В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Величины н функции, определяемые коэффициентами общего уравнения (105.2), которые не изменяются при преобразованиях координат, называются иквариакталти гипгрпаверхности атнасиптглъна этих преобразований Аппарат ннвариантов (как и в случае линий второго порядка на плоскости) позволяет по общему уравнению однозначно найти тнп приведенного уравнения и все его коэффициенты. Рассмотрим матрицу (105.8) полученную окаймлением матрицы А квадратичной формы столбцом и строкой из коэффициентов линейной формы и свободным членом с. Т е о р в м а 105.1. Харахттмристичесние многвчленм лгатр~щ А и В являются иквариакптвлти гипгрпаеерхностпи оптаситгльно артпогонвльнаго преобразования каардинапь Доказательство. Утверлсдение теоремы следует из того, чта соотнощення Ат = ЯтАЯ и Ву = ф ВЩ (см. доказательство теоремы 58.2) в случае ортоганальностн Я означают подобие матриц А, н Ау, В и Ву, а следовательно, н совпадение характеристических многачленов (теорема 86.2), ° Сл е дс т ни е.
ггнвариакпиьки гипср поверхности откоситпельно артпогональнога пресбразавакил координата являютпся: а) канонические кезутвпщиентм Лм..., Л„(как корни характеристического многочлена матрицы А); Глава ХОП. Геометрия квадратичных форм 328 б) гумми главных миноров й-го порядка матрицы А, й = Т,п, и, в частности, 1г А, де» А (как коэффициенты характеристического многочлена); в) числа щ А, щ В. Теорема 105.2, Канонические коэффициенты Лы...,Л„и величины ФгА, дог А, де»В, гбА„щ В лвллютсл инвариантами гиперповерхнвсти относительно параллгльногв Перекоп» Доказательство. Инвариантность канонических коэффициентов и величин гг А, бес А, щ А следует из того, что прн параллельном переносе матрица А не изменяется, а инварнантность де» В, гб  — из того, что матрица В при параллельном переносе подвергается элементарным преобразованиям (см.
доказательство теоремы 55.3). й Т е о р е м а 105 3. Оби»ее уравнение гиперповерхкости второго порядка ортогональным преобразованием еюрдинат и параллсгьнмм переносом приводится к одному и только одному иэ типов приведенных уравнений. Д о к а з а те л ь с те о. Утверждение следует яз того, что для уравнений типа (105.6) выполняется неравенство гбВ < щА+ 1, а для (105.7) — равенство гб В = гя А + 2. ° Классификация гнперповерхностей. Классификация осугцествляется на основе приведенных уравнений (105.6) н (105.Т).
1. Пусть г = и. Тогда уравнение (105.2) приводится только к уравнению типа (105.6), которое в этом случае имеет вид Л1х1+... + Лех„+ аа = О, э при этом де»А = Л1...Л„, дегВ = Лэ...Л.„аа, ас де»В/деФА, Все коэффициенты в (105.9) определены однозначно вследствие инвариаятности чисел Лн..., Л„, де»А, де»В. В силу закона инерции (теорема 102.1) число положительных н число отрицательных коэффициентов Лэ,..., Л„определеяы однозначно, так что уравнение (105.9) однозначно преобразуется в уравнение э э хг х» хэ»+~ и„ 2 г э э (1%.10) а1 а» а„+, а„ если Йе1 В» О; а в случае, когда йе» В = О, — в уравнение э .2 хэ хг (105.11) аэ аэ аэ аэ Гнперповерхность„определяемая уравнением (105.10), при й = и называется эллипсоидам, при й = 0 — мнимым эллипсоидом, при 0 < й < п — гиперболоидом, Гиперповерхность, определяемая уравнением (105.1), называется конусом.
2. Пусть г = и — 1. Тогда уравнение (105.2) приводится к уравнению типа (105.6), если де» В = О, н к уравнению (1%.7), если де» В э» О. Эти уравнения однозначно преобразуются: 3106. Алгебраические поверхности второго порддка в первом случае в уравнение з з Я аь аз+а аг г где с = 1, если гй В = и, и с = О, если гб В = и — 1; во втором случае в уравнение з т 3 з 2+ ''+ 2 3 ''' 2 2рх Р)О (10513) х1 хь ха+1 яп ,з "' аз,я '" аг Гиперповерхность, определяемая уравнением (105.13), называется параболоидом.
3. Пусть 0 < г < и — 1. Тогда уравнение (Г05.2) приводится к уравнению типа (105.6), если гй В < я+1, и к уравнению типа (105.7), если гй В = г + 2. Эти уравнения однозначно преобразуются." в первом случае в уравнение хз хз хз хз зь+ + з ь~~ ' — с, (105.14) а13 ааь а~а+1 а,. где с = 1, если гб В = г + 1, и с = О, если гй В = г; во втором случае в уравнение хз хз х' + + " — - ° - — — ~ — 2рх,.+г, Р > О- (105 15) а1 3 106. Алгебраические поверхности второго порядка Общее уравнение.
Под общим уравнением алгебраической поверхности второго порядка в системе координат Охрз пространства понимают уравнение вида аыхз + аюуз + аззхз + 2агзхр + 2а1зхл + 2аззрх + +25| х + 2Ьзз + 2Ьзг + с = О, (106.1) где не все козффициенты ан (ь, у = Т, 3) равны нулю, ае — — ад, (ъ, 1 = = 1,3). Здесь группа членов второго порядка образует квадратичную форму от переменных х, Р, з (или, в векторной терминологии, от Гиперповерхности, определяемые уравнениями (105.12), (105.14), (105.15), называются цилиндрами Так как условия, определяющие зтн уравнения, взаимно исключают друг друга, то общее сравнение (105.2) определяет одну и пюльяо одну ие перечисленных поеерхносгпеа Глава Х»»ХХХ, Геометрия квадратичных форм радиус-вектора точки (х, р, з)), а группа линейных членов — линейную форму, так что уравнение (106.1) является уравнением гиперповерхноств второго порядка в евклндовом пространстве Ъю Обозначения, соответствукпцие общей теории гиперповерхностей, в данном случае имеют вцц: Х =(х,р,з)~, Ь= (ЬмЬг,бз)т, аы агг агз Ь| ага агг азз агз агз азз Ьз ~ Ьз Ьг Ьз с ~ ам агг азз 1 А= ~ агг агг агз ~, В= азз паз азз В этих обозначениях общее уравнение (106.1) может быть записано в компактной форме: ХтАХ+ йбтХ+ с = О А = Ат ( 06.3) (106.3) Лгхг+ Лгрг+ 2Ьоз = О, Л»ЛгЬо Ф 0 (106А) Л, з+Лзуг+ о=О, ЛЛ Фа, ( .) 3.
Прис=1: Л1х + 2рор = О, Лгро ф 0 (106.6) Л»х + йо = О, Л1 т О. (106.7) Отметим„что все коэффициенты уравнений (106.3) — (106.7) определены однозначно общими инварнантами гиперповерхностей: Хз = = ггА, Хз = безА, К» — — безВ и специальными инвариантамн алгебраической поверхности второго порядка: Хг — сумма главных миноров второго порядка матрицы А; Кг и Кз — суммы главных миноров второго и третьего порядков матрицы В. Приведенные уравнения.
Пусть общее уравнение (106.1) задано в прямоугольной декартовой системе координат. Согласно общей теории гиперповерхностей (3105) уравнение (106.1) с помощью ортогонального преобразования координат (т.е. простым вращением и простым отражением) н параллельного переноса (т.е. переноса начала) приводится к одному и только одному из двух типов приведенных уравнений (105,6) и (105.7).
В соответствии с общей схемой классификации гиперповерхностей эти уравнения можно разбить на следующие пять простейших уравнений в зависимости от значения г = гйА. 1. При г = 3: Л1х + Лгу + Лзг + оо = О» ЛзЛгЛз»' О. у 106. Алгебраические поверхности второго порядка 331 Величины Хг, Кг, Кз — инварианты ортого~вльиого преобразоваиия координат, так как являются коэффициевтами характеристических многочлеиов матриц А,В (докажите1). Однако при параллельиом переносе величина Кз остается неизменной, только если Хг — — Ез —— = К» = 0 а величина Кг — если Хг = Хз = Кз = К» = О, В этом несложно убедиться вепосредствеиио авалогичио тому, как зто было сделано для ливии второго порядка (пюрема 58.2). Для уравнений (106.3)-(106.7) легко вычислить все инварианты, а именно: (106.3): Х зз О; (106-4): Хз = О К» ЭЗ О (106.5): Ез = О„К» = О, Хг Ф 0; (106-6): Хз = О, К» = О, Ег = О, Кз зЗ О; (106.7); Хз = О, К» = О, Хг = О, Кз = О, Хз ~ О.
Эти условия необходимы и досзиточиы для каждого из перечисленвых уравнений, так как взаимио исключают друг друга. При этом все коэффициенты уравнений определены однозначно, ибо Лм Лг, Лз— коРни .хаРактеРисгического УРавнениЯ: — Лз + Х»Лг — ХгЛ + Ез = О; К, К, '~г К, К, '" К, о= —,Ьо= — —;со= — 'ро= — — ',ус= Е . Метод врзхцений. Упрощеиие общего уравнения алгебраической поверхности второго порядка, проведенное здесь, опнрвлось па общую теорию гиперповерхяостей второго порядка, в основе которой лежит приведение квадратичной формы Е = аых'+ аггрг+ аззз'+ 2аггхУ+ 2а»зхз+ 2агзрз (106 8) к главным осям.
Как следует вз теоремы 104.1, каноническими коэффициентами при этом будут собственные значения матрицы квадратичной формы, а каноническим базисом — оргояормироваииаи система собственных зиачеивй. Один из способов приведения квадратичной формы Е к главным осям (как и в случае алгебраической ликии второго порядка иа плоскости) основан иа поворотах системы координат. Рассмотрим единичную сферу я, задаииую уравпевием хг + уз + + г Такое рвссмотренне мотивироввио экстремвльимми своястввмя квэврвтичиоя формы на еяиннчноз сфере, о которыя ноакес речь в 1мг ~см. Замечение). Функция Е определена и непрерывна ва замкнутом ограниченном множестве Я и, следовательно, достипн»т иа этом множестве своего максимального зиачеиия ([11[). Пусть Р— точка максимума функции Е иа сфере Я.
Выполним поворот системы координат Охух вокруг точки О так, чтобы ось Оз' совпала с прямой ОР, а положительное иаправлеяие оси — с направлением вектора ОР. Получим иовую прямоугольиую Глава Х7Ш. Геометрия квадратичных форм декартову систему координат Ох'у'г', в которой функция 1 имеет вид у = О11х + О22у + Оззг + 2О12х'у'+ 291зх г + 2О23у г, (106.9) сфера Я определяется уравнением х' + у' + г' = 1, а точка Р имеет 12 2 12 координаты (О, О, 1). Согласно выбору системы координат Ох'у'г', максимальное значение функции ~ достигается при х' = О, у' = О, г' = 1.
Если в (106.9) положить у' = О, г' = 1, то получится функция Л от одной переменной х'. гг 1 г 11 = О11х + 2йгзх +йзз, откуда а',3 = О. Аналогично, если в 11 положить х = О, г = 1, то получим, что агз —— О. Таким образом, в системе ююрдинат Ох'у'г' функция Л имеет вид с гэ / г г / гг г г2 Л = аых +211шг'у +О222 +Оввг (106.10) При повороте системы координат Ох'у'г' вокруг оси Ог' иа угол д координаты х', у', г' преобразуются по формулам х' = х" сову — у" вш у'= х" 31пээ+увсову, г и 1 при этом функция Г' по-прежнему будет иметь вид (106.10), а выбором угла ээ, для которого СФ621р = (а11 — агээ)/(2О12) (как и при рассмотрении линии второго порядка на плоскости), можно добиться того, чтобы коэффициент а",'2 при хлу" стал равным нулю.
Таким образом, с помощью двух поворотов системы координат Охуг можно найти систему координат Ох"у" г", в которой группа старших членов общего уравнении (106.1) не содержит произведений кл во вв х у,х г,у к ю, В ~, ~эвэввэ йнил квадратичной 4ормы (106.8) от трех переменных к главным ОСЯМ. Зал е чаи не. Идеи этого метода лежат в основе метода врашеивв иакожления собственнык эяачевие и ортонормировенкой системы ссбствеинык векторов симметрическое матрицы и-го порядка, эффективно используемого в вычислительной математике. которая достигнет максимального значения в точке Р, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
