И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, функция А (х; у)==(Ах, у) удовлетворяет условиям, определяющим билинейную форму. Имеем: 1 (А(х,+х,), у)=-(Ах,+Ах„у)=-(Ах„у)+(Ах„у), (Алх, у) =-()ьАх, у)=-А(Ах, у). 2" (х, А(у,+у,))=(х, Ау,+Ау,)=-(х, Ау,)+(х, Ауа), (х, Ару)= — (х, рАу) =р(х, Ау).
Покажем, что преобразование А определяется соответствуюшей билинейной формой А(х; у) однозначно. *) Так как в данном базисе как линейные преобразования, так и билинейные формы задаются матрицами, то можно было бы попытаться в аффинном пространстве поставить друг другу в соотвв!стэне линейное преобразование и билинейную форму, задаваемые одной и той же матрнцей. Однако это соответствие было бы случайным, Действительно, если в одном базисе матрицы билинейной формы и линейного преобразования совпадают, то в другом базисе они будут уже, вообще говоря, различны, так как при переходе к другому базису матрица А билинейной формы переходит в С'АС (С' — матрица, транспонированная к матрице С) (см.
4 4), а матрица линейного преобразования — в С 'АГ (см. 4 9). Внимательный читатель сможет заметить, что устанавливаемое ниже соответствие между билинейными формами и линейными преобразованиями в свклидовом пространстве состоит в том, что сопоставляются друг другу линейные преобразования и билинейные формы, матрицы которых в нормированном ортогональном базисе получаются одна иэ другой транспоннровзнием; это соответствие, как следует нз дальнейшего, уже не зависит от выбора базиса. т 1!1линейнОЕ пРЕОЕРАЗОЕАНне. 0ОПРяЖеННОе К ДАНттОМУ125 Пусть А(х; у)=(Ах, у) А(х; у) =(Вх, у). (Ах, у) (Вх, у), (Ах — Вх, у)=-О Тогда т.
е. для любого вектора у; но зто значит, что Ах — Вх=О. Таким образом, Ах=Вх для любого х, т. е. А =В. Однозначность доказана. Имеет место и обратное: Пусть  — комплексное евклидова пространство и пусть А(х; у) — билинейная форма в нем. Выберем в й какой- либо ортогональный нормированный базис е„е„..., е„. Если х = рте, + $,е, +... + 5„е„и У = т1,е, + Ч„е, +... + Ч„е„, то А(х; у) можно записать в виде А(х; у) =-а,ДтЧ„+а,Д,т1,+... +а,Дтт1„+ +а,Д,т1,+а,Дтт1,+ ... +атДтт1„+ + (а,„й+ а,Д, + ... + а„Д„) т1„ Введем в рассмотрение вектор г с координатами ~,=а,Д,+а,Д,+... +а„Д„, ~,=атДт+а„$,+...
+а„Д„, ь„=а,Д,+атД,+... +а„Д„. +а„Д„т1,+а„Д„т1,+... +а Ц„т1„. (1) Постараемся представить зто выражение в виде некоторого скалярного произведения. Для Етого перепишем его следующим образом". А (х; у) =(а,Д, + а,Д,+... + а„Д„) т1, + 126 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 'гл. ы Вектор г получается из вектора х линейным преобразованием с матрнцей, транспоиированной к матрице йа;А(! билинейной формы А(х; у). Это преобразование мы Обозначим буквой А, т.
е. положим а=Ах. Мы получаем, следовательно, что А(х; у)=~,Ч,+~,11,+... +~„Ч„=(г, у)=(Ах. у). Итак, всякой билинейной форме А(х; у) в евклидовол1 пространстве отвечае1п пиисог линейног преобразование А, что А(х; у)= — (Ах, у). Таким образом, мы доказали следующую теорему. Т е о р е м а 1. Формула А(х; у) =-(Ах, у) (2) устанавливает в гвклидовом пространстве взаимно однозначное соответсгпвие между билинейнь ма формами и линейными преобразованиями. Из однозначности соответствия, устанавливаемого формулой (2), следует, что оно не зависит от выбора базиса.
Связь между билинейными формами и линейными преобразованиями можно установить и другим способом. А именно, каждую билинейную форму можно предсгавить также в виде А(х; у)=(х, А'у). Для этого в формуле (1) А(х1 у)=а1т$рь+а,Д,Ч„+... +а,„В,ч„+ +а~ЛиЧ1+а~а$ Ч + ° ° ° +а~Л~Ч + +а„,$„Ч,+а„Д„Ч,+... +а,,$„Ч„ мы будем выносить за скобки координаты $„$„..., $„ вектора х. Повторяя снова прежние рассуждения, мы % 1!1 ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОБАНИЕ, СОПРЯЖЕННОЕ К ДАННОМУ 127 получаем: А (х; У)=$, (апт1,+аттт1т+... +ат„т1„)+ +$т(а,тт1т+а„Ч,+... +а„т1„)+ +$„(а„,Ч,+а„,т1,+... +а„„Ч„)= =~, (а„Ч, +а„т1,+...
+а,„т1„)+ + $, (а„т1, + а„Ч, +... + а,„т1„) + +$„(аь,т1,+а„,Ч,+... +а„„т1„) =-(х, А*у). При этом матрица преобразования А* получается пз матрицы преобразования А в любом ортогональном базисе переходом я траиспонированной и заменой ее элементов комплексно сопряженными. Заметим, что в исортогональном базисе связь между матрицами преобразований А и Аь более сложна. 2. Операция перехода от преобразования А к сопряженному (операция "). Определение 1. Пусть А — линейное преобразование комплексного евк адова пространства. Преобразоеание А*, определенное условием (Ах, у)=(х, А'у), называется сопряженным к А. Т е о р е м а 2. В евклидовом пространстве каждому линейному преобразованшо отвечает сопряженное преобразование и притом только одно.
Доказательство. Линейному преобразованию А однозначно соответствует согласно теореме 1 этого параграфа билинейная форма А(х; у)=(Ах, у). Эту билинейную форму согласно сказанному в конце п. 1 можно представить, и притом однозначно, в виде (х, Аьу). Окончательно мы имеем: (Ах, у) = А (х; у) = (х, А*у). !т1 атрица сопряженного преобразования Аь получается из матрицы преобразования А в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице, как это доказано в п.
1 этого параграфа. 128 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРЛЗОВАНИЯ [гл. н Переход от А к Л* можно выразить в виде правила: если в выражении (Ах, у) мы желаем А перебросить на второе место, то к нему нужна приписать «. Операция перехода ат преобразования А к сопряженному преобразованию А* («операция ь») связана с определеннымивыше (5 9) операциями сложения иумножения линейных преобразовании следующими соотношениями: 1' (АВ)« = В*А*.
2" (Л*)* =. А. 3' (А+В)* = А*+В«. 4' ().А)« = ХА«. 5' Е" =Е. Докажем, например, первые два из этих свойств. 1' (ЛВх, у)= — (Вх, А«у) =(х, В«А*у). Но, с другой стороны, по определени!о (АВ)* имеем: (АВх, у) =(х, (АВ)*!!). Сравнивая правые части этих двух равенств и вспомнив, что линейное преобразование однозначно определяется соответствующей билинейной формой, по!!учаем; (АВ)' =- В'А'. 2' По определению А* имеем: (Лх, р) =- (х, А 'у). Обозначим временно А* через С. Тогда (Ах, д)=(х, Су), откуда (у, Ах)=(СУ, х). Заменив и через х, а х через у и поменяв местами правую н левую части этого равенства, получим: (Сх, р)=(х, Ау).
Но это равенство и означает, что С*=А, и так как С=-А*, то (А*)' = Л. й г и линвинов првоврлзовлнив„сопряжн нное к длнномн! 29 У п ражи е ни я. 1. с(оказатьтакнм же способом равенства 3 — б. 2. Доказать равенства 1 — б, пользуясь тем, что матрица преобразования Аа получается из матрицы преобразования Л в ортогональном базисе траиспоннрованием и заменой всех элементов комплексно сопряженнымн.
