И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Разложив инвариантные множители в произведение вида (Š— Х!)" (Х вЂ” ).ь)'" ..., мы будем знать как ссбственные значения, так и отвечающие им порядки клеток. 2 22. 2-матрицы !. ).-ыатрицей (полиномиальной матрицей) называется матрица, элементами которой являются многочлены относительно некоторой буквы Х. Степенью ) матрицы называется наивысшая из степеней многочленов, входящих в состав матрицы. Ясно, что Х-матрица степени и может быть представлена в виде А ) +А )л-! +А х-млтницы з зт) где Аа — матРицы, Уже не зависЯщие от ), а). Частный случай );матриц пам уже встречался неоднократно„а именно матрицы вида А — ).Е.
Результаты, которые мы получим в этом параграфе, для случая Х-х!атрид вида А — ХЕ содержат как частный случай многие из результатов, полученных в предыдущих параграфах этой главы. Х-матрицы встречаются во всех вопросах математики. Так, например, решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянныл!и коэффициентами — агар» (г=1, 2, ..., и) а=! пшется обычно в виде на =саегл (2) где Л н се †некотор постоянные. Для их определения подставил! фуякции (2) в систему и сократим уравнении на а"".
Мы получим систему линейных уравнений л Хе!= ~~а;аса, а=! матрица которой есть А — лВ, где А — матрица из коэффициентов системы (1). Таким образом, изучение системы дифференциальных уравнений (1) тесно связано с Х-матрицей первой степени относительно Х! А — ХЕ. диалогично, исследование системы уравнений порядка выше первого приводит к исследованию Л-матриц высших степеней. Например, исследование системы уравнений л л л ;)'.,и Ь+'Е.ьга ЮЯ— +Х.саара=-о а=! а=! а=! приводится к исследованию 1;магрицы Алз+Вл+С, где А=(~ ам)1 В=!(агг, !1, С=-11 ем й.
Мы рассмотрим сейчас вопрос о каноническом виде ) -матриц относительно так называемых элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями ).-матриц называются преобразования следующих типов. 1'. Перестановка между собой двух каких-либо строк или столбцов матрицы. *) В этом параграфе мы будем матрицы обозначать светлыми буквами.
М!Ь КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ !ГЛ. П1 2'. Прибавление к строке какой-либо другой строки, умноженной на некоторый многочлен !р(Л), и, аналогично, прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторый многочлен. 3'. Умножение строки или столбца на некоторое число, отличное от нуля. О п р е д е л е н и е. Дее Л-матрицы назыеа!отея зкеиеалентными, если одна мог!сот быть получена из другой некоторой последоеаипельностью элементарн !х преобразований. Обратное к каждому элементарному преобразованию есть снова элементарное преобразование. Зто легко проверяется для каждого из трех типов элементаоных преобразований. Так, если Л-матрица В(Л) получается из Л-матрицы А(Л) перестановкой строк, то обратной перестановкой строк мы можем из В(Л) получить А (Л). Если В(Л) получается из А(Л) прибавлением к к-й строке 1-й, умноженной на !р(Л), то, обратно, А(Л) можно получить из В (Л) прибавлением к й-й строке 1-й, умноженной на — !р (Л).
Из сделанного замечания следует, что если Л-матрица К(Л) эквивалентна Л(Л), то и обратно, Л(Л) эквивалентна К(Л). В самом деле, пусть из К(Л) применением некоторой последовательности элементарных преобразований получается Ь(Л). Тогда, применяя к Л(Л) в обратном порядке обратные преобразования, мы придем к К(Л). Если дее Л-матрицы К,(Л) и К,(Л) эквивалентны некоторой матрице К(Л), то они эквивалентны между собой. Действительно, если сначала провести последовательность элементарных преобразований, переводящих К, (Л) в К (Л), а затем элементавные преобразования, переводящие К(Л) в К„(Л), то мы переведем К,(Л) в К„(Л), т. е.
К,(Л) эквивалентна К., (Л). Основной результат п. 1 этого параграфа состоит в доказательстве теоремы о том, что всякую Л-матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональному виду. Доказательству этого предложения предпошлем лемму: Лемма. Вслсс алел!ент а„(Л) е Л-л!атрице А(Л) не раасн нул!о и если не есе элеменп!ы агл(Л) матрицы А (Л) делятсл на многочлен а„(Л), то молсно подобрать экеи- х-мхтгицы еалентнйто А(Л) Л-митриир В(Л), для которой олемент Ь„(Л) также не раасн нумо и имеет степень более низкою, чем а„(Л).
Дои аз а тельство. Предположим сначала, что не делящийся на а„(Л) элемент матрицы А(Л) находится в первой строке. Пусть, например, а,„(Л) не делится на а„(Л). Тогда а,„(Л) можно представить в виде а,„(Л) =а„(Л) гс(Л)+Ь(Л), где ср(Л) — астное, Ь(Л)ФΠ— остаток от деления а, (Л) на а„(Л) и„следовательно, степень Ь(Л) ниже, чем степень а„(Л).
