В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 69
Текст из файла (страница 69)
9). Поверхность, определяемая уравнением 6, называется гиперболическом пераболоиоом. Плоскости я = 0 и у = О являвпся плоскостями симметрии. Рис. 9 Рис. 6 у 106. Алгебраические поверхности второго порядка 260 Центра симметрии гиперболическяй параболоид не имеет. Плоскости у = Ь и х = Ь пересекают параболоид по параболам, ветви первой параболы направлены вверх, а второй — внвэ.
Плоскости э = Ь пересекают параболоид х' Р а) при Ь ( О по гиперболам — — + — = 1, где аэ = -2аэЬ, а~э Ьэг Ьэ1 — — — 2ЬэЬ; х у б) при Ь > О по гиперболам — — э — — 1, где а~~ = 2аэЬ, Ц = 2ЬтЬ; аэ Ьээ в) при Ь = О по паре пересекающихся прнмых, Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид покрыт двумя различными семействами прямолинейных образующих (рис. 10).
Те же рассуждения, что и в случае одиополостного гипербо- лоида, показывают, что через любую щечку Мо(хо, уо, хо) эиперболи- чсскоео пароболоида ироходлга дее различимо пвлмме, целиком лезса- и1ис иа этой поверхности. Зтн прямые определяются плоскостями = (*-.-6 и Х': 26= т(-*+ $), уз+ бт ~ О, г 6(-. + хо) 26= (-, *— $) аз+а ф 0 где коэффициенты о, ф, ч, б находятся нэ условия что эти прямые проходят через точку Мо(хо, уо, хо). Рнс.
10 Рис. 11 Цилиндрические поверхности. Все остальные поверхности называются цилиндрами. Поверхности, определяемые уравнениями 9, 11 и 12, называются соответственно эллипщичесвим цилиндром (рис. 11), эиперболическъм цилиндром (рис. 12) и параболическим цилиндром (рис, 13), Уравнения этих поверхностей не зависят Глава ХеШ. Геометрия квалратичных форм Рис. 12 Рнс.
12 от х, поэтому все сечения плоскостями е = Й совпадают. Для цилиндрических поверхностей достаточно найти сечение плоскостью э = О, чтобы выяснить форму поверхнскти. Отметим, наконец, что прямая, пюходящая через точку Мо~жо,ую ео) поверхности и параллельная осн Ох, является прямолинейной образующей, так как любая точка этой прямой имеет координаты (хе, уо, хе + 1). Нет ни одной точки пространстве„координаты которой удовлетворяют уравнению 10. Принято называть его уравнением мнимого эллиптического йилиифа. Уравнение 13 определяет пару оересекаюи4ихсл плоскостей 1рис. 14).
Точки поверхности, определяемой уравнением 14, составляют прямую. Это уравнение называют уравнением пари мнимыж пересекаюи1ихсл плоскоспмй (рис. 15), л !у Рис. 14 Рнс. 15 $106. Алгебраические поверхности второго порядка 341 Рнс. 16 Рис. 17 Поверхности, определяемме уравнениями 1$-17, нвзмвают соответственно парой параллааъпых плоскостей 1рис. 16), парой мпп пмх параллельпмх плоскостей и нарой совпадающих плоскостей 1рис. 17).
Глава Х1Х. Линейные нормированные пространства 3 1()7. Норма вектора Пусть У вЂ” линейное пространство, вещественное или комплексное. Нормой в линейном пространстве У называется отображение 3 ~~: У -+ й, ставящее в соответствие каждому вектору х б У число ~Щ е ж и удовлетворяющее аксиомам.' 1/х, р е У, 11 е к(с) 1) ~1 1!>О (Щ = О тогда и только тогда, когда и = д; 3) !1 !1 = И И ' 3) ~~х+ р~~ < ОЩ + Щ1 (неравенство треугольника).
Линейное пространст1ю У с заданной иа нем нормой П' (~ называется линебнь1м нормирвваннььи пространсв1волс Число ~Щ называется ворлсоб веквюра х. Заметим, что норма Ь (! (как отображение) определяет функцию у(х) векторного аргумента, принимающую вещественные числовые значения. В дальнейшем эту функцию будем называть фрнх11иеб нормы: Дх) = ~Щ, 1/х Е У. Нормы в арифметическом пространстве.
