И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Те о рема 5. Пусть А — ортогональное преобразование в п-мерном евклидовом пространстве К. 11 Й существует ортогональный нормированный базис е„е.„..., е„, в котором матрица преобразования А имеет вид 1 — 1 — 1 созор, — а|пор, з|п ор, соз цо, соз ор„— з|п орь з|п орь соз орь йсе элементы, кроме выписанньио, суть нули. Доказательство. Согласно теореме 1 этого параграфа в 1г можно выбрать либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпросгранстео |тн'.
Если суще- З!6] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1ЕЗ стаует одномерное инвариантное подпространство 1ТН1, то обозначим через е, согержащийся в нем вектор единичной длины. Вслн же одномерного инвариантного подпространства пег, то возьмем двумерное и обозначим через ео е, его ортогональный нормированный базис. В случае, если 1тв1одномерно, преобразование' Л имеет в нем внд: Лх =- ~ х.
В случае, если подпространство Рп двумерно, наше преобразование является в нем собственным ортогональным преобразованием (так как в противном случае в й'о существовало бы одномерное инвариантное подпространство), и, следовательно, А имеет в Я'О матрицу т соз <р — з|п ~р''1 Бш <Г соз ~р/ Совокупность Й векторов, ортогональных ко всем векторам из Рч", согласно доказанной выше лемме, есть снова инвариантное подпространство. В ннвариантном подпространстее Я снова находим одномерное или двумерное инвариантное подпространство, выбираем в ием базис и так далее. Мы получим таким образом и попарно ортогональных векторов длины 1.
Примем их за базис в 1т. Тогда матрица преобразования в атом базисе будет иметь вид Г1 1 — 1 — 1 сов <р, — з1п ~р, з1п <р, соз ~р, соз <р„— з1п ~р„ з1П ср соз ~р / ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !ГЛ. «! .де стоящие по диагонали ~1 отвечают одномерным инва- «иантным подпространствам, а <клетки» < соБ «р! — Б(п <р! т а!и тр сО5 (рг/ — двумерным инвариантным подпространствам.
Теорема аоказана. 3 а не ч а н не. Назовем простым врая!ели<и собственное ортогональное преобразование, представляющее собой поворот в некоторой <нумерной плоскости и оставляющее неизменным (л — 2)-мерное под«ространство, ортогональное к втой плоскости, Таким образом простое вращение есть преобразование, матрица которого может быть привеаена к виду 1 со5 4« — 5«п е« ып «р со5гр 1 Простым отражение»! мы назовем несобственное линейное пре. образование, менякяцее направление всех векторов, принадлежащих некоторому одномерному подпространству, на противоположное и осгавлжощее неизменными векторы его (и†1)-мерного ортогонального дополнения.
Таким образом простое отражение есть преобразование, матрица которого в некотором базисе имеет вид 1 — 1 1 $ !7! ЭКСТПЕМАТ!ЬНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ !65 Пользуясь рсзультвтвн теоремы 5, нетрудно показать, чтв всякое ортогональное преобразование может быть представлено как пронзведенне некоторого числа простых вращений н простых отражений. Доказательство предоставляется читателю.
й 17. Экстремальные свойства собственных значений Рассмотрим самосопряженное линейное преобразование А в п-мерном евклндовом пространстве. Мы покажем, что его собственные аначения можно получить, рассматривая некоторую задачу на минимум, связанную с соответствующей А квадратичной формой (Ах, х). Это, в частности, позволит доказать существование собственных векторов и собственных значений, не пользуясь теоремой о существовании корня уравнения и-й степени. Эти экстремальные свойства полезны также при вычислении собственных значений.
Мы рассмотрим сначала вещественное пространство, а затем перенесем полученные результаты на случай комплексного пространства. Докажем сначала следующую лемму. Л е м м а 1, Пусть  — некоторое самосопрязкенное линейное 7!реобразование в веи(ественном пространстве люков, что квадратичная форма (Вх, х) неотрицательна, т. е. (Вх, х) ) 0 для любого х.