Вычтем из й-го столбца первый, умноженный на ~Р(Л). Получим матрицу, где вместо а, (Л) стоит теперь многочлен Ь(Л), имеющий более низкую степень, чем а„(Л). Переставляя теперь й-й столбец с первым, мы переведем Ь(Л) в левый верхний угол. Рассмотрим теперь случай, когда все элементы первой строки и первого столбца делятся на а„(Л), а некоторый элемент пол (Л) пе делится на а„(Л). Этот случай мы сведем к предыдущему следующим образом: аи(Л) делится на а„(Л), т. е. имеет вид а,, (Л) =.— ср (Л) а„(Л). Вычтем из К-й строки первую, умноженную на сг(Ц. Тогда а;,(Л) заменится нулем, элемент а, (Л) заменится элементом ах(Л)=ом(Л) — ср(Л)а,ь(Л), который по-прежнему не делится на а„(Л) (так как а, (Л) по предположению делится иа а„(Л)).
Прибавим теперь !-ю строку к первой. Так как на первом месте в (-й строке теперь стоит нуль, то а„(Л) не изменится, а на й-м месте в первой строке теперь будет стоять а, (Л)-! ам(Л)=а,ь(Л)(! — ~р(Л))+ + ам(Л) и, следовательно, в первой строке имеется элемент, не делящийся на а„(Л). Мы свели этот случай к рассмотренному выше и, следовательно, лемма доказана. В дальнейшем мы будем пользоваться также следующим замечанием: если все элементы Л-матрицы В(Л) делятся на некоторый многочлен Е(Л), то после элементарных преобразований над матрнцей В (Л) мы снова получим матрицу, элементы которой делятся на Е(Л).
Перейдем теперь к приведению Л-матрицы к диагональному виду. Мы можем с лгать, что а„(Л) эь О, так как, если в матрице есть хоть один элемент, отличный от нуля, то КОЗ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРГОБРАЗОВАНИЙ !ГЛ. П! перестановками строк и столбцов его можно перевести на это место. Если не все элементы матрицы делятся на а!!(Л), то мы можем способом, указанным в лемме, заменить матрицу эквивалентной, в которой элемент, стоящий в левом верхнем углу, имеет более низкую степень и по-прежнему отличен от нуля.
Если не все элементы делятся на него, то мы можем опять понизить степень этого элемента и т. д. Процесс закончится, когда мы придем к матрице В(Л), в которой все элементы делятся иа 6„(Л). Так как элементы 6„(Л), ..., 6,„(Л) первой строки делятся на 6„(Л), то, вычитая из второго, третьего и т. д. столбца первый, умноженный на соответственно подобранные многочлены от Л, мы можем обратить в нуль 2-й, З-й, ..., и-й элементы первой строки. Аналогично обратим в нуль все элементы, начиная со второго, в первом сголбце. Так как в матрице В (Л) все элементы делились на 6„(Л), то в полученной матрице все элементы также делятся на 6„(Л).
Разделим все элементы первой строки на старший коэффициент многочлена Ь„(Л). На первом месте получится многочлен со старшим коэффициентом 1, который мы обозначим через Е,(Л), а на остальных местах будут по-прежнему нули. Мы пришли, таким образом, к матрице следующего вида: / е,(л) о о .. о О с„(Л) с„, (Л) ... с,„(Л) О с„Р,) с„(Л) ... с,„(Л) (3) О с„,(Л) с„, (Л) ... с„„(Л) все элементы которой делятся на В, (Л). Мы можем теперь повторить с матрицей (и — 1)-го порядка 1с!А(Л)(! те же операции, что с матрицей и-го порядка. Заметим, что всякое элементарное преобразование матрицы ~~с!А() есть в то же время элементарное преобразование матрицы (3), так как в первой строке и столбце все элементы кроме Е, (Л) равны нулю.
Таким образом, мы обратим в нуль все элементы второй строки и второго столбца, кроме диагонального. Полученный диагональный элемент (старший коэффици- 209 ымлп ицы в ем ент которого также считаем равным единице) обозначим Е, (Л). Все элементы см(Л) делятся на Е, (Л). Поэтому все дальнейшие элементарные преобразования всегда приводят нас к элементам, делящимся на Е,(Л). В частности, Е,(Л) делится на Е,(Л). Мы пришли, таким образом, к матрице, у которой в первых двух строках и столбцах все элементы кроме диагональных равны нулю, а по диагонали стоят Е,(Л) и Е,(Л), прнчем Е,(Л) делится на Е,(Л).
Мы сможем продолжать этот процесс далее, пока не приведем всю матрицу к диагональному виду. Может, конечно, оказаться, что мы закончим процесс раньше, придя к матрице, состоящей сплошь из нулей. Итак, доказана следующая Те о рема 1. Всякая Л-мап1рица может быть элементарными преобразованиями приведена к виду 'Е,(Ц О 0 ... 0 0 Е (Л) 0 ...
0 О О Е,(Л)...0 (4) 0 0 0 ... Е„(Л) где многочлены Ел(Л), стояьцие по диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице, многочлен Е,(Л) делипгся на Е,(Л), Е,(Л) делится на Е„(Л), Е,(Л) на Е,(Л) и т. д. Этот вид называется норлшльной диагональной формой Л-малгрицы. Конечно, некоторое число последних многочленов Еь (Л) в матрице (4) может оказаться равным нулю: Е,, (Л) = Е,, (Л) =... = О. Замечание. Мы привели матрицу А(Л) к нормальному диагональному виду, в котором каждый диагональный элемент делится на предшествующий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
