В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 68
Текст из файла (страница 68)
при х' = О, Следовательно, г ЛЮ. Апгебраическнв поверхности второго порядка ззз х' уг г' 2) — + — + — = -1 аг бг сг — лениный эллипсоид; х' уг з) — + — + — =о ох бг сг — вырожденный эллипсоид; — однополостный гиперболоид; 2 2 2 5) — + — — — = -1 ог бг сг конус; эл аттический па раболоид; — гиперболический параболоид; х у 6) — + — =1 аг оэ — эллиптический иилиндр; л уэ 16) — + — = -1 а' ог — ннимый эллиптический иилиндр; хг уг 11) — — — = 1 аг бг гиперболический иилиндр; 12) уг = 2рх (р > О) параболический иилиндр; хг уг 13) — — — = 6 аг бг — пара пересекающихся плоскостей, — пара мнилгых пересекающихся плоскостей; Канонические уравнении.
Теорема 106.1. Для любой алгебраической поверхности впюрого порядка существует прямоугольная декарпюва систела координат Охуг, в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих видов: Глава ХУШ. Геометрия квадратичных форм 15) уз = аз (а > О) — пара параллельных плоскостей. 16) рз = — ае (а > О) — пара мнимых параллельных плоскостей; 17) уз=0 — пара совпадающих плоскостей. Доказательство.
Будем исходить вз уравнений (106.3)- (106.7). Рассмотрим уравнение (106.3). В зависимости от сочетаний знаков Лы Лз, Лз, ао ово может быть записано ло-разному. 1. Пусть знаки чисел Лп Лю Лз совпадают. Прп этом: а) если ооЛг < О, то уравнение (106.3) может быть записано как уравнение 1, где аз = -ае/Лм Ьз = — ао/Лз, сз = — ао/Лз; б) если аоЛг > Π— как уравнение 2; в) если ао = 0 — как уравнение 3. 2.
Пусть знаки чисел Лм Лз, Лз не совпадают. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что Л1 > О„Лз > О, Лз < О. При этом уравнение (106.3) может быть записано как уравнение 4 (если аеЛз > О), как уравнение 5 (если аоЛз < О) и как уравнение 6 (если ае = О). Аналогично уравнение (106.4) в зависимости от знаков Лы Лз можвг быть записано (после возможных перенумерацнй неизвестных я изменения направления одной из осей координат) как уравнение 7 (если Л1Лз > О) и как уравнение 8 (если Л1Лз < О). Уравнение (106.5) может быть записано как уравнение 9 (если ЛгЛз > О, соЛ1 < 0), как уравнение 10 (если Л1Лз > О, соЛд > О), как уравнение 14 (если Л1Лз > О, со = 0), как уравнение 11 (если Л1Лз < О, со ф О) и как уравнение 13 (если Л1 Лз < О, со = 0).
Уравнение (106.6) после стандартных преобразований может быть записано как уравнение 12. Уравнение (106.7) может быть записано как уравнение 15 (если оеЛг < О), как уравнение 16 (если йоЛ1 > О) и как уравнение 17 (если че = О). Таким образом, уравнениями 1-17 исчерпываются все поверхности второго порядка. й Уравнения 1-17 называются наноническими уравнениями алгебраических поверхностей вгпорого порядка. Геометрические свойства.
Канонические уравнения позволяют исследовать геометрические свойства поверхностей. Чтобы представить форму поверхности, проще всего изучить ее сечения плоскостими, нераздельными координатным плоскостям. Э л л ил со ид (рис. 1). Поверхность, определяемая уравнением 1, называется:млипсоидом. Числа а, Ь„с в каноническом уравнении называются полуосями эллипсоилэ. Квк следует из уравнения, координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии эллипсоида.
Эллипсоид — ограниченная поверхность, заключенная в параллелепипеде (х! < а, (р( < Ь, ~х) < с. 31Ж Алгебраические поверхности второго порядка 335 Рис. 2 Рис. 1 Линии пересечения эллипсоида с любой плоскостью являются поэтому ограниченными линиями второго порядка, тхс эллипсами. М ни мы й элл и пса яд. Нет нн одной точки пространства, координаты которой удовлетворяют уравнению 2. Принято говорить об этом уравнении как об уравнении мнимага эллинсаида Вырожденный эллипсоид. Уравненюо 3 удовлетворяет только начало координат, Это уравнение принято называть уравнением вырожденного млипсаида (или мнимого конуса).
Однополостный гиперболоид (рис. 2). Поверхность, определяемая уравнением 4, называется аднапаластнмн гиперболоидом. Как следует из канонического уравнения, координатные плоскости валяются плоскостями симметрии, а начало координат- центром симметрии однополостного гиперболоида. Сечения гиперболоида плескосгямн г = Ь представляют собой эллипсы с полуосями а(1+ Ьг/сг)~/г, Ь(1+ Ьг/сг)г~г, которые неограниченно возрастают при Ь -+ оо.
