И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Соответствугогцаа ей билинейная форма имеет вид 3 '" (х! Р) =твайт+ 2 ваЧв+ 2вгйгз+ 2 йвЧг+НвЧа+2азЧг+свЧЛ. Вычислив определители Аг, Ьз и Ьз, получим, что они равны соот- 1 1 вегственно 2, — — и — 4 —, т. е. нн один из них не нуль. Условия 4 4 ' теоремы, таким образом, выполнены. Положим е, =авг)а =(гаго О, 0), е =аав)в+овДа =(аз„а,в, 0), ее=ах г)в+Рва( +и.
)з=(н., н . аз ). Коэффициент агв находим из условия А(е,; гв)=1, 1 т. е. 2сггг=1, или ам= — и, значит, 2 в,=2 1,=(2, О, 0). Лля азв гг ааа ггмеевг два уравнения А(е,; 1)=0 н А(в,; )а)=1, нлн 3 3 2отв+ — ива= 0; — газг+азз=1, 2 свм — — 6, ива= — 8, т. е. ез=бгв — 81'з=(6; — 8; О). Наивной, для авг, аза, аз„имеем систему уравнений А(ев; Уг)=0, А(ев; гв)=0, А(ев; (з)=1, т. е. 3 2аы+ — ава+2а в=О, 2 3 оег ! '"ва 2 =О, 2очв +нзз= — ! Л.МВРНОВ ПРОСТРАНСТВО !ГЛ. 1 откуда 8 !2 ! «'аз.= ' азз =: азз = Г7' 17 ' 17 г. е 8 12 1 /8 12 1'г е= — /з — — )+ — ) =~ —,, —,, — 1).
17 !7 17 з ~17' 17' 17/' Квадрат««чная форма в базисе ез. е„ез имеет вид А (х; к) — ~г+ — ~з+ — Рз = — ~з — 8~а+ — йз а а ! оз аз ' 2 17 где ьг, ьз, ьз — координаты вектора х в базисе ег, е„е . 2. Выше при доказательстве теоремы 1 мы не только построили базис, в котором данная квадратичная форма записывается как сумма квадратов координат, но и получили вполне определенные выражения для коэффициентов при этих квадратах, а именно: гг з-г оз ба так что квадратичная форма имеет вид (В) Это дает нам возможность найти число положительных и отрицательных коэффициентов при квадратах. Именно, если Л;, и Лг имеют одинаковые знаки, то коэффициент при Ц положителен, если же их знаки различны, то этот коэффициент отрицателен, т.
е. число отрицательных коэффициентов при квадратах равно числу перемен знака в ряду 1. Лг Лз ° ° ° Лгг Итак, доказана следующая теорема. Т е о р е м а 2. Число опгрицапгельных ковффиг)ментов при квадрапгах координат в каноническояг виде (8) квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательносггги определигпелей 1, Л,„Л„..., Ла '). *) Мы показали, как найти число положительных и отрицательных квадратов при определенном способе приведения квадратичной формы к сумме квадратов.
В следующем параграфе будет показано, что зто число †од и то же при всех способах приведение формы к сумме квадратов. ПРИВЕДЕНИЕ К СУММЕ КВАДРАТОВ Пусть, в частности, Л, > О, Л, > О, ..., Л„> О. Тогда существует базис е„е,„..., е„, в котором квадратичная форма имеет вид А(х; х)=3Д+ХД,'+... +Л„Ц, пРичем все Ач > О. СлеДовательно, А (х; х) = 0 ДлЯ всакого х, и притом равенство А (х; х) = .'~' ХД,' = 0 возможно, лишь если $,=е,=... =В„=О. Иначе говоря: Если Л,> О, Ь, > О, ..., Ь„> О, то квадратичная форлаа А (х; х) — положительно определенная. Обратно, пусть А(х; х) — положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что в этом случае ЛА>0(й=1, 2, ..., и); для этого покажем раньше, что Л„~О.
Предположим противное, т. е. что А(1,; ),) А(),; 1,) ... АД,; ц„) А(1„; ~,) А(1,; Ц ... А(1„; ~А) АД„; ~,) АД~. '1,) ... А(1», Ц тогда одна из строк этого определителя есть линейная комбинация остальных, т. е. р,А(7,; ~)+р,А(~,; 1;)+... +рьА(~А., П)=О, 1=1, 2, ..., й, где не все р равны нулю. Но тогда А(р,Г,+р,Г',+... +рь)ь; ~,) =-О (1=1, 2..., й), а следовательно, А (рА+рА+ ° ° ° + рАЛ' М+ р1. + ° + рь(ь) =О. в то время как рА+рй + ° ° ° -гр ) О, и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [гл. [ что противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, согласно теореме 1, А (х; х) можно привести к виду А (х; х) =- Х>й,'-+...
+ Х„йн, где Лэ л = — =. Лэ Так как для положи~ельно определенной квадратичной формы все Аь > О, то и все Ь > О. (Напоь>ниьэ, что Л, = 1.) Итак, нами доказана Те о рема 3. Пусть А (х; у) — силыгетричная билинейная грорлш и )ы ~ы ...„)и — базис в п-лгернолг пространен>ве Й. Для того чтобы квадратичная форлш А (х; х) била положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы Ь,)0, Л,>о, ..., Л„)0.
Эта теорема называется условием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Мы могли бы взять вместо [д, /м ..., (, какой-либо другой базис и написать условия положитыльйой определенности формы А (х: х) через веиторы этого нового базиса. В частности, если мы в начесгве нового базиса возьмем те >ке самые векторы [>, [э, ..., гп, но только в другом порядке, то новыми минорами Л>, Л„..., Л„будут различные главные миноры *) л>атриц» 11 аээ (Р Отполз вытекает интересное С леде та н е.
Если все главные мнноры Л„Л„..., Л„матраце> 1)а;э 1~ кваоратачной формы А(х; х) в банном баэасг положапильнь>, то мх>бще всг главные манврь> этой матрицы полохсипмльны. В самом деле, если все миноры Лэ матрицы 1(ага 'й поло>кительны, то форма А (х; х) положительно определенная. Пусть Л вЂ” какой-либо главный минор матрицы 1, 'а;э(~ и пусть р„р, ..., рэ — номера входящих в него строк и столбцов этак матрицы (так как минор — главный, то зти номера для строк и столбцов одни н те же).
Переставив в исходном базисе векторы с номерами р>, ре, ..., ра на первое, второе и т. д., Ь-е место и записав в этом новом базисе условия положительной определенности формы, получим Л > О. 3. Определители Грама. Результаты этого параграфа мы изложим сейчас для случая, когда в качестве квадратичной формы выбрано скалярное произведение в евкли- ") Главными минорамн наэывыотся те, цри составлении которых выделяя>тся аголфгы с теми же номерами, что и строки. 77 пРиведение к сумме кв»ДР»тоэ довом пространстве, т. е. А (х; х) = (х, х).
Мы знаем, что скалярное произведение вектора с собой есть положительно определенная квадратичная форма, и обратно„ каждая симметричная билинейяая форма, которой соответствует положительно определенная квадратичная форма, может быть принята за скалярное произведение. Поэтому всякая теорема о положительно определенных квадратичных формах является одновременно некоторой теоремой о векторах в евклидовом пространстве. Пусть е„е„,..., е„— векторы в евклидовом пространстве. Определитель (еп е») (е„ е,) ... (е„ е„) (е„ е,) (е,„ е„) ... (е„ е„) (егп е1) (е„, е») ... (е, е») называется определителем Грал1а этой системы векторов.
Теорема 4. Определитель Грома любой систел1ы векторов всегда больше или равен нулю. Он равен нулю тогда и только тогда, когда векторы е„е„..., е» линейно зависимы. Доказательство. Пусть векторы е„е„..., е„ линейно независимы. Рассмотрим билинейную форму А(х; у)==(х, у), где (х, у) — скалярное произведение векторов х и у. Тогда определитель Грана есть определитель Л», рассмотренный в этом параграфе (с»ь формулу (7)).