Тогда, если для некоторого х=-е (Ве, е)=0„ то и Ве=О. Доказательство. Покажем, что для любого вектора Ь имеем (Ве, Ь) =-О. Для этого положим х=е+(й, где ( — произвольное число, а й — вектор. Тогда имеем (В(е+(й), е+й)= =(Ве, е)+! (Ве, и)+7(ВЛ, е)+(в(ВЬ, й))0, т. е.
так как (Вл, е) =-(й, Ве) =(Ве, й) и (Ве, е) =О, то 21(ВЕ, Ь)+(з(ВЬ Ь))0 для любых й Ото!ода следует, что (Ве, й) =-О. Действительно„функция а!+ о!а при а ~ 0 меняет знак в точке 1=-0, мы же получили, что выражение 21(Ве, Ь)+(а(Вй, й) линей??ые пгеовгхзовзния [гл. и для любых [ неотрипательно, следовательно, (Ве, й) =О. Так как ?? произвольно, то Ве=О, что и требовалось доказать.
Пусть А в некоторое саь?осопрюкецное линейное преобразование в и-мерном ве?цсстьенном евклидовом пространстве. Соответствуюшую А квадратичную форму (Ах, х) будем рассматривать на единичной сфере, т. е. на множестве векторов х, для которых (х, х) =-1. Имеет место следуюшая Т е о р е м а 1. Пусть А — самос??праженное линейное преобразование. Тогда своп?ветству?ощая А квадратичная форма (Ах, х) доспшгает на единичной сфере минимума Л,.
Вектор е,, на котором з?по?п минимум достигается, есть собственный вектор преобразования А, а значение минимул?а Л,— аютветствующее собственное значение этого преобразования. Доказательство. Единичная сфера есть ограниченное замкнутое множество в и-мсрном пространстве. Поэтому (Ах, х) как непрерывная на нем функпия, достигает минимума в некоторой точке е,. Обозначим этот минимум через Л,. Тогда имеем (Ах, х) ) Л„если (х, х) = — 1, (1) причем (Ае„е,) =-Л„где (е„е,) =!.
Запишем неравенство (1) в виде (Ах, х)) Л, (х, х), где (х, х) =1. (2) Оно справедливо для векторов длины единица. Так как ??ри умножении х на некоторое число а как правая, так н левая части неравенства умножатся на а', то оно спра- ведливо для векторов любой длины (поскольку любой ьектор можно получить из вектора длины единица умно- жением его на некоторое число а), Полученное неравенство ?южно переписать так: (Ах — Л,х, х)= О для любых х, а!7! Вкстнелтллш!ые сВОйстВА сОБстВенных знАченнг! !67 причем для х=е, имеет место (Ае, — Лге„е!) = О. Это значит, что преобразование В= — А — ЛтЕ удовлетворяет условиям леммы 1.
Отсюда, применяя эту лемму, получаем: (А — Л,Е)е, =О, т. е. Ае,=Л,е,. Таким образом, е, является собственным вектором преобразования А, соответствующим собственному значениюд,. Теорема доказана. Для нахождения следующего собственного значения рассмотрим все векторы из Е, ортогональные к собственному вектору е,. Как было показано в и. 2 й 16 (лемма 2), эти векторы образуют (л — 1)-мерное подпространство Е„ инвариантное относительно преобразования А. Отыскивая минимум квадратичной формы (Лх, х), при условии (х, х) = — 1, в этом подпространстве мы придем к новому собственному вектору ее и собственному значению Ла Очевидно, что Л, ~~ Л„так как минимум (Ах, х) во всел! пространстве не может быть больше, чем минимум той же функции в подпространстве. Следующий собственный вектор мы получим, решая ту же задачу в (и — 2)-мерном инвариантном подпространстве, состоящем из векторов, ортогональных и е„и е,. Значение минимума (Лх, х) в этом подпространстве будет третьим собственным значением.
