И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Примером эрмитовой квадратичной формы является форма А (х; х) = (х, х), где (х, х) означает скалярное произведение вектора х Л.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО с самим собой. Действительно, аксиомы 1' — 3' скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве означают, что (х, у) есть эрмитова билинейная форма, и поэтому (х,х) есть эрмитова квадратичная форма. Если, как и в $ 4, назвать положительно определенной квадратичную форму, удовлетворяющую условию А(х;х))О при х~О, то комплексное евклидова пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в кагором задана положительно определенная эрмитова квадратичная форма.
Аналогично тому, как это сделано в вещественном пространстве, можно показать, что если А и 1у суть матрицы билинейной формы А (х; д) соответственно в базисах е„е„..., е„и ~О ~е, .... )„, то В =С'АС, где С вЂ” матрица перехода от базиса е„е„..., е„к базису 1„ 1.„ ..., )„, а С' †матри, транспонированная и комплексно-сопряженная к матрице С. 5. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема 1. Пусть А(х; х) — эрмитова квадратичная форма в комплексном аффинном пространстве П.
Тогда в тт' существует базис е„е„..., е„, в котором эта квадратичная форма омега вид А (х; х) =ХДД,+ХДД,+... +ЛДД„, где Х; — веи(ественны. Доказательство можно получить, перенося почти дословно доказательство соответствующей теоремы в вещественном пространстве. Однако ввиду того, что в й б это доказательство изложено без уяснения его геометрической стороны, мы здесь вкратце повторим это доказательство в ином, более геометрическом, изложении. Для этого мы будем один за другим выбирать векторы того базиса, в котором форма приводится к сумме квадратов. Выберем вектор е, так, что А (е,; е,) =ть О; это возможно, так как в противном случае мы имели бы А (х; х) =-О для любого х, а следовательно, в силу формулы (1), и А (х; у):=О. В (и — 1)-мерном пространстве й'", состоящем из векто- в в« КОМПЛЕКСНОЕ П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 93 ров х, удовлетворяющих условию А (е,; х) =-О, выберем век- тор е, такой, что А (е,; вп) ~0, и т.
д. Этот пропесс про- должим до тех пор, пока мы не придем к подпростран- ству )с'>, в котором А(х; у)=0 (К'о ъюжет оказаться состоящим лишь из нуля). Если Ри отлично от нуля, то выберем в нем произвольный базис е,+О е,+„..., еп. Вместе с построенными векторами е„е„..., е, они обра- ВУют базис ем вп, ..., еп всего Я. По построению А(е;; гв)=0 для в(й, а значит, в силу эрмитовости формы А(х; р), А(еле„)=0 и для (>й, т.
е. А(ей ев)=0 для в:~й. Поэтому, если х = гпе, + $,е, +... + $„е„ вЂ” произвольный вектор, то А (х; х) = $Д А (е,; ев) + $ДА (е,; е) +... +$ Д„А (е„; е ). При этом числа А (е,; е,.) вещественны, как значения эрмитовой квадратичной формы. Обозначая А(е;; е;) через )ч, имеем: А(х; х)=ХДД,+ХДД,+... +ХДД„=- =) Л,«+) Л,«+ +хЛ.«. 6. Приведение эрмитовой квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием.
Пусть А (х; х)— эрмитова квадратичная форма в комплексном линейном пространстве и ео е„..., еп — базис. Мы будем предполагать, что определители а„а„...а,п а„а„...а,„ Ь,= 11 -, дп= Пп1 Опв' "Опп где ам-— А(е;; е ) отличны от нуля. Тогда, так же как и в ~ 6, мы можем написать формулу для нахождения л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО )гл. г базисов, в которых квадратичная форма приводится к сумме квадратов. Зтн формулы в точности совпадают с формулами (3) и (6) у 6. При этом сама квадратичная форма в новом базисе имеет вид А(х; х) = — „;(е,('+ —,' ($,(Я+... + — "'($„1', (2) 1 2 л где Л,=--1.
Отсюда, в частности, следует, что определители Ьо Л„..., Ь„вещественны; действительно, если эрмитова квадратичная форма приведена к каноническому виду (2), то коэффициенты Х, равны А(ег, ед и вещественны. У и р а ж н е и и е. Йоквзнть непосредсгвсино, что если кввяратичияя форма Л (х; к) ярмитовв, то определители Ьь Ье, ..., Лл вещественны. Так же, как и в уб, мы получаем, что для того тпоби эрмитова квадратичная форма А (х„х) била положительно определенной, необходимо и достаточно, чп>оби построенные по ней определители Л„Ь„..., Л„были положительны.
Число отрицательных коэффициентов при квадратах в каноническом виде эрмитовой квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей 1, Ьо Ь„..., бл. 7. Закон инерции. Имеет место теорема, доказательство которой ничем не отличается от доказательства соответств)чащей теоремгл в у 7: Т е о р е и а 2. Если эрлттова квадратичная форма имеет в двух баэшах канонический вид, та число пололсительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в обоих случаях одно и то же.
Понятие ранга квадратичной формы, введенное нами в $ 7 для случая вещественного пространства, переносится без изменений и на комплексный случай. ГЛАВА П ЛИНЕИНЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ й 9. Линейные преобразования и операции над ними 1. Основиь.е определения. В предыдущей главе мы изучали функции в п-мерном линейном пространстве, принимающие численные значения (линейные функции, квадратичные и т.
