И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Например, преобразование А в пространстве миогочленов степени не выше л — 1, ставящее в соответствие каждому многочлену его производную, имеет лишь одно собственное значение Л=О и один (с точностью до пропорциональности) собственный век. тор Р (1)=-сопз1. В самом деле, для любого многочлена Р (1) степени й > О многочлен Р' (1) имеет степень й — 1, и потому равенство Р' (1)=ЛР (1) возможно лишь, если Л= — О и Р (1) =сопа1. Следовательно, для этого преобразования не существует базиса, в котором ему соответствовала бы диагональная матрица.
В главе Ш будет доказано, что если Л есть и-кратиый корень характеристического уравнения, то ему отвечает ие более чем гл линейно независимых собственных векторов. Ниже (в Я 12 и 13) мы укажем некоторые классы линейных преобразований, приводимых к диагональной форме. Вопросу о том, к какому простейшему виду может быть приведено произвольное линейное преобразование, будет посвящена глава 1Н. 4. Характеристический миогочлеи.
В п. 2 мы уже определили характеристический миогочлен преобразования А как определвтель матрицы А — ЛЕ, где А — матрица преобразования А, а Š— единичная матрица. Докажем, что характеристический многочлен ие зависит от выбора базиса. Действительно, при переходе к другому базису матрица А преобразования А принимает ввд С-'АС, где С вЂ” есть матрица перехода к новому базису. Таким образом, в новом базисе характеристический миогочлен есть определитель матрицы С-'АС вЂ” ЛЕ.
Но ! С-'АС вЂ” ЛЕ! = ! С 'АС вЂ” ЛС-'ЕС ! = (С '(А — ЛЕ)С!, и так как определитель произведения равен произведению определителей, то (С гАС вЂ” ЛЕ)=(С г!!А — ЛЕ!! С(=(А — ЛЕ(, и утверждение доказано. Таким образом мы в дальнейшем можем говорить о характеристическом миогочлеие преобоазования А (а не о характеристическом многочлене матрицы преобразоваиия А). ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Гл. и У и р а ж и е и и и. 1. Найти характеристический миогочлеи матрицы Х 0 0 ... О О 1 1,0 ...ОО 0 1 1в...О 0 0 0 0 ...
1 Х. 2. Найти характеристический миоточлси матрицы ов ов ° .. аа т а„ 1 О О ... О О О 1 О ... О О О О О ... 1 О Ответ. ( — 1)" (аа — о Х" ' — а А"-в —...— а„1. Выразим характеристическчй многочлен явно через элементы матрины А преобразования А. Вычислим сначала более общий определитель (который позже в й 12 нам тоже встретится): )А — ХВ), где А и  — две заданные матрицы. Нам нужно, следовательно, вычислить следующий многочлен относительно Ал ао — ХЬИ аы — Аь„... а,„— Льта а„— АЬвт авв — АЬ„... а,„— ХЬ„в а„,— АЬ„, а„,— АЬви ...
ааа — ХЬ„в Так как в этом определителе каждый столбец есть сумма двух столбцов, то определитель может быть разложен на сумму определителей. Свободный член в Я(Х) есть а„а„... ати а„, а„... а,„ ави ави ... а ясно, что коэффициент при ( — Л)а в (е(Х) равен сумме определителей, калсдый из которых получается заменой в (4) каких-либо й спшлбцов матрицы 11 а;а (( соопвветствуввцими столбцами матрицы 1) Ь;„!).
12! инвАРИАнтныв подпРОСТРАнствА е 10! Перейдем теперь к вычислению ~А — ЛЕ(. Лля вычисления коэффициента прн ( — Л)А мы должны взять сумму определителей, каждый из которых получается заменой й столбцов матрицы ((ага)) й столбцами единичной матрицы. Но каждый такой определитель есть главный минор (и — й)-го порядка матрицы я ага )~!. Таким образом, окончательно, характерисошческий многочлен Р(Л) матрицы А имеет вид Р(Л)=( — )) (Л вЂ” Р,Л вЂ” +Р,Л вЂ” —...
-ьр„), где р, есть сумма диагональных элементов, р,— сумма главных миноров второго порядка и т. д.; наконец, р„ есть определитель матрицы А. Числа р„р„..., р„, построенные по матрице А преобразования А, зависят лишь от самого преобразовании, поскольку этим свойством, как мы показали, обладает характеристический многочлен. Среди коэффициентов р, наибольшую роль играют р„— определитель матрицы А и р,— сумма диагональных элементов матрицы А.
Сумма диагональных элементов наэьваепгся следом матрицы А. След матрицы А обозначается (гА (от английского слова (гасе — след). Ясно, что след матрицы равен сумме всех корней характеристического многочлена (собственных значений), причем каждый корень считается с той кратностью, с которой он входит в характеристический многочлен. Упражнения.