3. Самосопряженные, унитарные и нормальные линейные преобразования. Операция* в известной мере аналогична операции перехода от данного комплексного числа а к сопряженному а. Эта аналогии ие случайна. Действительно, для матриц первого порядка над комплексным полем, т. е. для комплексных чисел, операция е как раз и состовт в замене данного числа комплексно сопряженным.
Среди всех комплексных чисел действительные числа характеризуются тем свойством, что а=а. Для линейных преобразований аналогичное понятие является весьма существенным. Определение 2. Линейное преобразование А называется самосопряженным (или эрлссстовьсм), если Л*=А. Покажем, что для того, чтобы линейное преобразование А было самосопрялсенным, необходимо и достаточно, чпюбы билингиная форлса (Ах, у) была эрмитовой. В самом деле, эрмитовость формы (Ах, у) означает, что (а) (Ах, у)=(Ау, х). Самосопряженность преобразования А означает, что (Ах, у)=(х, Ау).
(б) Легко видеть, что равенства (а) и (б) эквивалентны. Всякое комплексное число ~ представимо в виде ~=а+ср, где а и р — действительные числа. Аналогично: Всякое линейное сгргображаанссе А может быть записано в вссдг А=А,+сА„ где Л, и Л,— самосопряэкенные преобразования Действительно, А=- + 2 2с ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРЛЗОВЛКИЯ !гл. !! Введем обозначения А-г- Ае 2 Тогда А", =( — ) = —,(А+ А*)з =- — (Аз -(- А"") =- 2 = — (А'+ А) =- А, 2! / 2! 2! = — — —. (А* — А) =- А„ т. е.
А, и А,— самосопрюкенные преобразования. Таким образом, самосопряженные преобразования играют среди всех линейных преобразований роль, аналогичную ролидейстентельных чисел среди всех комплексных. У п р з ж н е н и я. !. Докеззть единственность предстзвления преобразования А в виде (3). 2. Доказать, что линейная комбивзпия с действительными козффипиентзз!и сзмосопряженпых преобрззовзннй есть снова сзмосопряженное преобпззовзиие. 3.
Дскзз ., что если А †произвольн линейное преобразование, то преобразования АА* н А*А — сзмосопряженные. Пр и мечен не. В отличие от комплексных чисел, ААь, восбнге говоря, не рвано А*А. Произведение двух самосопряженных линейных преобразований не есть, вообще говоря, самссопряженное преобразование. И!ноет место следующая Теорема 3. Пусть А и  — салосопрпженные линейные преобразования. Длв того чтобы преобразосание АВ было также салгссопрлженньан, необходилю и достаточно, чтобы АВ =ВА, т. е.
чтобы преобразования А и В были перестан!вечны. Доказательство. Нам дано, что А з =- Л и Вз = В. !',ы ищем необходимое и достаточное условие того, чтобы гыполнялось равенство (АВ)з ==- ЛВ. (4) у ! >! линвпное пнвовнлзовлнип, сопряженное к данномк!3! Но (АВ)* = ВеА* =. ВА. Следовательно, равенство (4) имеет место тогда и только тогда, когда АВ =ВА. Теорема доказана.
У и р аж пенне. >1оказать, что если А н  — самосопряжеппые преобразовання, то самосопряженнымн будут н преобрааовання АВ-1-ВЛ н > (Л — ВЛ). Аналогом комплексных чисел, равных по модулю единице, т. е. таких, что гг=1, являются унитарные преобразовании. О и р еде л е н и е 3. Линейное преобразование Е> назывоео>ся унитарнылс, если (1()е =- (>'е(>' = Е а).
Другими словами, для унитарного преобразования (/е =(>'-'. В 2 13 мы познакомимся с весьма простой геометрической интерпретацией унитарных преобразований. У и р а ж н е и я я. !. >>оказать, что произведение лвух уннтарнык преобразоваппй есть снова унитарное преобразование. 2. Показать, что если г> †унитарн преображ>ванне, а А †самосопряженное преобразоганне, то г> †>Лг> †также самосопряженн, Ниже (в 2 15) мы докажем, что всякое линейное пробразование можно представить как произведение само- сопряженного на унитарное. Эту теорему можно рассматривать как обобщение записи комплексного числа в тригонометрической форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
