В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Из линейной независимости собственных вектоРов, отвечающих различным собственным значениям, следует, что в разложении (99.5) отличными от нуля будут коэффициенты сгь лишь при тех /~,„которые отвечают собственному значению рь = Л,. Поэтому Се, = ~',ь оьС/ь = ~,", 1аьь/Лг/ь = ~Я;д„"ь 1аь/ь = ~/Лге„те. выполняются равенства (99.4).
° у 100. Разложения линейного оператора Оператор 6 называется квадратным корнем из эпграгпора А, В заключение отметим, что в линейной алгебре рассматриваются и операторные (матричные) неравенства: говорят, что для самосопряженных операторов А н В (матриц А и В) имеет место неравенство А > В (А > В), если А — В > О (соответственно А — В > О).
Аналогично определяются неравенства А > 6, А < 6, А < 6. $100. Разложения линейного оператора Эрмитово разложение. Линейный оператор А й Ю(У„У) в унитарном (евклидовом) пространстве г называется косоэрмитоеым (соогветственно кососимметричгским), если А' = — А. Квадратная комплексная матрица называется косээрмитоеой, если Ал = — А. Квадратная вещественная матрица называется кососимметричгскэй, если Ат = -А. Из определения следует, что 1) косозрмитов (кососимметрическнй) оператор нормален; 2) оператор А косозрмитов (кососнмметричен) тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе косозрмитова (соотвегственно кососимметрична); 3) все собственные значения косозрмнтова оператора в унитарном пространстве — чисто мнимые (так как если Ах = Лх, то — Ах = Лх, т.е.
Л = — Л) и следовательно, все корни характеристического много- члена косозрмитова и кососнмметрического операторов — чисто мнимые; отскща следует, что 4) кососимметрическнй оператор не имеет собственных значений. Теорема 100.1. Длл любого косоэрмитсеа оператора А е унитарном пространстег суигестеугт эрмипюе оператор В такой, чню Доказательство. Оператор А нормален, следовательно, существует ортонормнрованный базис е = (еы..., е„) пространства из собственных векторов оператора А .
Если Лм ., ., ˄— соответствующие им собственные значения, то Л» = ьй», В» е Й, к = 1, и и Ае» = гй,е». Положив Ве» = В»е», к = 1,п, получим искомый зрмитов опера тор В. ° Теорема 100.2. Линейный оператор А е унитарном (геклидоеом) проспгранстее может быть представлен, и притом единстегниим образом, в аиде суммы (100.1) эрмивгоеа (симметрического) оператора В и касоэрмитоаа (косо- сиэгмггпрического) оператора С.
302 Глава ХИ. Линейные операторы в уннтарном пространстве Доказательство. Положим 6=-(А+А*), С=-(А-А). 1 1 2 ' 2 Тогда„как легко проверить, В' = В, С' = -С и А = В+С. Единственность такой пары операторов следует из того, что для любой другой пары операторов Вг и Ст тахих, что В = Вт, С; = — Ст и А = Вт + Ст, имеем,4» = 6~ — С~ или 1(А+А») = 6~, т(А — А») = См те, в силу (100.2) В = В, С = С. и Разложение (100.1) называется эрмитовым рвэлвэтсснием оператора А. В силу теоремы 100.1 эрмитово разложение оператора в унитарном пространстве может быть записано в виде А=В+тЗ, рьуь, Й =1,г; Ась = д, й=г+Ги, (100.3) рьеь, к =1,г", А'Ь = й, к=с+1,т, » ~~ ~ | Г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! 1 (100.4) Доказател ь ство.
1. Рассмотрим операторы А'А и АА". Заметим, что а) А Ае С(К1т), АА б С(И',Иг); б) А"А и АА* — самосопряженные операторы, так как (А'А)' = =А'Аи (АА )*=АА', где 6 и бт — эрмитовы операторы. Теорема 100.3. Линейный оперэтор А б .С(КУ) в рнитпарнсм 1евклидввом) пространстве нормален тогда и только эюгда, когда операторы 6 и С е эрмитоввм раэлоэюении (100.1) этого вператпора пергсэтвновочны.
Доказательство. Если А= 6+С,то А' = 6 — С и АА' = Вэ— — ВС+С — Сэ, А'А = Вг — СВ+ВС-Сг, е. АА -А'А = 2(С — ВС), Значит, АА" = А А тогда и только тогда, когда СВ = ВС. и Сингулярная пара базисов и сингулярное разложение. Пусть У и Ь' — два унитарных (или два евклидовых) пространства и дбп Ъ' = п, д(шИ' = т.
Теорема 100.4. Для любого линейного оператора А б С(К Ит) ранга г сущесэтврютп полоэтсиптаэьныв висла рг > рэ >... ) р„> О, ороюнсрмщюванньте базисы е = (ем..., е„) пространствва 1т и У" = (~м...,У ) пРвстуанстпва Ит тпакие, апо З 100. Разложения линейного оператора зоз в) А'А> О, АА' > О, так как (А"Ах, и) = (Ах, Ах) > О, Чх Ф д; (А.Гх, х) = (А'х, А х) > О, Ух з~ д. дз >О, а<1, д,',=о, (100,6) 3. Рассмотрим систему векторов Аем Аез,...,Ае . Заметим, что а) Аеа б И', и = 1,п; 6) (Аеы Аез) = (А'Ась ез) = рь(еюез) = ~ Грю .1 =и; (1ОО,7) 10, д~й.
Из (100.7) следует, что Аем..., Ае~ — ненулевые попарно ортогональные векторы нз %', а Ась = д„к > г. Таким образом, векторы Аем..., Ае~ образуют базис жА, так что Пусть дь = ~Я, и = 1,п. Тогда рь > О, й = 1,г и 1Аеь~ = рь, и = 1,г. Обозначим 1 Ь = — Аею в=1,г. дь (100.9) Из (100.9) и (100.8) следует, что Аеь=рьДь, й<т, Ась=И, й>г. (100.10) Векторы Л~ " . ~ Л. образуют ортонормнроваиную систему. дополним ик до ортонормироваииого базиса Иг: 1м., у„,у,+и..., ~ .
2. Для оператора А*А (в силу п. 1"6") существует ортонормированный базис ем..., е„из собственнык векторов, причем (в силу п. 1"в") соответствующие собственные. значения неотрицательвы. Пусть гзА А = г и векторы ем..., е„пронумерованы так, что первые с ссбственнык значений рз„...,р~~ отличны от нуля, причем дзг > рз з>... > Рз, а оствльныЕ собственные значениЯ Рз+м..., Р~ Равны нУлю, т.е. 304 Глава ХИ.
Линейные операторы в унитарном пространстве Векторы Л.....,(„,)'„+ы...,У являются собственными векторами оператора АА, отвечающими собственным значениям рты..., Р~, 0,,0» так как Р». 0 (100.11) размера от х н с невозрастающими неотрицательными злементвми ва днасонали. Согласно (94.7) оператор А в паре базисов ~ и е имеет матрнпу (А').х = размера и х тп. Отсюда следует, что )' Рьеь. й < с; " "-)(й, 4>,. Это соотношение вмесю с (100,10) завершает доказательство теоремы.
и 2 ) АА'~ь =АА ~ — Ась~ = — А(ААеь) = — "Ась = РьАеь = рзД. »(=! ~- ь"» > 4. Таким образом, построены ортонормированный базис е = (ем...,е ) пространства У из собственнык векторов оператора А'А и ортонормированный базис у = ()ы..., ~„) пространства В' из собственных векторов оператора А.4.'. Из (100.10) следует, что оператор А в паре базисов е н ~ имеет прямоугольную диахональную матрицу у 100, Разложении ллнейного оператора 305 Следствие 1. г = гбА = гйА' = гбА*А = гйАА*. Следствие 2. Ненулевые собсгавенные значения операторов А*А и АА' совпадают.
Если з = ппп(гв,п), то опера1порм А'А и АА' имеют еще и з — г общих нулевых собственных значени6. Следствие 3. ппА= Е®,...,Я, 'хег А = Е(е вм..., е„), 'пп А* = Е(ем..., е,.), )гегА' = Е(Х+г - Уы) Замечание 1. Очевидно, что теорема 100.4 справедлива и для операторов, действующих в одном пространстве. Числа рм...,р, (т.е. арифметические значения квг,лратных корней из общих собственных значений операторов А'А и АА') называются сингулярными числами оператора А, Векторы е| „, е„называются правыми сингулярными.
векторами оператора А, а векторы ум..., Д вЂ” левыми. Т е о р е и а 100.5 (матричная формулировка теоремы 100.4). Дзя любой метр~щи А Е С "". (Йюх") ранга г сущесгавуютп полозюитслъные числа рг > рг » ... р„унитарные (ороюзон~~ ~иные) матрияы С с г"ххх ()тххх) и Д б г'мха (Япзхт) такие, что А=ОЛС (А=ПЛС (100.12) где рьгь Й =1,г; Аег = б, й=г+Т, и; ( рзеы Й = 1, 1", А уз= ~б, й=,+1,, (100,13) — прямоугольная диагональная матрица размера гп х и. Доказательство можнопровгктипосхеме,аналогичной(88.6). Приведем другое доказательство.