д.). Но в ряде случаев возникает потребность рассматривать функции другого типа, а именно, функции, которые точкам пространства ставят в соответствие снова точки того же пространства (а не числа). Простейшими среди функпий такого рода являются линейные преобразования. Определение 1. Пусть каждому вектору х и-мерного пространства поставлен в соответствие вектор у этого же пространства. Функцию у = А (х) мы назовем преображваниея~ пространства )с. Преобравмание А называется линейньии, если вьшолнены следуюгцие условия: 1' А (х, + х.,) =- А (х,) + А (х,), 2' А (Лх) =- ЛА (х).
Там, где зто не сможет привести к недоразумениям, вместо А (х) мы будем писать Ах. 11 р и м е р ы. 1. Рассмотрим трехмерное евклидова пространство И и в нем преобразование, состоящее в повороте )с вокруг какой-либо оси, проходящей через нуль. Каждому вектору х ставится в соответствие вектор Ах, полученный из него данным поворотом. Условия 1' и 2' проверяются без труда. 11роверим, например, условие 1'. ч(х, +х,) означает, что векторы х, и х, сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРйзовйиии 1гл. и Ах,+Ах, означает, что векторы х, и х, сперва поворачиваются, а затем складынаются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же. 2. Пусть й' — некоторая плоскость в трехмерном пространстве )г', проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию х'=Ах на зту плоскость. Условия 1' и 2' опять легко проверяются.
Например, 1' означает, что проекция суммы равна сумме проекций. 3. Рассмотрим аффинное л-мерное пространство, в котором вектор определен как совокупность и чисел. ПУсть !1 ам 1 — некотоРаЯ матРица. Поставим в соответствие каждому вектору х=-(Ц„Ц„..., Е„) вектор у=-Ах=(Ч„т4, ..., Ч„), где тй вычисляются по формулам Условия 1' и 2', определяющие линейное преобразование, проверяются без труда. 4. Рассмотрим л-мерное пространство, элементами которого являются многочлены степени ~а — 1. Положим АР (1) =- Р'(1), где Р' (1) — производная многочлена Р (1). Это преобразование — линейное.
Действительно, 1' (Р,(1)+Р,(1))'=Р;(1)+Р,'(1), 2' (ХР (1))' =-- ХР' (1). 5. Рассмотрим пространство, в котором векторами яеляются непрерывные функции ~(1), 0(1 = 1. Положим з ю линейные пгеовгьзовлния и опаглпни нлд ними 97 Преобразование А — линейное. Действительно, 1' А (1, + Я = ) 11", (т) + 1, (т)1 дт = е Ю = ) 1, (т) с(т+ ) ~, (т) бт = А1", + А1„ 6 О 2' А (Ц) =- 1 Ц (т) с(т = 1. ~ ~ (т) с(т = КА1. а о 6.
Рассмотрим то же пространство, что и в примере Б. Пусть я (1, з) — непрерывная функция, заданная в квадрате 0<1<1, 0<в<1. Положим 1 ср (1) : =А1 (1) = ) й (1, а) )" (з) ая. о Проверьте сами, что зто преобразование линейно. Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования: Единичное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т. е, Ех=х. Нулевое преобразование О, ставящее в соответствие каждому вектору х нулевой вектор: Ох=0. 2.
Связь между матрицами и линейными преобразованиями. Пусть е„е„..., е„— некоторый базис в и-мерном пространстве Я и А — линейное преобразование и К. Для люби х п векпюров у„д„..., д„суи(ествует одно и только одно линейное преобразование А, такое, что Ае, =а„Ае,=я„..., Ае„=я„.
Докажем зто. Покажем сначала, что преобразование А однозначно определяется векторами Ае„Ае„..., Ае„. Действительно, пусть х=$,е,+4,е,+... +5„е„ (1) ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл. !1 — произвольный вектор из )с. Тогда Ах=А($,е,+К,е,+... +$„е,)=- =Е,Ле,+5,Ае,+... +5„Ае„ (2) и, следовательно, Ах однозначно определяется по Ле„ Ле„ ..., Ае„. Теперь покажем, что для всяких векторов йий„...,й, существует линейное преобразование А, такое, что Ае; = а;.
Для этого поставим в соответствие векторам е; векторы й,; произвольному же вектору х=-$,е,+... +ч,е„поставим в соответствие вектор ~,й,+... +$„д„. Так как вектор х выражается через е, однозначно, то ему ставится в соответствие вполне определенный вектор Ах. Легко проверить, что так определенное преобразование А линейно. Обозначим координаты вектора йл в базиае е„е„..., е, через аии аип ..., а„, т. е. положим ил.—.
Аел — — ~~ аплее (3) Совокупность чисел а1„(1, й = 1, 2, ..., и) образует матрицу А= — 1! аел1, которую мы назовем матрицей линейного преобразования Л в базисе е„е„..., е„. Итак, мы доказали, что при заданном базисе е„е„..., е„ каждому линейнол1у преобразованию А однозначно соответствует матрица ~1 апл й, и, обратно, каждой матрице 11 ам ~! однозначно отвечает линейное преобразование, спределяелше формулалт (3), (1), (2). Мы видим, таким образом, что линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и матрицы являются тем аналитическим аппаратом, с помощью которого изучаются линейные преобразования в конечномерпых пространствах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
