И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Заметим, что при изме11ении базиса матрица, соответству1ощая данному линейному преобразованию, вообще говоря, изменится. П р и меры. 1. Пусть )с — трехмерное пространство, А — линейное преобразование, состоящее в проектировании каждого вектора на плоскость ХУ. Примем за базис а 91 линеЙные пРеоБРАзования т! ОпеРАцт!и нАд ними 99 единичные векторы е„е„е„направленные по осям координат. Тогда Ае, == е„Ле, = е„Ае, =- О, т. е. матрица преобразования А в этом базисе имеет вил Упри!инанне. На(эти ээзтрицу того же преобразования в бэ.
зисе ет, еь еэ. где езде!, ез=-ез, еэ=ет+ее+ее. 2. Пусть Š— единичное преобразование и е„е„... ..., е„— базис в )с. Тогда Лег = е, (1 =- 1, 2, ..., и), т. е. матрица единичного преобразования в любом базисс имеет вид Легко также видеть, что матрица нулевого преобразования в любом базисе состоит сплошь из нулей. 3. Пусть )т — пространство многочленов степени ~и — 1. Преобразование А †дифференцирован, т. е.
АР(!) =Р'(1). Выберем в К базис следующим образом: гэ га-! е =-1, е,=1, е,= —, ..., е„=— 21 ''' " (и — 1)! Тогда Ае,=1'=О 1 О... О О 1 ... О О О ... 1 г 1зт' та- э = е„ ,. 1,(п — О!,) (и — 2)1 100 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл. и Таким образом, матрица преобразования А в этом базисе имеет вид 0 1 0 ...
0 О О 1 ... О О 0 О ... 1 0 О О ... О Пусть А — линейное преобразование, е„е„..., е„— базис в )с' и ~1а!ь1! — матрица преобразования А в этом базисе. Пусть х=$!е!+$,е,+... +$„е„, (4) Ах =-- т1,е, 1 Ч,еа+ ° .. + Ч,е„. (4') Найдем выражение координат т1„т1„..., т1„вектора Ах через координаты 5„5„..., $„октара х. Ймеем." Ах=А $,е!+3 е,+... +$„е„) = =-$,(а„е, +а„е,+... +а„,е„)+ +5,(а,,е,+а,„е,+... +а„,е„)+ +5„(а„,е!+а,„е,+... +а„„е„) = =-(а,Д,+а,Д,+... +а„Д„)е,+ +(а,Д,+а Д,+... +а„Д„)е,+ +(а„Д,+а„Д,+... +а„„$„) е„. Следовательно, сравнивая с (4'), получаем: Ч,=-а Д,+аД,+...
+аД„, Ч, = а,Д, +а„5, +... +а,„$„, т1„= а„Д, +а„Д, +... + а„„$„, или короче: (б) Таким образом: если линейное ареобразование А имеет в данном базисе е„е„..., е„матрицу 11ацф, то базис- % в! лннсиныв певовглзовлння и опагкции нлд ними 'г! ные векторы преобразуются с полюгггрю столбцов жной матрицы (формула (3)1, а координаты произвольного вектора — с полющью ее строк (формула (5)). 3. Сложение н умножение линейных преобразований.
Линейные преобразования можно складывать и умножать. Оп р еде лен ие 2. Проггзведеггием линейных преобразований Л и В назьюается преобразсвагше С, сссгпоящее в гигследсвательном выполнении сначала преобразования В, а затем преобразования А. Другими словами: С=ЛВ означает, что для лгобогох Сх = А (Вх). Произведение линейных преобразований есть линейное преобразование, т. е. удовлетворяет условиям 1' и 2' определения 1. Действительно, С (х, + х,) = А ! В (х, -1- х,)1 = А (Вх, + Вх,) = = АВх, + АВх, = Сх, + Сх,.
Первое равенство написано на осноиании определения произведения, второе на основании свойства !' для В, третье в силу того же свойства для А и, наконец, четвертое опять-таки в силу определения произведения. Аналогично показывается, что С(Хх)=ХСх. Если Š— единичное преобразование, а А — произвольное, то легко проверить, что АЕ=ЕА = А. Как обычно, определяем степени преобразования А: А'=А А, А'=А" А, ...
