Главная » Просмотр файлов » И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре

И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 14

Файл №1113352 И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре) 14 страницаИ.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352) страница 142019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Примеры комплексных евклидовых прост р а н ст в. 1. Вектором пространства К мы назовем систему п комплексных чисел. Сложение векторов и умножение ~меРное пРОстРАнство [гл. [ их на числа определим обычным образом. Скалярное произведение векторов х=$„$„..., $А) и у=(т[„Ч,...., [)„) зададим формулой (х, у) =5,[)1+$д,+... +з„[[„. Мы предоставляем читателю проверить, что аксиомы !' — 4' выполнены. В частности скалярное произведение вектора с самим собой задается формулой (х, х) = Р,Р, + ~,~, +...

+ ~„ф„= ~ ~, [е + ~ ~, ~'+ ... + ~ $„~'. 2. Векторы в пространстве )[ определим, как и в примере 1. Скалярное произведение задаем формулой (х, у)= Х ада[[[а ь й=1 где а[п — заданные комплексные числа, удовлетворяющие условиям: а) ац,— — им, р) ~а;,ДД~~ ~0 для любых 5„$„, ..., $„и обращается в нуль лишь при 5, =$,=...

=$„=0. 3. Векторами пространства Я мы будем считать функции от г, заданные на отрезке (а, Ь1 и принимающие комплексные значения. Скалярное произведение двух таких функций определим формулой Ь 0([). а([)) =-) Ф)у(т)й[. а Можно проверить, что все аксиомы скалярного произведения при этом выполнены. Длиной гектора х назовем Р'(х, х). Из аксиомы 4' следует„что длина вектора неотрицательна и обращается в нуль лишь для нулевого вектора. Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно, то мы не будем определять угла между векторами, а введем лишь понятие ортогональности двух векторов. Вектора х и у назаваются оотогонапьнапш, если (х, у)=0.

$83 кОмплекснОе а-мегное пРОСТРлнствО 87 3. Ортогональный базис. Изоморфизм комплексных еаклидоаых пространств. Ортогональным базисом в и-мерном комплексном евклидовом пространстве называется совокупность и попарно ортогональных не равных нуло векторов е„е„..., е„. Так же, как и в 3 3, доказывается, что векгорй е„е„..., е„линейно независимы, т.е. образуют базис. Существование ортогонального базиса в комплексном и-мерном евклидовом пространстве доказывается процессом ортогонализации, в точности совпадающим с приведенным в 4 3. Выразим скалярное произведение двух векторов х и у через их координаты 5„ 5„ ..., $„ и т~„ т)„ ..., т1„ в ортогональном нормированном базисе. Мы имеем: х=е,е,+$,е,+...

+$„е„и у=рте,+т~,е,+ ... +т)„е, Тогда (х, у)=-5,е,+$,е,+...+В„е„, т),е„+т),е,+ ... +т)„е„)= =1* 1+$.т)т+" +$Л (Ср. пример ! этого параграфа.) Выразим координаты $, вектора х в ортогональном нормированном базисе через векторы базиса и сам вектор х. Имеем: х= рте, +$,е,+... +$„е„. Умножая скалярно обе части равенства на еь получимт (х, е)=$,(е„е)+$,(е„еД+...+Л(еп е)+...+$„(е„,ет) или (х, е;)=$Р Так же, как и в 5 3, доказывается, что все комплексные евклидовы пространства данного числа измерений п изоморфны между собой.

4. Билинейные и квадратичные формы. Все определения (линейной функции, квадратичной формы и т. д.), введенные в 3 4 (за исключением понятия положительной Определенности), имеют смысл для линейного пространства над любым полем, в том числе и над полем комплексных чисел. Однако в случае комплексного линейного пространства можно еще по-другому ввести эти понятия; для и.меРное пРОстРАнстВО 1гл нас именно этот второй способ будет даже более существенным. Линейные функции первого и второго рода.

Функция, ставящая в соответствие каждому вектору комплексное число, называется линейной функцией первого рода, если она удовлетворяет следующим условиям: 1' 1(х+ у) = — 1(х) +1 (и), 2' ("(Хх)=Ц(х). Это совпадает с определением линейной функции в $4.

Линейной функцией второго рода называется функция, удовлетворяющая условиям 1' 1(х+ и)=1(х)+1(у), 2' 1(Ах) = — Х1 (х). Так же, как и в ~ 4, моною доказать, что всякая линейная функция первого рода может быть записана в виде 1(х)=а,Д, +аД.,+... +а„="„, где З,— координаты вектора х в базисе г„г„..., е„, а а; — постоянные, а,.-=((е;). Всякая же линейная функция второго рода может Сыть записана в виде "1 (х) =- бЯ, + б~, + ..

+ б,,ч„. Очевидно, что если 1(х) — линейная функция первого рода, то 1(х) — линейная функция второго рода. Как было определено выше (п. 2, (( 4), билинейной функцией называется функция двух вектороз А (х; д), линейная по каждому из аргументов. Наличие в комплексном пространстве двух типов линейных функций приводит к существованию целых четырех типов билинейных функций — линейных первого рода и по х и по р, первого рода по х и второго рода по у, второго рода по х и первого по у и второго рода по ОСоим аргументам.

