В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Отсюда и из очевидного неравенства (Пх<"~~( — ~)аП~ < Пхрд — аП слалует, что Пхрд П -+ ПаП при Й -+ оо. (107.9) Возникает естественный вопрос: может ли одна и та же последовательность сходиться по одной норме н ие юищиться по другой. Ответ на этот вопрос для конечномерного пространства отрицателен н будет дан в П109, Ц107. Норма вектора Шары и сфера в метрическом пространстве называются ~иарами и сФерой по норме Ц . Ц и означают, что В(хе,г) = (х е М ! Цх - хеЦ < г), В(хе т) =(хи М! Цх — хоЦ < г), Я(хо, т) = (х е М ! Цх — хеЦ = г) .
На рис. 1 точками плоскости изображены сферы единичного рв диуса с центром хе = (0,0) по.нормам Ц . Цм Ц ° Цю Ц Ц,„, в арифметическом пространстве м~. ЦхЦт =1 ЦхЦ1=1 ЦхЦ =1 Рис.1 Непрерывность вещественной функции у (х) в точке а метрического пространства назывветсн непрерменостыа относительно нормы Ц . Ц и означает, что если Цх<" ~ — аЦ вЂ” ~ 0 при и -+ оо, то,7(хрй) -+ у(а). Нормы в конечвомерном пространстве. Нормы Гельдера рассматривают и в любом конечвомерном пространстве г' (вещественном или комплексном): если е = (ем..., е„) — базис пространства У и с и х = ~~в,хьею то 1/г ЦхЦр — — ~~> !хь!г, р > 1, и ЦхЦ~, = шак !хь!. (107.10) ь=1 Справедливость аксиом нормы установлена теоремой 107.1. Норму Д 3 1/2 ЦхЦЬ = (Х, !хь!~) назьгвеют также евклидовой или сстестаенной в=1 нормой и обозначают символом ЦхЦл.
Теорема 107.4 (о непрерывности нормы). В нонечномерном пространстве У любая норма Ц ° Ц непрерывна относитпельно нормы Ц Цю Доказательство. Утверждение теоремы означает, что если Цхрй — аЦз — > 0 при а -+ со, то Цх~ь> Ц -+ ЦаЦ. Пусть е = (ем... ге„)— базис пространства Р' и х = ~ " хьеь. Из аксиом нормы следует, что ЦхЦ < ~", !хь! ° ЦеьЦ < (в силу неравенства Коши-Буняковского) < < (С !хь!з) (~„ЦеьЦз) = с ЦхЦю где с = (~„"ЦеьЦт) > О— В=1 1=1 ь-1 348 Глава Х1л.
Линейные нормированные пространства константа, не зависящая от х. Итак, существует с > 0 такое, по (107.11) !!х!! < с!!х!!ю Ух б К Если хой -+ а по норме !! . !!з, то !!хро — а!!з -э 0 прн и -+ со. Так как /!хид — а!! < с!!х~ь~ — о!!з (в силу (107.П)), то !!хид — в)! -+ 0 и !)х®!! -+ !!а!! при й — ь оо. ° 3 108, Норма и скалярное нроизводоние В евклидовом (н унитарном) пространстве У норма может быть введена как длина: !!х!! = !х(, Ух й У.
Справедливость аксиом нормы вытекает из свойств скалярного произведения Я68). Эта норма называется евклидовой и обозначается символом !! !!в. Итак, !!х!!л —— Дх,х), Чх й К (108.1) Про евклидову норму говорят, что она иорохсдаетса скалярным произведением. Таким образом, любое скалярное произведение порождает некоторую норму. Обратное, вообще говоря, не верно. Только норма, обладающая дополнительным свойством, порождаетси скалярным произведением. Теорема 108.1.
Норма !!.!! в лиивйном нормированном пространстве У яорвхсдаевтсл иековгорим скаллриим произведением гавада и только вюгда, ковда длл иее вмпалиеив равенство !!х+р!!~+ (!х — р!!~ = 2(!!х!!~+ !(р!!~), Чх,р б К (103.2) Доказательство. Необходимость очевидна, так квк если !!х(! = !х!, то равенство (108.2) выражает известное тождество параллелограмма (89.3).
