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из леммы 2 вытекает следующая Т е о р е и а 1. П!!сгпь А — линейное преобразование. У'огда наиболыиий общий делитель Р„(Л) миноров й-го порядка латрт1ы А — ЛЕ, где А — матрица преобразования А в некопвром базисе, не зависит от выбора базиса. Перейдем к вычислению многочленов Рь(Л) для данного линейного преобразования А. В силу теоремы 1, прп их вычислении можно пользоваться матрицей линейного преобразования в л!обом базисе. Выберем базис, в котором матрица линейного преобразования имеет жордапову нормальную форму.
Нам нужно, следовательно, вычислиуь многочлены Р„(Ц для матрицы А, имеющей нормальную форму. Найдем сначала все Р„(Л) для матрицы и-го порядка вида !Ям 1 О ... О ! 0 Л,1 ... О 000..1 о оо...л, 200 кдноническия внд лннниыых преоврлзовднии [гл. гн т. е. для одной мсяетки» нормальной г))орьчы. Иы имеем О„(Х)=().— ) ч)". Если в матрице (1) зачеркнуть первый столбец и последнюю строку, то получим матрицу А„ в которой по диагоналя стоят единицы, а над диагональю нули. Поэтому О,,();) =!.
Вычеркивая далее в матрице А, строки н столбцы с одинаковыми номерами, мы сможем доказать, что и О., (Х) =-....= О, (к) =- 1. Окончательно мы имеем, что для отдельной клетк '1»)атрицы (1Я последовательность О» (Х) следующая: ('" йа) Далее, заметим: пустив матрица В имеет вид ~О'В,) где В, и В,— какие-либо матрицы порядков п, и и,. Тогда отличные от нуля минора т-го порядка матрицы В имеют вид где Л)))) — миноры т;го порядка л)атрицы В„а с)м)') — миноры т;го порядка матрицы В„*).
Действительно, если выделить те из первых и, строк, кспорые входят в состав данного минора, и разложить по инм минор (воспользовавшись теоремой Лапласа), то этот минор будет либо равен нулю, либо иметь вид Ь~",й"'„, . Найдем теперь миогочлены Оа(») для произвольной матрицы А, имеюшей жорданову нормальную )рорму. Яы предположим, что в матрице А имеется р клеток, отвечающих собственному значению й„ц клеток, отгечающих собственному значению Х,„, и т. д. Обозначим порядки клеток, отгечакицих собственному значению ),„ через п„п„..., пр (п,)п,)п, ...)и„). ') Отличный от нуля минор Ь» а-го порядка матрины т) может, конечно, иметь вид Ьь, т.
с. быль составлен из элементов й)). <и о) (2) В этом случае мы его зинин)ем формально в виде Ьа=Ь» Ь», где положено Ьч =.К )») инвхгилнтные множители ) 21) Матрица В=,А — ЛЕ распадаегся на отдельные клетки Ви из которых, например, В, имеет вид ,— Л 1 О... 0 О!ч — Л1...0 в,= 0 0 0 ... ! О О О...Л,— Л Вычислим сначала Т)„(Л), т. е. определитель матрицы В. ,)н равен произведению определителей матриц Вн т.
е. (!) (Л ! ) л,+л,+...+и (Л ), Уи,+е„+.. (~ц Перейдем теперь к вычислению 0„, (Л). Так как 0„((Л) есть делитель многочлена 1)„(Л), то О„((Л) со=гонт из множителей Л вЂ” Л„Л вЂ” Л„... Вычислим, в какой степени в 11„((Л) входит ! — Л,. Для этого заметил(, что произвольный отличный от нуля минор (и — 1)-го порядка матрицы В=А — ЛЕ имеет вид дп)д)() д(~) где 1,+1,+... +! ==и — 1, Д(((' — миноры порядка матрицы Ве Так как сумма порядков миноров д((,", ...
равна п — 1, то один и только один из этих ((и(норов имеет порядок на единицу ниже, чем порядок соответствующей матрицы Ви т. е. получается из соответствующей клетки матрицы В вычеркиванием одной строки и одного .толбца. Мы видели, что в отдельной клетке мы можем вычеркиванием одной строки н одного столбца получить минор, равный единице (см. стр. 200).
Поэтому мы )(юже(и подобрать Д„ , так, чтобы какой-нибудь один из миноров д(( стал рави).н(( единице, не меняя прн этом осталь(и ных„равных определителям соответствующих клеток. Отсюда ясно, что, для того чтобы получить минор, содержащий Л вЂ” Л, в возможно более низкой степени, достаточно вычеркнуть с(року и столбец в клетке, отвечающей Л( н имеющей наибольший порядок, а именно порядок л,. Таким образом, наибольший общий дел(пель В2 КАНОНИэ!ЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 1ГЛ.
1Н 0„, (Л) миноров (п — 1)-го порядка содержит Л вЂ” Лэ в степени и,+и,+ .. 4-пр Аналогично, среди миноров (и — 2)-го порядка наиниз- ШуЮ СТЕПЕНЬ Л вЂ” Лэ СОдЕр1Кнт МИНОР А„„ПОЛуЧЕННЫй вычеркиванием по строке и столбцу из клеток, соответствующих собственному значению Л, и имеющих порядки и, н и,. Таким образом, О„э(Л) содержит Л вЂ” Лэ в степени и,+и,+... +пр и т. д.
Наконец, О„р(Л), О„р,(Л), ..., 0,(Л) вовсе не содержат Л вЂ” Л,. Совершенно так же мы выясняем, в каких степенях в ОА(Ц входят множители Л вЂ” Л„Л вЂ” Л„ Итак, мы доказали следующее утверждение: Пусть матрица преобразования А имеет лсорданов11 норл1альную форму, в котороэл имеется р клеток порядков п„п,„..., п„(п, ) п, ~... ~п„), отвечающих собственному значев1ю Л„д клеток порядков т„т„, 1пч (т, ) т, )...
~~ тч), отвечтощик собственному значению Л„и т. д.; тогда 0 (Л) = (Л вЂ” Л )эээ+Аэ+эээ+ ° ° ° +Ар (А — )м)эээ+эээ+эээ+ ° ° +~1... 0 (Л) (Л Л )э +и +...+ээр(Л Л )ээ +ээ +...+ээг О„,(Л) =-(Л вЂ” Лэ)"э+" + "Р(Л вЂ” Л,)'" +. "+"'1..., При этом, начиная с В„р(Л), множитель (Л вЂ” Л,) ... заменяется единицей, начйная с О„ч(Л), множитель (Л вЂ” Л,)...
заменяется единицей и т. д. Рассмотрим важный пример. Пусть собственному значению Л, отвечает лишь одна клетка, порядок которой равен п„собственному значению Л,— только одна клетка порядка т„Л,— одна клетка порядка й, и т. д. (т. е. собственные значения, отвечающие различным клеткам, различны). Тогда 01(Л) имеют вид 0„(Л)=(Л вЂ” Л,)- (Л Лэ)- (Л вЂ” Л,)"..., 0„, (Л) = 1, ОР-э (Ц = 1э Указанный выше общий вид для ОА(Л) показывает, что вместо многоч копов О„(Л) удобнее ввести их инвлеиьнтс!ьгв мне)китвли Ф гг! отношения с)д (Х) Е ()=г) Г А-г( ) Многочлены Еь(Х) называются инвариантными множителями.
Таким образом, если мптрицп А илсеет жорданову нормальную цгорлсу, в которой имеется р гклетокг) порядков п„п„..., и (п, > п,)...) и„), отвечаюсцих собственному значению ) г, ц чклгслокь порядков т„т„..., т (т,)т, ь...)т ), отеетющих собственному значению ).е и т. д., то инвариантные лсножители ЕА (Х) имею)я вид Мы видим, что задание последовательности инвариантных множителей Е„(Х), Е„,(Х), ... полностью определяет жорданову нормальную форму матрицы А; собственные значения Хы получаются как корни уравнения Е„(с.)=0. Раз)геры же п„п„..., и, клеток, отвечающих данному собсгьенному значению г.„равны степеням, с кон)рыми двучлен ).— Х, содержится соответственно в Еи(Х), Е„,(Х), с"'сы теперь в состоянии сформулировать необходимые и достаточные условия существования базиса, в котором матрица линейного преобразования диагональна. Для того чтобы гусс(естеовпл базис, в котором ма!проц а преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чслобьс иивариа~тные множа)лели силой мал!рицы имели лишь простые корни.
Действительно, мы видели, что кратности корней ).„Х„... иввариаптиых множителей определяют порядки клеток в жордановой нормальной форме. Простота корней инвариантных множителей означает, таким образом, что этн клетки первого порядка, т. е. что жордаиова нормальная форма матрицы сводится к диагональной. Теорема 2. Для люго чтобы две мптрицы были подобны, необходимо и достаточно, члюбьс их инвприантные мнажссслели совппдали. 204 клноничвския вид ляпкиных пик овяхзовлнии !Гл, !н Доказательство.
Мы доказали (лемма 2), что у подобных матриц совпадают многочлены Р,(Х). Следовательно, совпала!от и инвариантные множители Ел (),), являющиеся их отношениями. Обратно, пусть инварвантные множители матриц А и В совпадают. Мы знаем, что каждая матрица подобна некоторой матрице, имеющей жорданову нормальную форму. Так как инвариантные множители у А и В совпадают, то их нормальные жордановы формы тоже совпадают.
Таким образом матрицы А и В подобны одной и той же матрице и, значит, А подобна В. Теорем а 3. Нормальная форл!а линейного преобразования однозначно определяется самим линейнмл! преобразованием. Док аз атель ство. Матрицы преобразования А в различных базисах подобны. Так как подобные матрицы имеют одинаковые инвариантные множители, а инвариантными множителями однозначно определяется нормальная форма, то нормальная форма данного линейного преобразования определена однозначно, и теорема доказана. Мы в состоянии !еперь найти жорданову нормальную форму матрицы линейного преобразования. Для этого достаточно взять матрицу линейного преобразования в каком-нибудь базисе и найти инвариантные множители матрицы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