Но третий и четвертый типы комплексно сопряжены соответственно ко второму и первому, а билинейные функции первого типа определяются в комплексном пространстве буквально так же, как и в вещественном. Поэтому мы остановимся подробнее лишь на билинейных формах т 8) комплексное и-ыегноа пРостгкнство з! второго типа. Для краткости будем называть их просп билинейными.

Итак, введем следующее определение: Определение П Будел говорить, что А(х; у) если билинейная функция (форл(а) от векторов х и у, есл» !' при фиксированном у А(х; у) есть линейная функция первого рода от х; 2' при фиксированнол( х А(х; у) есть линейная функция второго рода от у. Или, иначе: 1' А (х, + х,; у) = А (х,; у) + А (х,; у), А (Хх; у) = ) А (х; у), 2' А (х; у, + у,) = А (х; у,) + А (х; у,), А (х; ру) = рА (х; у).

Примером билинейной функции является скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве А(х; у)=(х, у), рассматриваемое как функция векторов х и у. Другит примером билинейной формы в комплексном пространстве является выражение п А (х; у) = ~ч»', а(Дт)ь, съ=! рассматриваемое как функция векторов х = Р(е! + $,ет +... + Р„е„и у = т),е, + т),е, +... + т)„е„.

Легко проверить, что условия, определяющие билинейную функцию, при этом выполнены. Пусть е„, е„..., е„— некоторый базис в п-мерном комплексном пространстве. Пусть А (х; у) — билинейная форма, х н у можно записать в виде х=Е,е, +$,е,+... +$„е»п у =т) е, +т) е, +... + ц е„. Тогда А(х; у)= А(5(е(+$е,+...+$е„; т)е,+т)е,+... ц ц»е„)= и $(т)ьА !с;; е ).

л-меРнос пРОстРлнствО [гл. ! МатРица ~!а;а11 из чисел а,ь = А (ей е„) называется матриией билинейной формы Л (х; у) в базисе е„е„..., е„. Если в билинейной форме Л (х; у) положить у=х, то получится функция А (х; х), называемая квадратичной формой (в комплексном пространстве). Справедливо следующее утверждение: Бсякая билинейная форл.а однозначно Определяется своей квадро[пичной формой ч). Локазательство. Пусть А(х; х) — квадратичная форма, а х и у — произвольные векторы. Легко проверить, что имеет место тождество "') 1 Л (х; у) == — (А(х+у; х+у)+[Л(х+[у; х+[у)— — Л (х — у; х — у) — [А (х — [у; х — [у)).

(1) Выражение, стоящее справа в формуле (1), представляет собой комбинацию значений квадратичной формы для векторов х+у, х — у, х+(у и х — [у. Слева стоит значение билинейной формы для произвольных векторов х и у. Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой. Оп р еде лен не 2.

Билинейная форма называется врмитсвой, если А (х; у)=А (у; х). Это понятие являешься аналогом понятия симметрич. ной билинейной формы в вещественном евклидовом пространстве. Для того чтобы форма А (х; у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица ~~ аеь 11 в каком-либо базисе удовлетворяла условию С[ил аае *) В отличие от определенных в й 4 форм в вещестиенном пространстве, дли которых соответствующее утверждение справедлив~ лишь дли симметричных билинейных форм.

**) Читатель должен помнить, что А (х; Ху)=ХА (х; у) и, следовательно, в частности, А (х; [у)= — [А(х; у). ь в1 комплексное и-мвгнов пгоствкнство И Действительно, если форма А(х; у) эрмитова, то ам — — А (ей еь) = А (еь; еь) = аьн Обратно„если ам — — аьо то А(х; у)=-~а;Д,п =,~~~~а„р~Д;=А(у; х). 3 а м е ч а н и е.

Если в каком-либо базисе матрица билинейной формы удовлетворяет условию асе —— -аьн то это же условие выполнено для матрицы этой билинейной формы и в любом другом базисе. В самом деле, если в каком-либо базисе равенство а;„=-а„; имеет место, то А (х, у) является эрмитовой билинейной формой; но тогда и в любом другом базисе а;ь — — а ь Если билинейная форма эрмитова, то соответствующая ей квадратичная форма тоже называется эрмитовой. Для того чтобы билинейная форма А (х; у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы А (х; х) было вещественно для любого вектора х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть форма А (х; у) армитовз, т. е. А (х; у) = А (у; х). Тогда, полагая х = у, получаем~ А (х; х) = А (х; х), т. е. число А (х; х) равно своему сопряженному и, значит, вещественно. Обратно, пусть А (х; х) вещественно для любого вектора х. Тогда А(х+у„х+у), А(х+1у; к+~у), А (х — у; х — у), А(х — (у, х — ~у) вещественны, и поэтому из формулы (1) непосредственно видно, что выражения А(х; у) и А(у; х) являются комплексно сопряженными. Следствие. Квадратичная форма эрмитова в том и только в том случае, когда она принилюет только вещественные значения. Действительно, только что было доказано, что для эрмитовости билинейной формы А (х; у) необходимо и достаточно, чтобы А(х; х) была вещественна для всех х.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,99 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее