В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 58
Текст из файла (страница 58)
жордановых клеток Д,(Л ). Заметим, что ,Хт,(Лт) = Лт1 + .7г(0), Хь(0) = О, т > (с, (92.8) и что матрицы ЛтХ и,7г(О) коммутнруют. 2. С помощью жордановой формы легко вычислить минимальный многочлен, В семом деле, минимальный многочлен для,ут,(Лт) равен (й — Л.)", так квк в силу (92.3) (.Хь(ЛО) — ЛХХ)™ = .Хг(О), а,7ь(0) = 0 при т > й. Минимальный многочлен квазидиагонельной матрицы с Л на главной диагонали равен (г — Л.)"", где Й вЂ” наибольший размер жордановой клетки с Лд.
Наконец, минимальный многочлен общей жордановой матрицы (92А) равен (г — л,)' ... (г — л„)", где Йг — наибольший размер жордановой клетки, отвечающей Лт. $ 93. Вещественный аналог жордановой формы Инвариантные подпуостранства минимальной размерности. Теорема 93.1. У всякого линейного оператора е комплексном пространстве сущестпвуетп одномерное инвариантное подпроспцтанство. Доказательство. Утверждение следует из существования собственного вектора для любого оператора, действующего в комплексном пространстве (з86): если е — собственный вектор оператора А, то Е(е) — одномерное надпространство, инвариантное относительно А. ° Т е о р е и а 93.2. У всякого линейного оператпора в оещестпвенном пространстве суигесомует одномерное ипи двумерное инвариантное надпространство.
Доказательство. Пусть У вЂ” вещественное пространство, А е Ю(У,У), у = (ут,...,д„) — базис У и А — матрица оператора А в базисе д. Характеристический многочлен 7(Л) оператора А является многочленом с вещественными коэффициентами, так как 7(Л) = = бег(А — ЛХ), где А е К""". Пусть Ле — корень характеристического многочлена 7(Л). $ 93, Вещественный аналог жордаиовой формы 281 1. Если Ле а Е„то Ле — собственное значение оператора А. Тогда линейная оболочка Ю(е), натянутая на соответетвуквцнй собственный вектор е, образует одномерное подпространсгво, инвариантное относительно оператора А, 2.
Если Ле = а + ц9, Д;Е 9, то Ле = а — )й — тоже корень характеристического многочлена ДЛ). Рассмотрим А как комплексную матрицу, тогда Лс будет ее собственным значением и если е е С соответствующий собственный вектор, то Ае = Лее. Обозначив У = е е С" и перейди в (93.1) к сопряжению, получим АУ = ЛоУ. Очевидно, с н 1 — линейно независимы, как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям. ПУсть е = (хэ + 1Рэ,..., х„+ 1Р„)т = х+ 1Р, где х = (хм..., хв)т, р = (рм..., р„)т с К".
Тогда равенство (93,1) может быть записано в виде А(х+ вр) = (а+ яй)(я+тр) или Ах = ах — )3р, Ар = ~Зх+ ар. (93.2) Векторы х, р — линейно независимы, так как с+У е — у х= р=— 2 ' З а векторы е, 1, квк указывалось выше, линейно независимы. Тогда если и = 2',",х;р„в = 2,", р;р;, то системе (93,2) соответствует система векторных уравнений Ав=аи — Дв, Ас = ~За+пи, где и, е — векторы пространства Р', одновременно не равные нулю. Из (93.3) следует, что Ю(и, в) — инвариантное подпространство.
При этом 81шЕ(и,в) = 2, Итак, каждый вещественный корень характеристического много- члена порождает одномерное инвариантное пространство, а каждый комплексный (не вещественный) корень — двумерное инвариантное подпро стран ство. ° Веп1ественпый аналог жордановой формы. Пусть А — линейный оператор, действующий в п-мерном вещественном пространстве. Его характеристический многочлен У(Л) — многочлен я-й степени с вещественнымн коэФФициентами.
Если все корни у(Л) вещественны„то к оператору А применима обшаи теории жордановой формы, т.е. в пространстве г' существует бозио, в кагором матрица оператора А имеет квазидиагонвльную форму с вещественными клешней Жорлана на главной диагонали. Пусть Ло = а + )34, р ф 0 — комплексный корень многочлена г(Л), тогда Ло = а — Дг также будет корнем у(Л), причем той же кратности, что и Л. Для исследования простейшей формы матрицы оператора А перейдем, как и в доказательстве теоремы 93.2, на матричный язык: вместо оператора А будем использовать его матрицу А в некотором базисе, вместо векторов — их координатные столбцы в том же базисе, Матрица А е К""" может быть рассмотрена как комплексная матрица и согласно общей теории в ее жордановой форме есть клетки с Ло и Ло на главной диагонали. Рассмотрим серию базисных векторов ец..., еь е С", порождающую клетку уь(Ло), Имеем ( Ае1 = Лоем Асз=Лое +е; м З=2,Й.
(93.4) Обозначив Д = ей, у = 1, й н перейдя к сопряжению в (93.4), получим с АЛ =ЛОЛ, Ал = Лол + Л 1, Д = 2, Е Это означает, что линейно независимые векторы Л, .', уь ~ С" порождают клетку .Уь(Ло) Таким образом, Уь(Ло) н .уь(Ло) — клетки одинакового порядка Й и нх равное количество. Покажем, что линейная оболочка базисных векторов, порождающях зти клетки, образует инвариантное подпространство Е размерности 2к. Представим каждый вектор в в вцпе. е.