и т. д. Как и для чисел, полагаем, по определению, А' = Е. Очевидно, что Л'гг+л = А"г. Аи П р и мер. Š— пространство многочленов Р(1) степени не выше п — 1. Определим в нем преобразование О формулой ВР (1) =- Р' (1), где Р'(1) — производная многочлена Р(1). Тогда для любого Р(1) В'Р (1) = В (И' (1)) = (Р' (Г))' = Р" (!). !02 ЛИНСЙНЫВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл.
н Зта раВЕНСтВО ОПрЕдЕЛяЕт ПрЕОбраЗОВаИВЕ 0». АиаЛОГИЧНО можно определить преобразование »Р(1) =- Р™» (1), Заметим, что в данном случае (л»=0. Действительно, так как векторами пространства явля!отея многочлены степени <п — 1, то ))»Р()Р!Ь(1)0 У и р аж цен не. Выберем в пространстве многочленов степени не выше, чем и — 1, баеве, уназавный в примере 3 п. 2 этого параграфа. Байта в этом баэиее матрицы преобразований ХЗ, гз»,В», ... Мы знаем, что при заданном базисе е„е„..., е„каждому линейному преобразованию отвечает™матрица. Пусть преобразованию А отвечает матрица раза!1, Преобразованию  — матрица !!Ь!Ай; найдем матрицу ~~с! 11, отвечающую преобразованию С=АВ.
В силу определения матрицы преобразования С мы имеем: Сеа-— — ~ с;аеь (6) Далее АВе„= А( ~~" Ь,ае.1=',~ Ь Ае ='~РЬ а;.ео (7) Сравнивая коэффициенты при е; в равенствах (6) и (7), получаем: сна — — ",'а; Ьл». (8) Мы видим, что элемент см матрицы С есть сумма произведений элементов Рй строки матрицы А на соответствующие элементы й-го столбца матрицы В. Так определенная матрица называется произведением матрицы А на матрицу В. Итак, если преобразованию А отвечает матрица йагай, а преобразованию  — матрица ~!Ь1ай, то произведению этих преобразований отвечает матрица ~~с!ай, являющаяся произведением матриц йадД и йбза!!. Произведение матриц вычисляется по формуле (8). О п р е д е л е н и е 3.
Сульной линейных преобразований А и В называется такое преобразование С, которое каждому вектору х ставит в соответствие вектор Лх+Вх; иначе говоря, С = А + В означает, что Сх = Ах + Вх для любого х. $91 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРА!1ИИ НАД НИМИ 1ОЗ Пусть преобразование С есть сумма преобразований А и В. Тогда, зная матрицы преобразований А и В, легко найти матрицу преобразования С. Действительно, пусть !!оддс, соответственно йЬ1дй, суть матрицы преобразования А, соответственно В, т.
е. Ае =-~ад е„Ве =~~~~Ьмев и !!сддй — матрица преобразования С, т. е. Сед=Хс .- Так как С= А+В, то Сед — — Аед+ Вед =- "~', (аед+ Ьм) ед Ф и, следовательно, од =а, +Ьд. Матрица !1ац, +Ь1911 называется суммой матриц йацД н 11Ь1911. Итак: матрица суммы линейных преобравж™аний равна сумме матриц, сооа1ветствусои1их оглДелднднм слаеаемым. Операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют обычным для сложения и умножения условиям, а именно: 1' А+В=-В+А; 2' (А+В)+С=-А+(В+С); 3' А (ВС) =- (АВ) С; 1о 1 (А+В)С=АС+ВС, 1 С(А+В)=СА — , 'СВ.
Заметилд, что умножение линейных преобразований, вообще говоря, некоммутативно. Действительно, возьмем линейное преобразование А с матрицей 11й 111 и линейное преобразование В с матрицей ~~ ~~. Так как ~!О 11~ ~~111~ — ~~11~1 линейные пгеонгйзовлния (гл. и )~ 1 1 )1 ~) О 1 (~ )) 1 2 ~' АВ ~ ВА. Мы моглг1 бы без большого труда доказать равенства 1' — 4' непосредственно. Но в этом нет необходимости. В самом деле, между линейными преобразованиями и матрицами )становлено взаимно однозначное соответствие, причем сумме соответствуетсумма, а произведению — произведение. Для матриц формулы 1' — 4' доказываются в курсе алгебры; в силу установленного соответствия они автоматически гереносятся на линейные преобразования.
