И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 18
Текст из файла (страница 18)
К вЂ” плоскость. Преобразование А заключается в растяжении плоскости в ),, раз вдоль оси Х и в ).е раз вдоль *) Запись Ах Е йл означает„что вектор Ах не принадлежит подпрострвнству йо ПЗ ннварнднтные подпРостРднствд з !01 оси У. Иначе говоря, если вектор г равен $,е,+5,е„то Ах =-)сД,Е, +).звзе„где е„е,— единичные векторы на осях. Координатные оси Х и У являются в этом случае одномерными инвариантными подпространствами.
Если ).,=)г,=-)г, го А является преобразованием подобия с коэффипиентом подобия ).. В этом случае каждая прямая, проходящая через начало координат, является инвариантным подпространством. У п Р аж не н не. Показать, что если кг ~ Хз, то а пРимеРе 2 нет никаких других одномерных иивариаптных подпрострапсге, кроме указанных выше. 3. )т — совокупность многочленов степени не выше и — 1. Линейное преобразованве А — дифференцирование, т. е. АР (г) — Р' (1). Совокупность многочленов, степень которых меньше или равна )с, где )с ( и†1, образует инвариантное подпространсгво.
Действительно, дифференцируя многочлен степени «)с, мы получим многочлен, степень которого снова не превосходит л. У и р аж не н и е. Доказать, что н примере 3 никаких инвариантных подпространста, кроме указанных, иет. 4. )с †произвольн п-мерное пространство. Линейное преобразование А задается в некотором базисе е„е„..., са матрицей вида гаы ... а,з а, з+, ... а,„ аз . азз аз, з+1 " азь 0 а„+, „+, ...
а„+, „ 0 ° ° ° О аз. а+з ° ° ° ока у В этом случае подпространство )с„ порожденное векторами ны е„ ..., езн инвариантно. Доказательство этого мы предоставляем читателю. Если, кроме того, а, з,=... =а,„=О (1(г(й), то подпространство, порожденное векторами ез ы ва+„... ..., е„, также будет инвариантным. 5. )с — произвольное и-мерное пространство, А — произвольное линейное преобразование в этом пространстве. 114 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Пь и Тогда образ М и ядро )У преобразования А являются инвариантными псдпростр яствами. Действительно, пусть уЕ М. Тогда Ау ~ М в силу определения М.
Точно так же, если хе )ч', то Ах=О~)У. Этот простои факт будет использован в дальнейшем при приведении произвольного преобразования к простейшему виду. Пусть дано пространство )[ и линейное преобразование А в этом пространстве. Предположим, что )г разложимо в прямую сумму двух инвариантных подпространста )4, размерности й и )т,, размерности и — 'я (см. стр. 23). Тогда в базисе е„..., е„, первые й векторов которого лежат в К„а последние и — й — в И„матрица преобразования А состоит из двух клеток размерностей й и и — 'и, стоящих на диагонали, а на остальных местах стоят нули, т. е. а„... а„О а„...
а„О А= а„, ... ад О ... О О ... О ае,,...а а„ ,+, ... а„ „ 2. Собственные векторы и собственные значения. Особую роль в дальнейшем будут играть одномерные инвариантные подпространства. Пусть )г, †одномерн подпространство, порожденное вектором хФ О (т. е. совокупность векторов вида ах). Ясно, что для того чтобы й, было инвариантно, необходимо и достаточно, чтобы вектор Ах лежал в Ки т. е.
был кратен вектору х: Ах=Ах. Определение 2. Вектор х~О, удовлетворюощий соотношению Ах=Ах, называется собственным вектором, а соответствующее число )~ — собслменным значением [характериспшческим числом) линейного преобразования А, Итак, если х — собственный вектор, то векторы ах образуют одномерное инвариантное подпространство. инпйпиантяые подппостпднствй $101 Обратно, все отличные от нуля векторы одномерного инварвантного подпространства являются собственными. Теорема 1.
В комплексном проспгранствеа) гг всякое линейное преобразование А имеет хотя бы один собственный вектор. Доказательство. Выберем в )г какой-либо базис е„е„..., еа. Лннейному пресбразованию А в атом базисе соответствует некоторая матрица 1~ пел. Пусть х = 5,е, +$,е, +... +$„е„ вЂ” произвольный вектор из И. Тогда координаты т)„ т)„..., т)„вектора Ах выражаются следующими формулами (см. и. 2 $ 9): т)г=а,Д,+а,Д,+... +а,„$„, т),=ааг$г+аааа,+...
+а,„$„, т)„=-а„гвг+а„Д,+... +а„„в„. Условие того, что вектор собственный, т. е. равенство Ах=Лх, записывается в следующем виде: агД,+ааааа+... +а,„5„=ЦП а,Д,+а„$,+... +ат„$„=Лва а„га, +а„,$з+... +а,„$„=Л$„ или (а„— Л)$г+агД,+...
+аг„5„=0„ а„вг+(а„— Л) Ь +... +а Д„=О, а„Д,+а„Д,+... +(а„„вЂ” Л) й„=о. Для доказательства теоремы нужно доказать, таким образом, что существуют число Л и числа $„$„..., $„„ не все равные нулю, удовлетворяющие системе (1). ") Доказательство теоремы пригодно дгш пространства над любым алгебранчесаим замкнутым полем, так как использует лишь существование решения у уравнения (2). ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. Н Условием существования ненулевого решения однородной системы (1) является равенство нулю ее определителя а„— Х а„...
аьо а„а„— Л ... а,„ (2) ат а„, ... а„„вЂ” Х Мы получили уравнение степени п относительно Х. Это уравнение имеет хотя бы один (вообще говоря, комплексный) корень Х,. Подставив в систему (1) вместо Х корень А„мы получим Однородную снстему линейных уравнений, определитель которой равен нулю„н имеющую, следовательно, НЕНУЛЕВОЕ РЕШЕНИЕ $®о1„Щ", ..., Ц".
ТОГда ВЕКтОр х1о1 Ро1е +лоос + +ф111е будет собственным вектором, а Х, — собственным значением, так как АХ1о1 )„Х111 Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е. Так как доказательство теоремы остается в силе, если преобразование А рассматривать не во всем пространстве, а в любом его инвариантном подпространстве, то в любом инвариантном подпространстве существует хотя бы один собственный вектор преобразования А. Многочлен, стоящий в левой части уравнения (2), называется характеристическим мноеочленом матрицы преобразования А, а само уравнение (2) характеристическим или вековым уравнением этой матрицы. В процессе доказательства теоремы мы показали, что корни характеристического многочлена суть собственные значения преобразования А и, обратно, собственные значения преобразования А суть корни характеристического много- члена.
Так как собственные значения преобразования определены независимо от выбора базиса, то, следовательно, и корни характеристического многочлена также не зависят иг е!01 инВАРиАнтные подпРостРАнстВА от выбора базиса. Мы покажем далее несколько больше *), а именно, что сам характеристический многснлен не зависит от выбора базиса, и поэтому мы в дальнейшем будем называть его характеристическим многочленсм преобразования А (а не характеристическим гнногочленом матрицы преобразования А). 3. Среди линейных преобразований в известном смысле простейшими являкпся те, которые имеют и линейно независимых собственных векторов.
Пусть А — такое преобразование, а е„е„..., еа— его линейно независимые собственные векторы, т. е. Ае;= — Лвг ((=1, 2, ..., и). Примем еы е„..., е„за базис в )т. Равенства Ае,=Л,еы Ае, =- Л,е„ Ае„= Л„е„ означают, что матрица преобразования А в этом базисе имеет вид Л,О ...О 0 Л, ... 0 0 0 (является диагональной матрицей). Таким образом, имеет место Теорема 2. Если линейное преобразовиние А имеет и линейно независимых собственных векторов„то, выбрав их за базис, мы приведем матрицу преобразования А к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе матрица преобразования диагональна, то все векторьг зпюго базиса являются собспаеннылга векгпорами.
") Из того, что корни характеристического многочлеиа одни и те же длн разных базисов. еще не следует, что сам миогочлен не зависит от выбора базиса; аириорн возможно, что в разных базисах кратности этих корней различны. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРАЗОЕАН!!Я !Гл. !! Замечание. Отметим один важный случай, когда линейное преобразование заведомо имеет и линейно независимых собственных векторов.
Предварительно заметим следующее: Если е„е„..., е» вЂ” собственные векторы преобразования А и сыответствуюи(ие им собственные значения "А„А„..., ). попарно различны, то е„е„..., е» линейно независимы. Для й = 1 утверждение очевидно. Пусть наше утверждение верно для й — 1 векторов; докажем его для я векторов. Предположим противное, т. е. предположим, что а,е,-(-а,е„+... +а»е»=О, (3) причем хотя бы один из коэффициентов а!, например а„ отличен от нуля. Применим к обеим частям равенства (3) преобразование А.
Получим А (а,е, + а,е, +... +а»е») = О, т. е. а!1»е, +о А,е,+... +а»Х»е» — — О. Вычитая из последнего равенства равенство (3), умноженное на Х», мы получим выражение а, (А, — А») е, + а, (Х, — 1») е, +... ... +а»,(Х»,— Х )е»,— — О, где первый коэффициент по-прежнему отличен от нули (так как по условню Л!ФХ» при »чей). Мы прншли к противоречию, так как по индуктивному предположению векторы е„е„..., е», линейно независимы. Отсюда непосредственно следует, что: Если характеристический многочлен преобразования А имеет п различных корней, то матрица преобразования А л!ожет быть приведена к диагональной форме.
Действительно, каждому корню Х» характеристического уравнения отвечает хотя бы один собственный вектор. Так как соответствующие этим векторам собственные значения (корни характеристического уравнения) все различны, то, согласно доказанному вьш!е, мы имеем и линейно независимых собственных векторов е„е„..., е,. 1 101 инвариднтнын подпностоанствд 119 Если векторы е„е„..., са принять за базис, то матрица преобразования А будет диагональной. Если характеристический многочлен имеет кратные корни, то число линейно-независимых собственных векторов может быть меньше, чем л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