= х,. +гу~, где хв, уу ~ К". Тогда ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! А(х|+ йу1) (а+А)( 'з + Чл) сФ А(х +йуу) = (а+~И)(хз+гуу)+х 1+йу. м ~ = 2,Й. Ах1 = ах1 — дум Ауь =Фхг+ауы св Ахв — — аху — Ьув+ хя-1 Ау. =,Вхв+аув+УВ-м .) =2 х- Б гх у,х,у,...,хыуь линейно независимы, так как е +Д е~ — у~ ая = 2 21 Ув = ! 282 Глава ХУ. Структура лнн. оператора в комин.
пространстве 3 93. Вещественный аналог жордаиовой формы а линейная независимость еи...,еы ~,...,уь слезует из линейной независимости корневых векторов, отвечающих различным собстваь ным значениям, Равенства 193.3) означают, что в базисе надпространства Ь, векторы которого имеют координатные столбцы хм уы..., хы уы оператор А~ имеет матрицу о ~3 1 Π— 11 о О 1 о 13 1 О -11 о О '1 С93,6) порядка 2к. Таким образом, каждый комплексный (не действительный) корень характеристического многочлена ДЛ) кратности Й порождает клетку 193.6) порядка 2Й. Т е о р е м а 93.3.
Длл всякого линейного операторе, действующего в вещественном щюстрвнспые, существуеп1 базис, в катарам матрииа оператора имеет квазидиагональную форму с вещеспгвенными хлептами Жордона и вещественнмлги клетками вида 198.6~ нв главной диагонали. Доказательство. Для доказательства утверждения нужно взять жорданов базис матрицы А оператора, оставить в нем все векторы, порождающие вещественные клетки 2Кордвна, а векторы, порождающие комплексные клетки,4(Ло) и .Уь~Ао), заменить на векторы с «оордннатнымя столбцами хг, ум ", хы уь И Глава Х'Ч1, Линейные операторы в унитарных (евклидовых) пространствах $ 94. Сопряженный оператор Определения и свойства.
В этом параграфе У и И» — два простран ства, оба унитарных нли оба евклндовык. Теорема 94.1. Вели А, — линейные операторы из с.(Ъ; И») и („4х,р) = (Вх,у), рх Е 1», р Е И', та А= В. До к азат ел ь ство. Утверждение вытекает из следующей цепочки простейших имплвющий: (Ах, р) = (Нх,р), Чх Е Ъ» р Е И» =ь (Ах — Нх,р) = 9, ~/р Е И» =ь =ь Ах — Вх=д =ь Ах= вх, чхе г' =ь А=В. ° Замечание. Очевидно, что из равенства (х, Ар) = (х, Вр), Чх Е Ь', р Е 1», также следует, что А = В.
Пусть А Е с,(К И»). Отображение А: И» -+ 1» называется соирлхсеииь.ч оператором и оператору А, если (Ах,р) =(х,А р), УхЕ (», рЕ И». (94.1) Прнмер. Пусть А — линейный оператор, действующий в геометрическом пространстве Из по правилу Ах=(х,а), аЕ1»3. Тогда для любого вектора у Е 1»э (Ах, у) = ((х, а), у) = (х, (а, у)) = (х, — (у, а)) = (х, — Ау), н, с другой стороны (Ах, у) = (х, А"у). Таким образом, (х,А'у) = (х,— Ау), '~х, у Е 1э. Отсюда согласно теореме 94.1 следует, что А' = -А. Т е о р е м а 94.2. 6Ъарлс»сенный оператор линеек.
Доказательство. пусть рмуэ е и», тогда согласно (94.Ц (Ах,р1+уэ) = (х,А (р1+рэ)). (94.2) С другой стороны, (Ат,р1+рэ) = (Ах,р~)+ (Ах,рэ) = (х,А"р1)+ + (х, А рр) = (х, „4'р1 + А" р~). Отсюд~ с учетом (94.2) получим, что (х,А (р1+рэ) — (А'р1+А уэ)) =9, Мхе 1», следовательно, (94.2) А*(р1+рэ) =А'в+А рз, ррырэ Е И'. $ 94. Сопряженный оператор Аналогично показывается, что А (ау) = аА у, Чу й И'„Ча Е С(К).
(94.4) Свойства (94.3), (94.4) доказывают линейность оператора А'. ° Теорема 94,3, Для любого оператаора А й Е(КИ') существует, и притон единственный, сопряженный оператор. Доказательство. Существование. Пусть ем...,е„— ортонормированный базис й. Тогда для любого вектора х й У согласно (70.б) имеет место разложение х = ~ ~г (х,еь)еь. Следовательно, Ах = Щ (х,еь)Ась и в силу (70.7) и (Ах,у) = ~~~ (х,еь)(Аеь,у), Чу й йг (94.5) Покажем, что оператор В й Е(И; г"), определенный равенством 6У = ~„„" (У, Ась)еь, ЧУ Е йг, является сопряженным к А. Действительно, из того, что (х,Ву) = = (х, ~;,",,(у, Ась)еь) = ~"ь (Ась, у)(х, еь), и равенства (94.5) сле- дует, что (Ах, у) = (х, Ву), Чх й %', у Е Рг', т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