Достаточность. Пусть для нормы !! ° !! и линейном нормированном пространстве У выполнено равенство (108.2). Построим скалярное произведение, которое порождает эту норму. 1. Если У вЂ” вещественное пространство, то положим (х,р) = -(!!х+р!! — !!х!!' — !)р!! ), Чх,р е К (1083) 1 и покажем, что это будет искомым скалярным произведением.
Проверим аксиомы скалярного произведения (68.1). Аксиомы 1 и 4 очевидны. Аксиома 3 означает, что !!*+ р+ х!!' — !! '+ р!!' — !!в(!' = (!! .+з!!3 !! !!2 !! !!2) + (!! + !!2 !!у!!2 !! !!2) Ц 108, Норма н скаэнрное произведение с=ь Цх+р+зЦ -Цх+уЦ = !!х+хЦ +Цр+хЦ вЂ” (ЦхЦ +ЦрЦ ) — ЦзЦ с=ь (так как ЦхЦ + ЦуЦ = — Цх+уЦ +-Цх — рЦ ) «=ь ~ 2Цх+р+зЦ +2ЦзЦз-2Ц +хЦ вЂ” 2Цр+еЦ'=Цх+рЦ~-Ц вЂ” рЦ'- (108.4) Для доказательства (108.4) применим равенство (108.2) к вектору х+р+2з, рассматривая его как (х+ у+г)+ х и как (я+х)+(р+з): Ц(х+ р+ а) + зЦ + Цх+ рЦ = 2Цх+ у+зЦ + 2ЦхЦ, Ц(х+ х) + (р+ з)Цз+ !!х — рЦз = 2Цх+з!(э+2Цу+зЦз, Вычитая из первого равенства второе, получим (108.4).
Теперь проверим аксиому 2: докажем, что (ах, р) = а(х, р), Ча Е й. (108.5) а) Из доказанной выше аксиомы 3 следует, что (108.5) верно для любого а Е М. Из (108.3) следует справедливость (108.5) для а = О, а из (108.2) и (108.3) — для и = — 1. Поэтому (если еще раз воспользоваться аксиомой 3) равенство (108.5) верно для любого а е К. 6) Для рационального а = т/и, пользуясь уже доказанным свойством, находим (х,р) = (и. -х,р) = п~ — х,у) =~ ~ — х,у) = — (х,р), 1 1 1 1 ш 1 1 1 т, ( .р) ~ ) ( ) (,) ( и) Таким образом, для любого рационального а свойство (108.5) имеет место.
в) Произвольное вещественное число а представим как предел последовательности рациональных чисел а». Из непрерывности нормы следует непрерывность по а функлди (ах, у), определенной соотношением (108.3), поэтому в равенстве (оьх, у) = оь(х, р) можно перейти к пределу при Й вЂ” э оо. Таким образом, построенная в (108.3) функция является скаляр. ным произведением. Поскольку (х,х) = 2(4ЦхЦ' — ЦхЦ' — ЦхЦ~) = ЦхЦ', зто скалярное произведение порождает в пространстве Ъ' заданную там норму.
2. Пусть У вЂ” комплексное нормированное пространство. Для нормы, порожденной скалярным произведением, имеем Ц + рЦ' = (* х) ч- ( р) + ((х, р) + (р, р) = Цх Ц' + (!рЦ'+ 2 Ве(х р) Цх + 1рЦз = (х, х) + 1(а, у) — 1(х, у) + (у, р) = ЦхЦз + Ц10Цз + 2 1ш(х, р). 350 Глава ХИ. Линейные нормированные пространства Следовательно, скалярное произведени, порожцатотцее норму !! !! пространства г', можно строить цо правилу В ( у) = ()!х+ у!!' — !)х!!' — !!у)!')/2, 1тп(х, у) = (!!х+ ту!!' — !!х!!' — !!ту!!')/2. (108.6) Справедливость аксиом скалярного произведения для (108.6) вытекв ет из и.