Пусть У = К" (или СР) н х = (х1,..., х ) е У. Положим (107.1) 1/Р /' ~~ 1 1/Р в 1/Р '„1 ~хь+ЫР < ~Е!хь!Р1 +. ~~ Ыр (1072) Ь=1 в=1 а=1 Его вывод опирается на неравенства Юнга и Гельдерн. Лемма 1 (неравенство Юнга). Если числа р и 7 вигховм, чя1о р, д > 1, р ' + е = 1, в1о длл любых а > О, Ь > О а1/РЬ1/е < + р 9 (107.3) те о р е м в 107.1. 1ррвхииа ~Щ лвллетлсл нормой е ари4мев1ичесхом врос травстве У. Доказательство. Проверка аксиом нормы для (107 1) нетривиальна лишь для неравенства треугольника, которое для Й Йр совпадает с классическим вераееис1пвом Минковского: Рхь,рь 6 С, Й = 1, и, и 1/р> 1 г»г „ т/» ',»" )хь!.!уь! < ',» !хь!' . ',) !уь!' А=! Ф т ь=г (107 А) Доказательство леммы.
Для х = Р или у = И неравенство очевидно. Пусть х ф Р, у ф В. Рассмотрим векторы х у и=— !!х!!,' !!у!!»' Очевидно, !!х(!з = 1, !(у)!» = 1 и уь = —, й = 1, п. (107.6) (!у!!»' хь хь !!х!!з' Применив неравенство Юнга к числам (хь!", (уь!», получим, что (хь! ' !Уь! < + —, 1» 1,' !хь !~ !уь(~ р я Сложны эти неравенства: ,~, !хе! !уь! <,» — +,» — =з (в силу (107.5)) =з !хе!з " !уь!' а=т з = — — < р ~(!!х!(о)я+у '(!!у!!»)» =ь ,, !!х!!з !!у(!» =з (!!х!!з = !!у!!» = Ц =ь 2 !хе! ° !уь! ( !!х!!„!!у!!„ ь=г т.е. выполняется (107.4).
Лемма доказана. Неравенство (107.4) называется нвравенппвоз» Гельдера Доказательство леммы. Для а = 0 или Ь = 0 неравенство очевидно. Для а > О, 6 > 0 неравенство (107.3) следует из выпуклжти логарифмической функции: для любых хы хг > 0 )п(ах~+,Вхз) >о1пхг+1»1пхз, Уа„9>0, а+19=1. Положив в этом неравенстве о = р > 13 = д, хт = а, хг = Ь, полу- -1 -1 Ь~ 1п 1Ь 1п ~ — + -~ > — + — = 1п(ат~'Ъгг»), Р я~-р я которое равносильно (107.3). Лемма доказана. Неравенство (107.3) называетгм неравенс»авог» ХОнга. Л ем и а 2 (неравенство Гельдерн). Пусгаь чнсла р и у таковы, ч»по р, Е > 1, р ' + д ~ = 1. Тогда длл любых векпюров х = = (хь ",х ) е У у = (уы", уа) е )г 344 Глава 7ПХ.
Линейные нормированные щйгстранства Дпя доказательства теоремы 107.1 применим числовое неравенство ~хй+ рй! < )хй)+ (уй( к каждому слмаемому в левой части (1072): '„г'Ох +уй~)г= ',) )ха+уй! ~хй+рй!' ' с ~ (~хй~+~рй!)()ха+уй!)' ' = й=г (хй~ ° (хй + уй~" г + ~~ ~рй) ~хй -й уй~в г. й г й=г Применим теперь неравенство Гельдера к каждой сумме, положив Ч '=1-р ': г/г ч г/а ~(~ +рйОг< ~:~хй~ Х;ахй+рйО' '" + й г й=г ййп г/г и г/е + ~.~.~" ~.(~ + ~)"-'" =(( -1) = )= й=г й=г г/г гл г-(г/гг ~хй! +,> Ыг ~~~ Ихй + Ы)г Разделив обе части этого неравенства на (~ ~й г(~хй + йй!)г) получим (107.2). ° Нормы ~Щ, р > 1, называются нормами Гельдера нлк р-кормами.
Е нормам Гельдера относится и норма )~х~! = гпак ~хй~. Легко показать, что это действительно норма и верно соотногпение !Ф1,. = 1йп!Ф1,. Среди норм Геяьдера чаще всего используются первая, вторая и бесконечная нормы: т г/э !1~И = Е 1~й! И*И~ = ~Е 1*~!') И*)! = пшх 1*~! й-г — г<й< Епге о метрическом пространстве. В 474 рассматривалась метрика в евкхидовом (и унитарном) пространстве, вводимая через длину" /г(х, р) = )х — р(, г/х, 1/ Е Е(у). З 107.