Определим еще произведение линейного преобразования А на число ).; под преобразованием ).А мы будем понимать преобразование, которое каждому вектору х ставит в ссютветствие вектор ). (Лх). Ясно, что если линейному преобразованию Л отвечает матрица йагьй, то п„еобразованию ХА отвечает матрица й).а;ьй. У п р з ж н е н и е. Проверить, что множество всех линейных преобрззовзний прострзнсгвз Й с введенными здесь операциями сложения и умножения нз число обрзэуют линейное пространство. Какова его рззмерность? Умея находить сумму и произведение линейных преобразований, можно теперь найти любой многочлеи от преобразования А.
Пусть Р(()=аэ(м+аг)"-г+... +ам— произвольный многочлен. Тогда под Р(А) мы понимаем линейное преобразование, определенное формулой Р (А) = аеАм+ а,А"-'+... +а„Е. П р н м е р. Рзссмотрим пространство )г, элементами которого являются функции, определенные нз интервале (а, Ь) и иыеющие производные всех порядков. В этом пространстве рзссмотрнм линейное преобразование В, которое каждой функции ставит в соответствие ее производную, т.
е. И Я=Г (()- ПуСтЬ тЕПЕрЬ НЗМ ЗадаН МНОГОЧЛЕН Р(Г)= — лот~+а,п"-Г+... 4-ам. Тогда Р(Р) есть линейное преобрззоввние, которое переводит функцию 1(г) в Р(П))(()=ле) (Г)+л,) - (Г)+...+и ~(Г). $91 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 105 В соответствии с введенными выше определениями сложения и умножения матриц многочлен от матрицы А мы задаем формулой Р(А) =а,Ам+а,А -'+... +а„Е. П р и и е р. Предположим, что А — так называемая диагональная матрица, т. е.
матрица, у которой на всех местах, кроме главной диагонали, стоят нули. Найдем Р (А). Иы имеем 1 л,оо...ол оо,о...о) о о о ... л„ у тогда л',о...о л~о...о О Ле ... 0 Ам 0 Ло ... 0 00 ...19 оо...л„" Отсюда следует, что если Р(1)= — аогоо+...+ооо ог+ооо, то Р(л,) О ... о ! 0 0 ... Р(Л„),' Уира ж неки е. Пусть матрица А имеет вид ГО100...0 0010 ... 0 О О О 1 ... О О О О 0 ... 1 О О О О ... 0 Найти Р(А). Можно определить не только многочлен от матрицы, но и вообще функцию от матрицы, например, е", зш А и т. д, Совокупность матриц и-го порядка образует, как мы уже упоминали в й 1 (стр. 9, пример 5), линейное пространство, если определить сумму и произведение матриц на число, как обычно. Это пространство имеет и' измерений (каждая матрица задается системой пз чисел); поэтому всякие по+ 1 матриц линейно зависимы.
Рассмотрим ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ~гл. и последовательность степеней некоторой матрицы А: Е, А, А', ..., А" . Так как их и'+1, то они .линейно зависимы, т. е. су- ществуют числа а„а„а„..., а,. такие, что а,Е+ а, А + а,А'+... + а„.А"' =- О. Мы получили следующий интересный вывод: для каждой матрицы порядка и существует многочлен степени гР такой, что Р (А) = О. Указанный здесь очень простой вывод существования многочлена Р (1), для которого Р (А) =-- О, обладает двумя недостатками. Во-первых, не указан способ вычислении такого многочлена и, во-вторых, степень такого многочлена завышена. В действительности мы несколько позже покажем, что для каждой матрицы А существует многочлен степени и, очень просто связанный с матрицей и обращающийся в нуль при подстановке в него этой матрипы.
4. Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования. Определение 4. Преобразование В называется обратным к А, если АВ=ВА=-Е, где Š— единичное преобразование. В силу определения Е это означает, что для любого х В(Ах)=-х, т. е. если А переводит х в вектор Ах, то сбратное преобразование В переводит вектор Ах обратно в вектор х. Преобразование, обратное преобразованию А.
обозначается А-'. Не для всякого преобразования существует обратное. Например, преобразование, состоящее в проектировании трехмерного пространства на плоскость Х)' (см.пример 1п. 1), очевидно, не имеет обратного. С понятием обратного преобразования связано понятие обратной матрицы. Как известно, для каждой матрицы А, удовлетворяющей условию Пе1 (А) Ф О, можно определить матрицу А-', удовлетворяющую условию АА '=А 'А=Е. (О) Эта матрица А-' называется обратной к матрице А. Ее можно найти, решая систему линейных уравнений, экви- г з] линеиные пгеоврлзовлния и операции нлд ними !от валентную матричному равенству (9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