Эллипс, получающийся при Ь = О, называется гарлаеьм эллипсам гиперболоида. Плоскость у = Ь пересекает гиперболоид." а) при !Ь~ < Ь по гнпербопе с полуосями а(1 — Ьг/Ьг)~/г, с(1+ + Ьг/Ьг)1~г, которые убывают от е и с до нуля прн ~Ь~ -+ Ь; б) при ~Ь~ = Ь по паре пересекаюяихся прямых; 336 Глава ХУПХ. Геометрия квадратичных форм в) при ~й~ > Ь по гиперболе с полуосями с( — 1 + ттз/Ьг)1тг, а(-1+ Ьг/Ьг)~тг, которые неограниченно возрастают при Щ -э оо. Сечения гиперболоида плоскостями я = Ь обладают аналогичными свойствами.
Важной особенностью однополостного гиперболоида является наличие прямых, целиком лежащих на этой поверхности. Теорема 106.2. тХереэ кагтсдрто глочкр одпополостппого гиперболоида проходлш дее раллпчпэтг прямые, целиком росполоэтсенные на этаоб поверхности. Доказательство. Рассмотрим прямые Х и Х, заданные как линии пересечения плоскостей Прямые Х и Х" целиком лежат на поверхности (чтобы убедиться в этом, достаточно почленно перемножить уравнения плоскостей). При этом через калглую точку Мо(яо, рэ,го) поверхности пртжодит единственная прямая из семейства Х и единственная прямая из семейства Х .
Эти прямые (т.е. пары чисел а, 11 и у, б) находятся из однородных систем уравнений матрицы которых вырождены (т.е. системы ямеют нетривиальные решения) и имеют ранг, равный 1 (т.е. все решения каждой из систем пропорциональны и определяют единственную прямую). Остается добавить, что прямые Х, и Х,' не совпадают (достаточно проверить неколлинеарность их направляющих векторов). ° Прямые, асс точки которых лежат на поверхности, называются и лмоаинео ымо об пм этой поверхности. Итак, однополостный гиперболоид покрыл двумя различными семействами прямолинейных образующих (рис.
3), Двуполостный гиперболоид (рис. 4). Поверхность, определяемая уравнением 5, называется деуполостппым гиперболоидом. Как следует из канонического уравнения, координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — цев:гром симметрии двуполостного гиперболоида, Плоскости г = Й пересекают этот гиперболоид: а) при ~й~ > с по эллипсам, размеры которых неограниченно возрастают при (/т! -+ оо; б) при (Ь( = с в единственной точке.
В слое между плоскостями г = с и г = — с нет ни одной точки гиперболоида. Таким образом, дауполостный гиперболоид состоит иэ 31дб. Алгебраические поверхности второго порядка 337 Рис. 4 Рис. 3 двух симметричных полостей, расположенных в полупространствах х > с и х < — с. Плоскости х = Й и р = Ь пересекыот гиперболоид по гиперболам. К о н ус (рис.
5). Поверхность, определяемая уравнением б„называется конуса.н. Кэк следует из канонического уравнения, координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии конуса. Плоскости з = Ь, Ь 7о О, пересекают конус по эллипсам, размеры которььх неограниченно возрастают при ~Ь~ -+ со. Прямая, проходящая через любую точку Мо(хо ро со) конуса и начала координат, является прямолинейной образующей конуса, так как любая точка этой прямой имеет координаты (хоь, ро4„зо$). Плоскости у = Ь и х = Ь, где Ь ф О, пересекают конус по гиперболам (рис. 6) с полуосями с)Ь)/Ь, а~Ь(/Ь и с)Ь~/а, Ь~Ь|/а соответственно; плоскости х = О и р = Π— по парам пересекающихся прямых. Плоскими сечениями конуса являютсн н параболы (рис.
7). Так, параболой будет сечение конуса плоскостью х = Ь+ сх/а, где Ь ф О, ибо числа х, у являются на этой плоскости аффиннымн (не прямоугольными) координатами, а уравнение линии, высекаемой на ней конусом, имеет в этих координатах вид хз р" (Ь + сх/а)з — + —— =О. аз Ьз сз Традиционными преобразованиями зто уравнение приводится к уравнению параболы 2 р' = 3 — (х+ — ).
Таким образом, и эллипс, и гипербола, и парабола являются плоскими сечениями конуса. На этом основании этв линии обычно называют коническими сечениями. 7)гала ХИП. Геометрия квадратичных фсрм 336 Рис. 5 Рис. б Рис. 7 Эллиптический параболоид (рис. 6). Поверхность, определяемая уравнением 7, называется эллеэнлоческим парабалоодом. Еак следует ив канонического уравнении, плоскости ж = О и у = О являются плоскостями симметрии. Центра симметрии эллиптический параболоид не имеет. Плоскости в = Ь, Ь > О, пересекают параболоид по эллипсам, размеры которых неограниченно возрастают при Й -+ оо. Плоскости р = й и х = Й пересекают параболоид по параболам, ветви которых направлены вверх. Гиперболический параболоид (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