Норма вектора Приведем примеры других метрик: 1) М=!йилиМ=Ср(х,у)=!х — Ы~ й) М у4ъ ~ ! М г'ъ р(х у) — шех (х~ — уь!' 1<а<к 3) М = С(а, 6] — множество фуякций, непрерывных ва !а, б).. р(У,д) = шах !Дх) — й(х)~; хе!а,ь! 4) М вЂ” любое иепустое множество: (О х=у (1, хну, — зто одна из дискретных метрик. Введем важные поиятия метрического пространства, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Пусть М вЂ” метрическое пространство с метрикой р. Последовательность (х! 1) с М называется сходящейся к точ- ке а б М, если !пп р(х!ь1,а) = О.
Обозначение: х!ь! -+ а или а = 1пп х1~>. Последовательность (хрй) с М называется фундамень-+оз пыльной (или последовательностью Коша), если 'й > О ЭЖ = Ф(е): егп, и > Ф =ь р(х! 1, х!"!) < ю Метрическое пространство М ивзывается полкам, если любая фуидамевтвльиая последовательвость в ием сходится. Множества В(хе,.) =(хбМ~р(х,хе) <г), В( е,г) = 1. б М ~Р(х,хе) < $(хд,г) = 1х 6 М ~ р(х,хе) = г) называются соответствеиио оглкреапмм шаром, вамкнушмм шаром, сферой с центром в точке хо радиуса г. Множество Я ~ М называется овраниченнмм, если оио содержится в иекотором шаре.
Множество Я с М иазывается замкнутым, если для любой сходящейся последовательности (х( !) с Я ее предел солержится в Я. Множество Я с М иазыввется компокктным (или комкавшем), если из любой последовательиости в нем можно выделить подпоследовательиость, сходящуюся к некоторой точке а Е Я. Вещественная функция у(х), х 6 М (т.е.
у: М -+ !к) ивзывмтся непрерывной в точке а б М, если для любой последовательиости х! ! -+ а: Дхйб) -+ 7(а). Норма и метрики. Теорема 107.2. В линейном нормированном просшрансшее 'г' отображение р . "г' х г' -+ !к, определенное равенством р(х у) = !!х — И ух, у б р (107.6) леллетпсл меезрикой. 346 Глава Х(Х. Линейные нормированные пространства Аксиомы метрики непосредственно вытекают нз аксиом нормы. ° Таким обрезом, любое нормированное пространство метризуемо. Обратное не всегда верно. Чтобы по метрике можно было восстановить норму, метрика должна обладать дополнительными свойствами.
Теорема 107 3. Метрика р е линейном пространстве У (еещестпеениом или комплексном) определяет норму тогда и только тогда, когда длл любых х, у, г й Р и любого а й )й (соотеептсптееино С) 1) р(х, у) = р(ж+ г,у+ г) (ииеарииатпиостпь относительно сдвига); 2) р(аж, ар) = ~а~р(х, у) (инеариаитиость отиоситпгльио гомоптстни). (107.7) Доказательство, Необходимость очевидна, так как если р( у) = Пх-рП. р( '+ *у+ ) = П( +г)-(у+ )П = П вЂ” уП = р(х.у) р(ах,ау) = Пах — ауП = Па(х — у)П = (а~ Пх — уП = ~афх у).
Достаточность. Покажем, что метрика р, удовлетворяюшая равенствам (107.7), определяет норму. Положим ПхП = р(ж, д)„Чх б К Из аксиом метрики следует, что а) ПхП=р(ж,д) >О,Ъхй'т',иПх~[=0 с=ь х=д; б) П *П = р( , 9) = р( , ) = 1 )р( , 9) ) ! !Щ ~ Р', Ча Е К(С); в) Пх + уП = р(х + у, 9) = р(х, — р) < р(х, 9) + р( — у, д) = ПхП + ПуП, тх, у с 'т'. И В дальнейшем, говоря о нормированном пространстве как о метрическом, мы будем иметь в виду метрику (107.6). Общие понятия метрического пространства специализируются иа случай нормированного пространства с нормой ~(. П следующим образом. Сходимость последовательности (хтьт) к вектору а называется сходимостью по корме П П и означает, что йш Пхрд — аП = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