1 и вида функций (108.3) и (108.6). ° Равенство (108.2) называется тождеством аараллелогртмма в нормированном простараисптве. Замечание. Не всякая норма порождается скалярным произведением. Твк, из гельдеровскик норм в арифметическом пространстве только вторая норма )! !!з удовлетворяет тождеству параллелограмме В самом деле, если х = (1,1,0,...,0), у = (1, — 1,0...,0), то х + у = (2,0,0„...,0), х — у = (0,2,0,...,0) и, следовательно, !!х(!р —— ))у!!р — — 2ттг, !!х + у!!р — — !!х — у!!р = 2, так что тождество паралелограмма выполняегсв только для р = 2.
Нетрудно проверить, что и бесконечная норма !! !! не порождается никаким скалярным произведение. 8 109. Эквивалентность норм в конечномерномерном пространстве Компактность единичной сферы. Обозначим через Яз еднничнуто сферу по естественной норме с центром хс = й: Ят = (и Е 1' ! !!х!!з = 1). Теорема 109.1 (о компактности единичной сФеры).
Ов лтобой последовательностпи (хрй) С Яз меатсио выделить подтюследовавтельиостиь, сходлщуитсл по норме !!. (!з к некоторому векпитру а 6 Яз. Доказательство. Пусть е = (еь...,е„) — базис пространства и хтьт = 1 ~ т х! ~ет Е Яз. Тогда Это равенство означает ограниченность координат векторов хрй рассматриваемой последовательности: — 1 ( !хт ! < 1. Согласно извест- 00 ной из курса математического анализа теореме Больцано-Вейерштрасса (11, гл.
13), из втой последовательности можно выделить сходяптувтглпонорме !! !!з нодпоследовательиость(х(" 1). Пусть хть т -+ а ~'109. Эквивалентность норм по норме (( ((», те. ((х(ь"')-а((» -э О. Тогда ()х(" )((» -» ()а((» при т -» ос, н а Е о», так как ((а((» = 11ш ((х(в'"»((» = 1. ° Слсдстпеие 1. Сфера Б» замкнута по норме (( ° ((» Эквивалентность норм. Две нормы (( (( и (( ° ((„в линейном пространстве У называются эквивалентными, если существуют такяе числа с» > О, с» > О, что для любого вектора х Е У выполняются неравенства ((х((. < с(((х().
и ()х().. < с»()х(),. (109,2) Теорема 109.2. В хонечномсрном пространс|пес любие дее нормы эквивалентны. Доказательство. Теорема будет доказана, если мы покажем, что любая норма (( (( в линейном пространстве 1' эквивалентна естественной норме (( ((», или что существуют такие числа с( > О, с» > О, что с»((х)(» < ((х(( < с»((х((», Ух Е К (109,3) Для х = д неравенства (109.3) справедливы при любых с( > О, с» > О. Пусть х ~ 9 —. произвольный ненулевой вектор пространства Ъ', тогда — б Я».;.
!ФЬ Из теорем 107.4 и 109.1 следует'„что функция нормы У(х) = ((хч)(.нее прерывна относительно нормы (( ((» на единичной сфере Я». Согласно теореме Вейерштрасса (11, гл. 131 она достищет на этой сфере своих точных верхней и нижней граней, поэтому существуют векторы х', х" б Я» таки~, что ((, о((« — )( '((, дябем (И !М Полагая с( = ((х'(», с» = ((хп(1, получим (109.3).
а Слсдстаие 2. В конечномернам линебном пространстве иэ сходимости по одной корме (( )( следрет охот»мосте по лх»боб другой норме (! ° ((„, так как цх(ь) — а((., < с(((х(") — а((,. Схсдимость по норме Ц - (( называют покоординатноб сходимостью, так как неравенство шах (х( — а„( < в равносильно системе (ь) »<~бп неравенств < (х — а1~ < с, (э) (х1» — а„~ <е и, следовательно, сходимость последовательности х("» -» а по норме ~!. ((' равносильна сходимоогя координат: х,. — » а(, 1 = 1,п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
