И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 11
Текст из файла (страница 11)
=-Х„=О, мы приходим, таким образом, к следующей теореме: Теорема. Пусть в п-мерном пространстве Й задана произвольная квадратичная форма Л (х; х). Тогда в )т суи1ествует базис е„е„..., е2, в коа1ором зта «вадратичная форма имеап вид Л (х; х)=АД2+Х,А22+... +ХД2„ 4 з) пииввдвнив квлдплтичнои шопмы к сзммв квлдплтов 67 еде $ы кзз ..., с„— координаты вектора х в базисе е„ е„..., е„.
Приведем пример приведения квадратичной формы к сумм| квадратов по описанному методу. Пусть в трехмерном пространстве с некоторым базисом (з, )з, )з задана квадратичная форма А (х; х) =2Ч|Чэ+ 4Ч|Чэ — з)э — 8Чз. Положим Ч| =Чз. Чэ=чь Чз = Чз. Тогда получим: А (х", х)= — Ч| +2Ч|Чз+4чэчэ — 8пэ ° Дальше, полагая Ч|= Ч|+Чз з)з = з)з, Чз= Чз мы получим новое выражение для квадратичной формы: *э М * зэ А (|Ч х)= — Ч, + з)э +4чзчз 8Чз ° Преобразование аз= Чь — Чз+2Чз, 5з= Чз выделит из на|ней квадратичной формы еше один полный квадрат, после чего форма примет канонический вид: А (х; х) = — йз+ Я вЂ” 12$~~.
ИМЕЯ фоРмУлы, выРажающие Ч„Ч",...., Ч,, чЕРез Чм эа Ч„..., т1„; затем Ч,, ..., Ч„чеРез т)„Ч„..., Ч|о и т. д., мы можем получить выражение координат $„8„..., йз через первоначальные координаты Ч„ Ч„ ..., |1„: 5|=сз|Ч|+С„Ч,+... +с|„Ч„, Р, = смЧ, + сэ,Чэ+... + с,„Ч„, Вл = сз|Ч| + СэзЧз + ° ° ° + с,Ч ° 1гл. а П.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Так, в приведенном выше примере эти формулы имеют внд 1=Че Че и=пт +ача ээ= Чэ- Вспоминая 8 1, п. 6), что матрица, дающая преобразование координат, является обратной и транспоннрованной к матрице преобразования базиса, мы можем выразить векторы нового базиса е„е„..., е„через векторы старого базиса 1„1„..., 1„: е, =- йы1, +О1е1е+...
+ и,„1„, е. = е)„1, + д„1, + - .. + П,„1„, е.=-~.1,+~„,1,+... +е)„„1„. Если в процессе приведения нам ни разу не приходилось производить преобразования, меняющего сразу две координаты (такое преобразование, как мы помним, приходится совершать, когда в преобразуемой форме отсутствуют квадраты ьсюрдинат, либо если приходилось менять нумерацию), то формулы преобразования имеют вид $, = сОЧ, + с„Че+... + с,ипи, с„Ч, +... +с,ит1и, СлиЧи т. е. матрица преобразования является так называемой треугольной матрицей. Легко проверить, что матрица преобразования базиса будет в этом случае также треугольной матрицей вида е, — — д„1О е,=дэ,1т+д„1„ е„= Й„1, + Й„е1, +... +д„„1,.
Здесь д„— алгебраическое дополнение элемента с, матрипы ~', с;д!1, делеилюе на определитель этой матрицы. ПРИВЕДЕНИЕ К СУММЕ КВАДРАТОВ 5 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием 1. В этом параграфе мы укажем еще один способ построения базиса, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов.
В отличие от предыдущего параграфа мы дадим формулы, выражающие искомый базис е„е„..., е, непосредственно через исходный базис (а не в несколько шагов, как в й 5). При этом, однако, мы должны будем на форму А (х; у1 и исходный базис 1ы 1„..., )„наложить следующее ограничение: пусть !! агв !! — матрица билинейной формы А(х; д) в базисе )о 1„..., („.
Мы предположим, что слеДУюЩие миноРы м™атРицы 11 а;а!! Все отличны от нУлЯ е): ~а„ а„ Ьтс амчь0; Ла=-~ ~ ве паа ам а„... а„, азз аее ... аа„ аю ач,... ап, В каждом базисе )„).„..., 1„квадратичная форма А(х; х) имеет вид и А (х; х) = Х а,айД,, где а;А = — А (~Р 1А). с и=1 Наша цель — определить векторы еы е„..., е„так, чтобы А(еб е„)=0 при (~й (с, А=1, 2, ..., и). (2) Процесс, с помощью которого это будет сделано, совпадает с процессом ортогонализации, описанным в п.
1 2 3, если заменить в этом процессе скалярное произведение векторов произвольной билинейной формой А (х; у), удовлетворяющей условиям (1). е) Можно показать, что зто требование равносильно тому, что при приведении квадратичной формы к сумме квадратов по методу, описанному в 1 5, аы ье О, паз Р 0 и т. д.
то игл. з л-мвгнов пгостглнство Будем искать векторы е,„ ..., е, в виде е, =- а„г„ е,=а,Д+а„Г„ (3) е„=а„,),+а„,),+... +а„„Г„. Коэффициенты аьэ можно было бы найти из условий (2), подставив в эти условия вместо е„е„..., е„их выражения из (3). Однако это неудобно для вычислений, так как пришлось бы решать уравнения второй степени относительно а; . Поступим поэтому несколько иначе. Если А(ее, ~;)=О для 1=-1, 2, ..., й — 1, то и Л(еь; е,.)=-О для 1=-1, 2, ..., й — 1.
Действительно, подставляя вместо е; выражение а;,~,+а,,),+... +анаши получаем: А(етй е;)=-А(еэ; а;Д,+а;,~.+... +а;А) = =-а;,А(е„; )1)+аиА(еэ; г)+... +анА (еэ; 7). Таким образом, если А(е„; 1;) =О для любого й и любого 1(й, то и Л(е„; е;)=О для(( й, и следовательно, в силу симметрии билинеиной формы и для 1> й, т. е. е„е„... ..., е„— требуемый базис. Наша задача сведена, таким образом, к следующей: определить коэффициенты а„„а „..., аээ так, чтобы вектор еэ — ае,г, + аэ~, -1-... + а„„~„ удовлетвор ял условиям А(ее; )';)=О, 1=1, 2, ..., й — 1. (() Этими условиями вектор еэ определяется с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель с помощью требования А (еэ; (э) = 1. (5) 7! ПРИВЕДЕНИЕ К СУММЕ КВАДРАТОВ б б1 амА(~,; ~)+аа,А(~,; Ц+...
+аааЛ(~,; га)=0, аазА (1А „У+аа,Л (1А,; 1в) +... ... +а„„АДА,; Я=О, а„Л А; Г,) + «ыА ()'а; ),)+ " + а, 4 (Ь; 1а) = 1 Определитель этой системы уравнений равен (6) А(1,; Р,) А(1„1,) ... А(У,; );) Л()',; 1,) А(1,; Г,) ... АД,; Г„) '4 (Ра~ Уг) 4 (6а' Р ) А (Ра~ $ь) и по условию (1) отличен от нуля. Поэтому решение системы (6) существует и единственно. Таким образом, задача нахождения вектора еа нами решена для любого й. Найдем теперь коэффициенты Ьм квадратичной формы А(х; х) в базисе е„е...
е„. Как нам уже известно, Ьм —— А(ей еа). По построению этого базиса, А (е,-; еа) =О при ЬФ й, т. е. Ьн„-- — 0 при )~й. Вычислим Ьаа=-А(еа; ЕА): А(еь; е„) — А(еа; аа,~,+аа„(,+... +азу= =а„,А (е;, )з)+ааА (еа; ))+... +аааА(еа; га) *) и в силу условий (4) и (5) Л (еа; еь) = а „. Число ааа можно найти из системы (6)„согласно правилу Крамера Ьа з ааа = аа ') Выкладка сильно усложнилась бы, если бы мы заменили еа его выражением через й н на первом, и на втором месте. Ь(ы увидим сейчас, что условиями (4) и (5) вектор га определен уже однозначно. Подставив в (4) и (5) выражение для еа, мы получим следующую систему уравнений первой степени относительно а„;: тт и-мввное пеоствянство >гл, > где Лл, †определите, аналогичный (7) порядка й — 1, и где поло>кено Л,=1. Таким образом, Ь„, = А (е„; е„) = =.
Ьл-> Ль Итак, доказана следующая Теорема 1. Пуси.ь в бизисе >„1„..., 1„квадратичная форма имеет вид А(х; х)=~чамЧ>т)ы где агв — — А(>й 1). Пусть, далее, определители а„а„... а„ ам ам ' ' ° аьч а„, а„, ... а„„ отличны от нуля. Тогда существует базис е„е„..., е„ в котором А(х; х) записывается в виде суммы квадратов следу>ощим образом: А(х; х)=- — '$,'+ — ьв,'+...
+ — "' Ц, ~> дг П еде Е.„— координаты вектора х в базисе е„е„..., е„. Этот способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов обычно называется методом Якоби. Замечание. В процессе доказательства теоремы мы пришли к некоторому вполне определенному базису е„е„..., е,. Это, конечно, не означает, что базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов, вообще единствен.
Действительно, если взять другой исходный базис )„)„..., 1„(да>хе просто, если занумеровать его векторы в другом йорядке), то описанный выше процесс приведет нас, вообще говоря, к другому базису е„е,„..., е„(не говоря уже о том, что базис е„е„..., е„ не обязательно искать в виде (и)). 73 пРиВедение к Оулвме кнддРАТОВ П р и м е р. Рассмотрим кеадратнчнуго форму 2йг, +3$гйв+4ввД,+йа+йв в трехмерном пространстве с базисом ),=П, О, О), 1,=(О, 1, О), )з=(О,О, !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
