Главная » Просмотр файлов » И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре

И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 15

Файл №1113352 И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре) 15 страницаИ.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352) страница 152019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Примером эрмитовой квадратичной формы является форма А (х; х) = (х, х), где (х, х) означает скалярное произведение вектора х Л.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО с самим собой. Действительно, аксиомы 1' — 3' скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве означают, что (х, у) есть эрмитова билинейная форма, и поэтому (х,х) есть эрмитова квадратичная форма. Если, как и в $ 4, назвать положительно определенной квадратичную форму, удовлетворяющую условию А(х;х))О при х~О, то комплексное евклидова пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в кагором задана положительно определенная эрмитова квадратичная форма.

Аналогично тому, как это сделано в вещественном пространстве, можно показать, что если А и 1у суть матрицы билинейной формы А (х; д) соответственно в базисах е„е„..., е„и ~О ~е, .... )„, то В =С'АС, где С вЂ” матрица перехода от базиса е„е„..., е„к базису 1„ 1.„ ..., )„, а С' †матри, транспонированная и комплексно-сопряженная к матрице С. 5. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема 1. Пусть А(х; х) — эрмитова квадратичная форма в комплексном аффинном пространстве П.

Тогда в тт' существует базис е„е„..., е„, в котором эта квадратичная форма омега вид А (х; х) =ХДД,+ХДД,+... +ЛДД„, где Х; — веи(ественны. Доказательство можно получить, перенося почти дословно доказательство соответствующей теоремы в вещественном пространстве. Однако ввиду того, что в й б это доказательство изложено без уяснения его геометрической стороны, мы здесь вкратце повторим это доказательство в ином, более геометрическом, изложении. Для этого мы будем один за другим выбирать векторы того базиса, в котором форма приводится к сумме квадратов. Выберем вектор е, так, что А (е,; е,) =ть О; это возможно, так как в противном случае мы имели бы А (х; х) =-О для любого х, а следовательно, в силу формулы (1), и А (х; у):=О. В (и — 1)-мерном пространстве й'", состоящем из векто- в в« КОМПЛЕКСНОЕ П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 93 ров х, удовлетворяющих условию А (е,; х) =-О, выберем век- тор е, такой, что А (е,; вп) ~0, и т.

д. Этот пропесс про- должим до тех пор, пока мы не придем к подпростран- ству )с'>, в котором А(х; у)=0 (К'о ъюжет оказаться состоящим лишь из нуля). Если Ри отлично от нуля, то выберем в нем произвольный базис е,+О е,+„..., еп. Вместе с построенными векторами е„е„..., е, они обра- ВУют базис ем вп, ..., еп всего Я. По построению А(е;; гв)=0 для в(й, а значит, в силу эрмитовости формы А(х; р), А(еле„)=0 и для (>й, т.

е. А(ей ев)=0 для в:~й. Поэтому, если х = гпе, + $,е, +... + $„е„ вЂ” произвольный вектор, то А (х; х) = $Д А (е,; ев) + $ДА (е,; е) +... +$ Д„А (е„; е ). При этом числа А (е,; е,.) вещественны, как значения эрмитовой квадратичной формы. Обозначая А(е;; е;) через )ч, имеем: А(х; х)=ХДД,+ХДД,+... +ХДД„=- =) Л,«+) Л,«+ +хЛ.«. 6. Приведение эрмитовой квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием.

Пусть А (х; х)— эрмитова квадратичная форма в комплексном линейном пространстве и ео е„..., еп — базис. Мы будем предполагать, что определители а„а„...а,п а„а„...а,„ Ь,= 11 -, дп= Пп1 Опв' "Опп где ам-— А(е;; е ) отличны от нуля. Тогда, так же как и в ~ 6, мы можем написать формулу для нахождения л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО )гл. г базисов, в которых квадратичная форма приводится к сумме квадратов. Зтн формулы в точности совпадают с формулами (3) и (6) у 6. При этом сама квадратичная форма в новом базисе имеет вид А(х; х) = — „;(е,('+ —,' ($,(Я+... + — "'($„1', (2) 1 2 л где Л,=--1.

Отсюда, в частности, следует, что определители Ьо Л„..., Ь„вещественны; действительно, если эрмитова квадратичная форма приведена к каноническому виду (2), то коэффициенты Х, равны А(ег, ед и вещественны. У и р а ж н е и и е. Йоквзнть непосредсгвсино, что если кввяратичияя форма Л (х; к) ярмитовв, то определители Ьь Ье, ..., Лл вещественны. Так же, как и в уб, мы получаем, что для того тпоби эрмитова квадратичная форма А (х„х) била положительно определенной, необходимо и достаточно, чп>оби построенные по ней определители Л„Ь„..., Л„были положительны.

Число отрицательных коэффициентов при квадратах в каноническом виде эрмитовой квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей 1, Ьо Ь„..., бл. 7. Закон инерции. Имеет место теорема, доказательство которой ничем не отличается от доказательства соответств)чащей теоремгл в у 7: Т е о р е и а 2. Если эрлттова квадратичная форма имеет в двух баэшах канонический вид, та число пололсительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в обоих случаях одно и то же.

Понятие ранга квадратичной формы, введенное нами в $ 7 для случая вещественного пространства, переносится без изменений и на комплексный случай. ГЛАВА П ЛИНЕИНЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ й 9. Линейные преобразования и операции над ними 1. Основиь.е определения. В предыдущей главе мы изучали функции в п-мерном линейном пространстве, принимающие численные значения (линейные функции, квадратичные и т.

д.). Но в ряде случаев возникает потребность рассматривать функции другого типа, а именно, функции, которые точкам пространства ставят в соответствие снова точки того же пространства (а не числа). Простейшими среди функпий такого рода являются линейные преобразования. Определение 1. Пусть каждому вектору х и-мерного пространства поставлен в соответствие вектор у этого же пространства. Функцию у = А (х) мы назовем преображваниея~ пространства )с. Преобравмание А называется линейньии, если вьшолнены следуюгцие условия: 1' А (х, + х.,) =- А (х,) + А (х,), 2' А (Лх) =- ЛА (х).

Там, где зто не сможет привести к недоразумениям, вместо А (х) мы будем писать Ах. 11 р и м е р ы. 1. Рассмотрим трехмерное евклидова пространство И и в нем преобразование, состоящее в повороте )с вокруг какой-либо оси, проходящей через нуль. Каждому вектору х ставится в соответствие вектор Ах, полученный из него данным поворотом. Условия 1' и 2' проверяются без труда. 11роверим, например, условие 1'. ч(х, +х,) означает, что векторы х, и х, сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРйзовйиии 1гл. и Ах,+Ах, означает, что векторы х, и х, сперва поворачиваются, а затем складынаются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же. 2. Пусть й' — некоторая плоскость в трехмерном пространстве )г', проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию х'=Ах на зту плоскость. Условия 1' и 2' опять легко проверяются.

Например, 1' означает, что проекция суммы равна сумме проекций. 3. Рассмотрим аффинное л-мерное пространство, в котором вектор определен как совокупность и чисел. ПУсть !1 ам 1 — некотоРаЯ матРица. Поставим в соответствие каждому вектору х=-(Ц„Ц„..., Е„) вектор у=-Ах=(Ч„т4, ..., Ч„), где тй вычисляются по формулам Условия 1' и 2', определяющие линейное преобразование, проверяются без труда. 4. Рассмотрим л-мерное пространство, элементами которого являются многочлены степени ~а — 1. Положим АР (1) =- Р'(1), где Р' (1) — производная многочлена Р (1). Это преобразование — линейное.

Действительно, 1' (Р,(1)+Р,(1))'=Р;(1)+Р,'(1), 2' (ХР (1))' =-- ХР' (1). 5. Рассмотрим пространство, в котором векторами яеляются непрерывные функции ~(1), 0(1 = 1. Положим з ю линейные пгеовгьзовлния и опаглпни нлд ними 97 Преобразование А — линейное. Действительно, 1' А (1, + Я = ) 11", (т) + 1, (т)1 дт = е Ю = ) 1, (т) с(т+ ) ~, (т) бт = А1", + А1„ 6 О 2' А (Ц) =- 1 Ц (т) с(т = 1. ~ ~ (т) с(т = КА1. а о 6.

Рассмотрим то же пространство, что и в примере Б. Пусть я (1, з) — непрерывная функция, заданная в квадрате 0<1<1, 0<в<1. Положим 1 ср (1) : =А1 (1) = ) й (1, а) )" (з) ая. о Проверьте сами, что зто преобразование линейно. Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования: Единичное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т. е, Ех=х. Нулевое преобразование О, ставящее в соответствие каждому вектору х нулевой вектор: Ох=0. 2.

Связь между матрицами и линейными преобразованиями. Пусть е„е„..., е„— некоторый базис в и-мерном пространстве Я и А — линейное преобразование и К. Для люби х п векпюров у„д„..., д„суи(ествует одно и только одно линейное преобразование А, такое, что Ае, =а„Ае,=я„..., Ае„=я„.

Докажем зто. Покажем сначала, что преобразование А однозначно определяется векторами Ае„Ае„..., Ае„. Действительно, пусть х=$,е,+4,е,+... +5„е„ (1) ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл. !1 — произвольный вектор из )с. Тогда Ах=А($,е,+К,е,+... +$„е,)=- =Е,Ле,+5,Ае,+... +5„Ае„ (2) и, следовательно, Ах однозначно определяется по Ле„ Ле„ ..., Ае„. Теперь покажем, что для всяких векторов йий„...,й, существует линейное преобразование А, такое, что Ае; = а;.

Для этого поставим в соответствие векторам е; векторы й,; произвольному же вектору х=-$,е,+... +ч,е„поставим в соответствие вектор ~,й,+... +$„д„. Так как вектор х выражается через е, однозначно, то ему ставится в соответствие вполне определенный вектор Ах. Легко проверить, что так определенное преобразование А линейно. Обозначим координаты вектора йл в базиае е„е„..., е, через аии аип ..., а„, т. е. положим ил.—.

Аел — — ~~ аплее (3) Совокупность чисел а1„(1, й = 1, 2, ..., и) образует матрицу А= — 1! аел1, которую мы назовем матрицей линейного преобразования Л в базисе е„е„..., е„. Итак, мы доказали, что при заданном базисе е„е„..., е„ каждому линейнол1у преобразованию А однозначно соответствует матрица ~1 апл й, и, обратно, каждой матрице 11 ам ~! однозначно отвечает линейное преобразование, спределяелше формулалт (3), (1), (2). Мы видим, таким образом, что линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и матрицы являются тем аналитическим аппаратом, с помощью которого изучаются линейные преобразования в конечномерпых пространствах.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,99 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее