И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Примеры комплексных евклидовых прост р а н ст в. 1. Вектором пространства К мы назовем систему п комплексных чисел. Сложение векторов и умножение ~меРное пРОстРАнство [гл. [ их на числа определим обычным образом. Скалярное произведение векторов х=$„$„..., $А) и у=(т[„Ч,...., [)„) зададим формулой (х, у) =5,[)1+$д,+... +з„[[„. Мы предоставляем читателю проверить, что аксиомы !' — 4' выполнены. В частности скалярное произведение вектора с самим собой задается формулой (х, х) = Р,Р, + ~,~, +...

+ ~„ф„= ~ ~, [е + ~ ~, ~'+ ... + ~ $„~'. 2. Векторы в пространстве )[ определим, как и в примере 1. Скалярное произведение задаем формулой (х, у)= Х ада[[[а ь й=1 где а[п — заданные комплексные числа, удовлетворяющие условиям: а) ац,— — им, р) ~а;,ДД~~ ~0 для любых 5„$„, ..., $„и обращается в нуль лишь при 5, =$,=...

=$„=0. 3. Векторами пространства Я мы будем считать функции от г, заданные на отрезке (а, Ь1 и принимающие комплексные значения. Скалярное произведение двух таких функций определим формулой Ь 0([). а([)) =-) Ф)у(т)й[. а Можно проверить, что все аксиомы скалярного произведения при этом выполнены. Длиной гектора х назовем Р'(х, х). Из аксиомы 4' следует„что длина вектора неотрицательна и обращается в нуль лишь для нулевого вектора. Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то мы не будем определять угла между векторами, а введем лишь понятие ортогональности двух векторов. Вектора х и у назаваются оотогонапьнапш, если (х, у)=0.

$83 кОмплекснОе а-мегное пРОСТРлнствО 87 3. Ортогональный базис. Изоморфизм комплексных еаклидоаых пространств. Ортогональным базисом в и-мерном комплексном евклидовом пространстве называется совокупность и попарно ортогональных не равных нуло векторов е„е„..., е„. Так же, как и в 3 3, доказывается, что векгорй е„е„..., е„линейно независимы, т.е. образуют базис. Существование ортогонального базиса в комплексном и-мерном евклидовом пространстве доказывается процессом ортогонализации, в точности совпадающим с приведенным в 4 3. Выразим скалярное произведение двух векторов х и у через их координаты 5„ 5„ ..., $„ и т~„ т)„ ..., т1„ в ортогональном нормированном базисе. Мы имеем: х=е,е,+$,е,+...

+$„е„и у=рте,+т~,е,+ ... +т)„е, Тогда (х, у)=-5,е,+$,е,+...+В„е„, т),е„+т),е,+ ... +т)„е„)= =1* 1+$.т)т+" +$Л (Ср. пример ! этого параграфа.) Выразим координаты $, вектора х в ортогональном нормированном базисе через векторы базиса и сам вектор х. Имеем: х= рте, +$,е,+... +$„е„. Умножая скалярно обе части равенства на еь получимт (х, е)=$,(е„е)+$,(е„еД+...+Л(еп е)+...+$„(е„,ет) или (х, е;)=$Р Так же, как и в 5 3, доказывается, что все комплексные евклидовы пространства данного числа измерений п изоморфны между собой.

4. Билинейные и квадратичные формы. Все определения (линейной функции, квадратичной формы и т. д.), введенные в 3 4 (за исключением понятия положительной Определенности), имеют смысл для линейного пространства над любым полем, в том числе и над полем комплексных чисел. Однако в случае комплексного линейного пространства можно еще по-другому ввести эти понятия; для и.меРное пРОстРАнстВО 1гл нас именно этот второй способ будет даже более существенным. Линейные функции первого и второго рода.

Функция, ставящая в соответствие каждому вектору комплексное число, называется линейной функцией первого рода, если она удовлетворяет следующим условиям: 1' 1(х+ у) = — 1(х) +1 (и), 2' ("(Хх)=Ц(х). Это совпадает с определением линейной функции в $4.

Линейной функцией второго рода называется функция, удовлетворяющая условиям 1' 1(х+ и)=1(х)+1(у), 2' 1(Ах) = — Х1 (х). Так же, как и в ~ 4, моною доказать, что всякая линейная функция первого рода может быть записана в виде 1(х)=а,Д, +аД.,+... +а„="„, где З,— координаты вектора х в базисе г„г„..., е„, а а; — постоянные, а,.-=((е;). Всякая же линейная функция второго рода может Сыть записана в виде "1 (х) =- бЯ, + б~, + ..

+ б,,ч„. Очевидно, что если 1(х) — линейная функция первого рода, то 1(х) — линейная функция второго рода. Как было определено выше (п. 2, (( 4), билинейной функцией называется функция двух вектороз А (х; д), линейная по каждому из аргументов. Наличие в комплексном пространстве двух типов линейных функций приводит к существованию целых четырех типов билинейных функций — линейных первого рода и по х и по р, первого рода по х и второго рода по у, второго рода по х и первого по у и второго рода по ОСоим аргументам.