11родолжая этот процесс, мы исчерпаем все п собственных значений и соответствующих им собственных векторов нашего преобразования. Иногда бывает полезно определить второй, третий и т. д. собственные векторы преобразования из задачи на максимум или минимум непосредственно, ие считаи при атом известными предыдущие собственные векторы, Пусть А — самосоприжеииое линейное преобразование.
Обозначил! через его собственвыв значения, расположенные в возрастающем поридие, а через е„еа, ..., еа — соответствующие им нормированные и орто гональные собственнйе векторы. !Ед ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРАЗОНАНИЯ [ГЛ. 1Г Покажем, что если иы возьлген первые» собственных векторов ег, ез ° ., е» и порожденное ини надпространство 3, то для любого вектора х из 3 плюет место неровенспмо 1.,(х, х)=: '(Ах, х)ч-Л»(х, х). л[ейгстаительно, пусть х=$гег+й.,ее+... +$,Р . Так как Ае»=Л»егь (е», е»)=1, (е», е;)=О при г ~ », то (Ах, х) =(А (ьгег+ ьеез+...
+ е»е»), сгег+ 5зез -1-... + Е»е») = =(ЛДег+ Лзьае.+... + ЛрД»е», 'ьгег+чзез+... -'; К~е») = =Лчеь +Летка+ ° ° ° +Л»Я. Кроме того, так как векторы е,, ее, ..., е»ортогональны и нормированы, то (х, х)=$г+$е+... +Е» и, следоаательно. (Ах х)=Лгьсг+Лда+ ° ° . +Л»сь» н )Лг(ь,+ьз+... +с»)=Л»(х, х]. Аналогично (Ах, х)(Л»(х, х) и, следоаательно, Л,(х, х)~(АХ, х) е Л»(х, х). Пусть теперь )с» — произаольное подпростраистао п — »+1 измерений.
В ф 7 (лемма и. 1) мы доказали, что если сумма размерностей двух подпространста п-мерного пространстаа превышает п, то существует отличный от нуля аектор, прннадлежаший обоим подпространстаам. Следовательно, так как (и — »+1)+Ф > п, то сушесгаует некчор х„, прииадлежашнй как )г», так и подпространстоу Я, порожденному векторами е„ез, ..., е». Мы можем считать, что длина его равна 1, т. е, что (х„х)=1. Так каи всюду и 3, нак мы уже доканали. (Ах, х)н Л»(х, х), то (Ахр, хв) ~Л».
Итак, мы доназали, что а )с» сущестауег вектор хе длины 1 такой, что (Ахв. хв) ~ Л». Но тогда и подаано, лгинимум (Ах, х), где х пробегает асс векторы длины 1 из й», также меньше нли раасн Л». й )71 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАх!ЕНИЙ )бр Таким образом, для любого (и — й+ ))-мерного подлространстзо Яэ пни(Ах, х) ~ХА, гдг (х, х)=1 и хЕ )(з. Заметим, что среди подпространств Яь размерности и — А+1 есть такое, для которого пип (Ах, х), х~)(а, (х, х)=1, в точности равен Аа. Таким подпространством является подпространство1 состоящее иэ векторов, ортогональнь)к первым А — 1 собственным векторам е,, ех, ..., ХА,.
Действительно, в этом параграфе мы доказали, что ппп (Лх, х), распространенный по всем векторам, ортогональным 1», х)=1 первым А — 1 собственным векторам, равен Аа. Итак, мы доказали следующее утверждение: Пусгнь ка — некоторое (и — )7+1)-мерное псдлрог)нракство простронппва й. Тогда минимум (Ах, х) для всех х аз йь токих, что (х, х)=1, меньим нхн розен Аь. Подлрсстрокстзо Ка »южно выбрать ток, члюбы з)нот минимум рознлхся Аа. Зто утверждение ыожно записать следующей формулой: гоак ппп (Ах, х)=)га. ЛХ 1». «)=1 хе лз В этой формуле гп!и веретен по указанным векторам, а гааз по всевозможным подпростраяствам )(а размерности и — А+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