Так как А(х; х)— положительно определенная квадратичная форма, то, в силу теоремы 3, Л ) О. Докажем, что в случае линейно зависимых векторов определитель Грама равен нулю. Действительно, если е„е„..., е» линейно зависимы, то хоть один из них, например е», есть линейная комбинация остальных: Е, = Х,Е, + Х„Е, +... +).»,Е»вп Поэтому последняя строка в определителе Грана есть 78 1ГЛ. 1 В-МГРНОЕ ПРОСТРАНСТВО линейная комбинация остальных. Значит, он равен нулю. Теорема полностью доказана.
В качестве примера рассмотрим определитель Грама двух векторов х и у: (х, х) (х, у) (у, х) (д, у) Утверждение, что Лз > О, превращается в этом случае в неравенство Коши-Буняковского. П римеры. 1. В евклидовом трехмерном пространстве (или на плоскости) определитель аз= ((х, х) (х, у) ( (у, х) (у, у) ! имеет следующий геометрический смысл: Лз равно квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах х и у. В саыом деле, по определению скалярного произведения (х д)=(д, х)=(х((у(созф, где ф — угол между векторами х и у. Поэтому Ьз=! х !з ) у )з — ( х )з (у !з созе ф=— =(х )з !у )з(1 — созе гр)=(х )з( у )за(пз ф, т. е.
Лз равно квадрату плошади параллелограмма, построенного на вектарак х и у. 2. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на векторах х, д, г, как показывается в аналитической геомет. рни, равен абсолютной величине определителя (хз х, хз( "= уз дз уз гз г, га где хь уь гг †координа векторов х, у, г в ортогональном базисе.
Вычислим ивадрат этого определителя, умножая строки ва строки. Иы получимг х,+х,'+х," х,у +кидз-рхх, х,г,+х,г,+х,г, угла+узза+дихт уз+уз+у' у,гт+у,ге+у г, гага+гехи+гата гауз+гауз+гздз аз+ге+ хз ( (х, х) (х, у) (х, г)( =- (у, х) (д, у) (у, г) (г, х) (г, у) (г, г) Таким образом, определитель Грама векторов х, у, г равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. 4 т! закон и!чапнин Дналогичио можно показать, что определитель Грана А вектороз х, у, ..., ш в А-мерном пространстве г) равен квадрату определителя х, ха ... хь у! уз " уг тле хн соответственно уг н т. д.
†координа вектора х, соответственно у и т. д. в каком-нибудь ортогональном базисе. гго англогии с трехмерным пространством модуль определителя (З) называют объемом Аьмсрного параллелепипеда, определяемого векторамих,у, ...,ш. 3. В пространстве функций (пример 4 З 2) определитель Грана пишется так! ~МЯУ!(Г)й! ~ЬЯ!еййГ."~УЬ'(!)йь и доказавнавнами теорема означает: Определапмль Гралю системы функций) О. Лля линейной Зависимости системы функций необходимо и достаточно, чтобы их опребелитесь Грома бьт равен нулю. р 7. Закон инерции 1. Закон инерции. Приводя квадратичную форму А (х; х) к сумме квадратов, можно по-разному выбирать тот базис, в котором зта форма приводится к сумме квадратов, т. е. к виду л А(х; х) =ч~~, 'ХДа!.
е=! ") Для нас, консчно, несущественно, что размерность пространства равна А. В действительности пространство )с может иметь произвольное (даже бесконечное) число измерений, поскольку пашк рассузкдении могут быть отнесены к надпространству, порожденному векторамн х, и, ..., го. ~)'(г) йг Ь 1),Ю),(г)йг о Ь Ь ~ ), (!) 4 (!) й! ... ~ ), (!) )г (!) й! а И ь ь ~ у4 (!) и ...
~ у, (!) ра (г) й! и а и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1гл. 1 Все Те АР которые отличны от нуля, можно, заменяя векторы базиса им пропорциональными, сделать равными -~ 1. Таким образом, канонический вид формы Л (х; х) в некого)юм соответствующим образом подобранном базисе вполне можно характеризовать количеством коэффициентов, равных соответственно нулю, + 1 и — 1. Так как мы люжем по-разному выбрать тот базис, в котором квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов, то возникает вопрос, зависит ли количество коэффициентов, равных нулю, +1 и — 1, от выбора базиса или же эти числа зависят лишь от квадратичной формы Л(х; х) (являются ее инвариантами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