Но третий и четвертый типы комплексно сопряжены соответственно ко второму и первому, а билинейные функции первого типа определяются в комплексном пространстве буквально так же, как и в вещественном. Поэтому мы остановимся подробнее лишь на билинейных формах т 8) комплексное и-ыегноа пРостгкнство з! второго типа. Для краткости будем называть их просп билинейными.

Итак, введем следующее определение: Определение П Будел говорить, что А(х; у) если билинейная функция (форл(а) от векторов х и у, есл» !' при фиксированном у А(х; у) есть линейная функция первого рода от х; 2' при фиксированнол( х А(х; у) есть линейная функция второго рода от у. Или, иначе: 1' А (х, + х,; у) = А (х,; у) + А (х,; у), А (Хх; у) = ) А (х; у), 2' А (х; у, + у,) = А (х; у,) + А (х; у,), А (х; ру) = рА (х; у).

Примером билинейной функции является скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве А(х; у)=(х, у), рассматриваемое как функция векторов х и у. Другит примером билинейной формы в комплексном пространстве является выражение п А (х; у) = ~ч»', а(Дт)ь, съ=! рассматриваемое как функция векторов х = Р(е! + $,ет +... + Р„е„и у = т),е, + т),е, +... + т)„е„.

Легко проверить, что условия, определяющие билинейную функцию, при этом выполнены. Пусть е„, е„..., е„— некоторый базис в п-мерном комплексном пространстве. Пусть А (х; у) — билинейная форма, х н у можно записать в виде х=Е,е, +$,е,+... +$„е»п у =т) е, +т) е, +... + ц е„. Тогда А(х; у)= А(5(е(+$е,+...+$е„; т)е,+т)е,+... ц ц»е„)= и $(т)ьА !с;; е ).

л-меРнос пРОстРлнствО [гл. ! МатРица ~!а;а11 из чисел а,ь = А (ей е„) называется матриией билинейной формы Л (х; у) в базисе е„е„..., е„. Если в билинейной форме Л (х; у) положить у=х, то получится функция А (х; х), называемая квадратичной формой (в комплексном пространстве). Справедливо следующее утверждение: Бсякая билинейная форл.а однозначно Определяется своей квадро[пичной формой ч). Локазательство. Пусть А(х; х) — квадратичная форма, а х и у — произвольные векторы. Легко проверить, что имеет место тождество "') 1 Л (х; у) == — (А(х+у; х+у)+[Л(х+[у; х+[у)— — Л (х — у; х — у) — [А (х — [у; х — [у)).

(1) Выражение, стоящее справа в формуле (1), представляет собой комбинацию значений квадратичной формы для векторов х+у, х — у, х+(у и х — [у. Слева стоит значение билинейной формы для произвольных векторов х и у. Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой. Оп р еде лен не 2.

Билинейная форма называется врмитсвой, если А (х; у)=А (у; х). Это понятие являешься аналогом понятия симметрич. ной билинейной формы в вещественном евклидовом пространстве. Для того чтобы форма А (х; у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица ~~ аеь 11 в каком-либо базисе удовлетворяла условию С[ил аае *) В отличие от определенных в й 4 форм в вещестиенном пространстве, дли которых соответствующее утверждение справедлив~ лишь дли симметричных билинейных форм.

**) Читатель должен помнить, что А (х; Ху)=ХА (х; у) и, следовательно, в частности, А (х; [у)= — [А(х; у). ь в1 комплексное и-мвгнов пгоствкнство И Действительно, если форма А(х; у) эрмитова, то ам — — А (ей еь) = А (еь; еь) = аьн Обратно„если ам — — аьо то А(х; у)=-~а;Д,п =,~~~~а„р~Д;=А(у; х). 3 а м е ч а н и е.

Если в каком-либо базисе матрица билинейной формы удовлетворяет условию асе —— -аьн то это же условие выполнено для матрицы этой билинейной формы и в любом другом базисе. В самом деле, если в каком-либо базисе равенство а;„=-а„; имеет место, то А (х, у) является эрмитовой билинейной формой; но тогда и в любом другом базисе а;ь — — а ь Если билинейная форма эрмитова, то соответствующая ей квадратичная форма тоже называется эрмитовой. Для того чтобы билинейная форма А (х; у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы А (х; х) было вещественно для любого вектора х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть форма А (х; у) армитовз, т. е. А (х; у) = А (у; х). Тогда, полагая х = у, получаем~ А (х; х) = А (х; х), т. е. число А (х; х) равно своему сопряженному и, значит, вещественно. Обратно, пусть А (х; х) вещественно для любого вектора х. Тогда А(х+у„х+у), А(х+1у; к+~у), А (х — у; х — у), А(х — (у, х — ~у) вещественны, и поэтому из формулы (1) непосредственно видно, что выражения А(х; у) и А(у; х) являются комплексно сопряженными. Следствие. Квадратичная форма эрмитова в том и только в том случае, когда она принилюет только вещественные значения. Действительно, только что было доказано, что для эрмитовости билинейной формы А (х; у) необходимо и достаточно, чтобы А(х; х) была вещественна для всех х.

Характеристики

Список файлов лекций