Теорема 100.4 означает, что для любой матрнпы А существуют положительные числа рг > рз »... > рг > 0 и ортонормированные системы векторов ем..., е„Е С" (К"), Л... ~' бС (Й )такие,что 306 1"лава ХИ. Линейные операторы в унитарном пространстве Соотношения (100.13) равносильны матричному равенству А[е1 ... е„[ = [у1... 1;„)Л или, в обозначениях Иеь = уь й = 1,п; ВЬ =рай, й =1п (100.15) Тогда И вЂ” унитарный (ортогональный) оператор, так как он переводит ортонормированный базис е в ортонормированный базис у; В > 0 как нормальный оператор (ибо ортонормированный базис у' состоит из его собственных векторов), собственные значения которого неотрицательны (уточним, что р1 > рг » ...
рг > О, р„~1 = = р„= О). Прн атом А = И4, так как согласно (100.3) Ась = раею й = 1, и я согласно (100.15) ВИег = реть, й = 1, п. Единственность. Пусть А = ВИ -„пузложенне (100.14) оператора А. Тогда А' = И'В' и АА' ~В".вТаким образом,  — квадратный корень из оператора АА*, который иа основании теоремы 99.5 существует и определен однозначно. Если оператор А обратим, то согласно следствию 1 обратим и оператор А А, поэтому рь ~ О, равенству (100.12). Остается добавить, что матрицы С й С" ""(К""") и Ы 6 С™" ~(Ж'""'") — унитарные (ортогональные) матрицы как матрицы с ортонормяровелными столбцами.
° Векторы еы...,с„и 1м...,~д, из (100.13) называются соответственно правыми и левыми сингулярными векторами матрицы А, числа рм лг,..., рм где в = пйп(т, п), (т.е. арифметические квадратные корни из общих собственных значений матриц АнА н ААн)— сингулярными вислами метрики А, а соотношение (100.12) — сингуллркмм разложением матрицы А. Полярное разложение.
Теорема 100.4 верна н для оператора А, действующего в одном пространстве У', уяитарном нли евклидовом. Отличие состоит лишь в том, что сингулярные базисы состоят из одинакового числа векторов. Т е о р е м а 100.6. Линейннй оператор А, действугвщий в унитарном (гвклидввом) просгпранстве, мозсега быть представлен в виде произведения А = ВИ (100.14) неотрицапмльквго оператора В и укитарного (ортогонального~ опс- ратвраИ. При этом оператор В определен однозначно, а если А абратим, то и оператор И определен однозначно.
Доказательство. Существование. Пусть е = (ем,.,,е„) и у = (Л,..., ~„) — сингулярная пара базисов для оператора А. По- ложим 3'100. Разлшкенил линейного оператора й = Т„п, и в силу (100.15) обратим оператор 6. Отсвтда и из (100.14) следует что и = 6 1А ° Разложение 100.14 иазывеегси полярным роглааюеиоам оператора. Зометон ое 2.
Для любого опороторе А имеет место риынипенио А = Ж, тле у — унитарный (ортогонлльный) оператор, С > О. Оно может быть получево нз полярного разложения сопряженного оператора А' = И» пороховом н оперотору А: А = »»'Б, где И* = и — унитарный (ортогоннльиый) оператор. Теорема 100.У. Лмнейныо аверопюр А е рмивгорнам (евклодаеам) нрасвтремстпве нормален глагде и пюлека пюгдо, ванда в любам ега валлрмам реелалсенин аперептарм 6 о И перестлоноеочмеь До к аз ат ел ьст во.
Пусть А = Я»- полнрное разложение оператора А. Тогда АА' = Вт, А'А = И'Вти. Достаточность очевидна, так квк если ВИ = ИВ, то А'А = =и в'и =и*в(ж) =и"6(ив) =и (ви)в= и (ив)в =и ив' = =в'=А,Е. Необходимость. Если ем, ..,е„— ортонормированныйбезис из собственных векторов А'А, то А Аей = резей, »г = 1,п. (100.16) С другой стороны, А"А = И'ВгИ н, значит, И'Взиее = ртгеы те. В Иеь =рьиее, й= 1,п. т г Так как оператор И уннтарен„то векторы Ием...,ие„образуют ортонормированный базис, позтому в соответствии с (99.3) из (100.17) получим И»ее = реиеь, й = 1,н. (1ОО.И) С другой стороны„А'А = А.ч' = Вг и согласно (100.10) Вгеь = = атлет илн, в соответствии с (99.3), Вел = рьеы откуда умножением на И слева получим, что ИВел = ре»»ее, й = 1, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