1. Показать, что если А и  — матрицы я-гг порядка, то 1г АВ= 1г ВА. 2. Показать, что если С вЂ” неамрожденная матрица и-го порядка. то для любой матрицы А и-го порядка имеем: 1г (С-гАС)=1г А. Вычисление собственных векторов линейного преоб разования требует знания собственных значений и, еле довательно, решения уравнения и-й степени — характеристического уравнения. В одном важном частном случае корни характеристического многочлена можно найти непосредственно.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (гл. $1 Если матрица преобразования Л треугольная, т. е. илгеет вид а,г агз ага ... агл О а„а„... акч аэз ° ° аг О О О ... аьа то собственными значениями будут числа, стоящие на диагонали, т. е. аты агн ..., ает В самом деле, характеристический многочлен данной матрицы вычисляется непосредственно и есть Р(7.)=(а„— Х)(а,„— 7.) ... (а — 7), К СЛЕДОВатЕЛЬНО, ЕГО КОРНИ вЂ” асо а„, ..., аьт У п р а ж я е н и е. Найти собственные векторы, отвечающие собственным значениям о, о э, о треугольной матрицы (5).
В заключение эгого пункта укажем одно интересное свойство характеристического миогочлена. Как мы уже указывали в п. 3 преиьщущего параграфа, существует такой многочлен Р (1), что если в него подставить вместо 1 матрицу А, то ои обратится в нуль. Мы гокажем сейчас, что одним из таких многочлеиов является характеристический многочлеи. Докажем предварительно лемму: Л с м м а. Пусть многочлен " (н)= оэ7 + сг7 + ° ° ° +'гм а мстрщ1с А согнаны сооогноамннем Р (й) Е=(А — ХЕ) С(й), (б) еде сдд — многоглен от Х, коэффициенты которого яеляются мотранолц, гп. е. С(Х)=Ссади-г+Сгйм-э+...
+Сы д, Сг — матрицы. Тогда Р (А)=0. Заметим, по этэ лемма является обобщением на многочлены с матричными коэффициентами теоремы Безу. Доказательство. Мы имеем: (А — )гЕ) С(Ц=АСм г+(АСм э — См г) и+ +(АСм-з См-т) 7Л+...— Сь)' ° (У) Сравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях А в обеих частях равенства (б), мы получаем последовательность !03 й !01 ИНВАРИАНТНЫИ ПОДПРОСТРАНСТВА равенств: АС =амЕ, АС,— См д — — и„,Е, АС,„,— См д=а,„дЕ, АС, — С, =аЕ. — Сэ — апЕ. Умножим теперь слева первое равенство на Е, второе ва Л, третье на Ад, ..., последнее на Ав и сложим их. й!ы полу пм сарана Р(А)=а Е+аа дЛ+...+азА"', а слева О.
Таким обра- зом, Р(А)=-0, и лемма доказана э). Т е о р е м а. Если Р (й) — характерастический иногочлси зиии- Рийы А, то Р (А)=-0. Показательство. Рассмотрим матрицу, обратную матрввв Л вЂ” ).Е. А!и имеем (А — йЕ)(А — кЕ) '= — Е. Как известно, обратная матрица может быть записана в виде (А — ХЕ)-д= —, С().), 1 Р (А) где С(к) — матрица из миноров (а — !)-го порядка матрицы А — ЕЕ, а Р(к) — определитель матрицы А — ХЕ, т.
е. характеристическая мвогочлен матрицы А. Отсюда (А — ХЕ) С(й)=Р(й) Е. Так как элементами матрицы С (й) являются миноры матрицы А — йЕ, т. е. многочлены степени не выше а — 1 относительно А, то согласно доказанной лемме Р (А)=О, и теорема доказана. Заметим, что если у характеристического многочлена матрицы А нег кратных корней, то не сушествуег многочлена степени ниже и, обращающегося в нуль при нодстановке в него матрицы А (см. следующее упражнение).
У п р а жн си не. Пусть А — диагональная матрица вида О йз ... 0 где все числа Хг различны. найти многочлен Р(г) возможно более низкой степени, длн которого Р (А)=0. (См. пример в 6 9, п. 3.) ') В алгебре теорема Безу доказывается тем, что в равенство (6) подставляетси А вместо к. Здесь, конечно, мы не варана этого сделать непосредственно, так каи Х есть число, а А †матрица. Однако, по существу, мы сделали то же самое. Действительно, й-е из разенпв (6) получилась сравнением в (6) коэффициентов при йа. Умножая его на ЛА н складывая затем все равенства, мы, по существу, подставляем А вместо ) . 124 [ГЛ. П ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ $ 11.
Линейное преобразование, сопряженное к данному 1. Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве. Мы рассматривали ранее в аффинном пространстве отдельно линейные преобразования и отдельно билинейные формы. В случае евклидова пространства злежду билинейными формами и линейными преобразованиями существует тесная связь *). Всякому линейнол!у преобразованию А ол!вечает и евклидсвом пространсспве билинейная форма А(х; у), задаваемая формулой А(х; у) =(Ах, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
