В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Согласно этой теореме, если Фь = йвгВг, Ть ='ппВь, то (91.4) Л~, с)угс ...сну,=и„, =.. 1г = Ф» 9Т», где йГ» и Т» инвариантны относительно 6, оператор В~,.„ ннльпотентен, а оператор 6~, обратим. 3. Структура корневого щнЬрвсгпрпнства. Вернемся к оператору А. Из цепочки вложений (91.4) следует, что а) Лг1 состоит из корневых векторов оператора А высоты, не превосходящей 1„т.е. совпадет. с собственным подпространством Фл„отвечающим собственному значению Л;. Таким образом, (91.3) и, следовательно, (91.б) где в — ггомегричесглл кратность собственного значения Л ", б) Фг состоит из корневых векторов оператора А высоты, не превосходящей 2, а Ф» состоит из корневых векторов всех высот, т.е.
д— максимальнал высота корневого вектора, отвечающего собственному значению Лг, и М» совпадает со всем корневым подпространством Кл,. Таким образом, Кх; =К» ( ) н цепочка вложений (91.4) может быть выстроена сведующим обрайглг = г»г С г»г С " С РХ» = К»+г = Клг (91 3) 272 1'лава Х'р'. Структура ляп. оператора в комлл. пространстве Из свойств надпространства гтг вытекают важные свойства корневых подпростраиств: если характеристический мвогочлел оператора А имеет вид У(Л) = (Лл-Л) Ф...
(Лу — Л)™м)... (Лр — Л) '3 Л, 4 Ль при уф 7с, (91.9) то а) лодпространство К», инвариантно относительно оператора А (в силу иквариэптиости отпосительио В и леммы 3); б) характеристический многочлеи оператора А~ имеет вид к,, Ь(Л) = (Л, - Л); (91.10) (это следует из (90.5) и леммы 2); в) дйшК», = гпг, (91.11) (это следует из (90.8)).
Замечание 1. Иэ (91.8) следует, что максимальная высота д корневых векторов, отвечающих собственному зиачепию Лэ, совпадает с индексам иильпотентиости оператора А — Лгу и согласно свойству 3 ие превосходит размериости К»,, тль алгебраической кратности собственного значения Лу. Из (91.8) следует также, что собствениое псдпрострапство 1г'л, является подпрострапством корневого подпростраяства Кл,, так что гэ < т . При этом И5„, = Кл, ср г1 = ту.. (91.12) Таким образом, цепочка (91.8) дает еще одно доказательство теорем 87.1 и 88.3. Т во р е и а 91.1 (о расплеплеиин линейного оператора).
Если А — линейнггй впсрапюр, действующий в комплгкснолг пространстве г' и „Г(Л) = (Л~ — Л)'"~...(Лр — Л)"~ Л; ~ Ль (1 ф. 9) — его характеристический многочлен, та пространства р раглага- гтсл в прлггую сумму его корнгвэсг надпространств: «91.13) У=К»,Е..
ЮКл, Доказательство, Воспользуемся иилукцией по р„Для р = 1, очевидпо, г = Кл,. Пусть теорема верна для оператора, имеющего р — 1 различных собствеииых значений. Докажем ее для оператора А. Выделим корневое подпростраиство К» так, как это было сделано в пп.
2 и 3 иастоящего параграфа. В соответствии с теоремой 90.3 и соотиошеиием (91.7) имеем Р = Кл, Ю Тг. 9 92. Жорданова форма Обозначим Уг — — Т,. Из теоремы 90.3 следует, что надпространство $'г инвариантно относительно оператора А-Лр1„а, следовательно, оно инвариантно и относительно А (лемма 3), при этом (в силу (90.6)) характеристический многочлеи оператора Ал = А ~, имеет вид ~) Л(Л) = (Л вЂ” Л)»,.(Л ~ — Л) ( ' А, Ф Л.
(3'7»,1) Оператор А1 имеет р — 1 различных собственных значений, и для него теорема верна, Если учесть, что корневые надпространства оператора Ал совпадают с корневыми подпространствами кл„..., кл„, оператора А, то К = Кл, 19... йг К,, и Ъ' = Кл, Э .. Ю Кл„, Ю ЭКл . ° Следствие 1. Ненулевые корневые вектора оператора, отвечающие различи»си собсптвсккым значениям, линейно независимы. Следствие 2, Для любого линейного оператора, дейсгпвующего в комплексном пространстве, существуегп базис, в каспаром его магприца имеет квазидиагокалькую форму (согласно теореме 84.2), у которой число дшмокалькых клекюк совпадает с числом рааличкык собсгпвеккых значений, а их размеры — с алгебраическими краткостями собственных значений, или, в матричной формулировке, любая квадратная комплексная матрица подобна квазидиагокалькой матрице, обладанпцей указанным выию свойсгпвом.
за м с ч он о с 2. Ргзложснне (91. 13), облкдвющсс всеми своастзкмн нз теоремы 91.1, длк каждого оператора Ывгнствснно в сноу теоремы 90,3. 8 92. Жорданона форма Перейдем к построению базиса, в котором матрица линейного оператора имеет наиболее простую форму. Этим базисом будет совокупность построенных специальным образом базисов корневых надпространств. Канонический базис корневого надпространства Пусть Кл, — корневое надпространство оператора А, отвечающее собсгвенному значению Л . Положим 6 = А — ЛуТ, У» = нег В", п» = 61га М», г» = гбао. Построим сначала само корневое надпространство Кл, Для этого согласно (91,8) необходимо найти момент 9, начиная с которого все ядра Ф» будут совпадать с Ж = Кл,, при этом в силу (91.6), (91.П) имеем пг = зг < пг ( ... ( пс — — т, где з- в т.
— геометрическая н алгебраическая кратности Л .. Теперь будем строить базис Кл„, последовательно просматривая поДпРостРанства Ф„, Фо 1,..., Ф1, М ) Пусть Л,..., Л, — векторы, дополняющие произвольный базис 199 1 до базиса Н . Ясйо, что: 1) они будут корневыми векторами высоты 9; 2) вх количество Равно пс — п„1, ! 274 Глава ХУ. Структура ллн. оператора в компл.
пространстве 3) ч» пч и -1 (пч пч-1) (пч+1 и ) пч+1+ 2пч пч-1 'хкк изк пч.~.ч = пч", 4) никакая нетривиальная лннейнел комбинация зтих векторов не принадлежит Ф» ч (такие векторы будем называть;аипебпо певевп- скмыми пао 1»' 1). Р7»-1) Построим векторы В~м..., В~д,. Эти векторы являк1тся кор- невыми векторами высоты д — 1, и они лйнейно независимы над Ф так как в противном случае для нетривиального набора чйсел аз,..., а», будем иметь 6» з ,'~ ь1', аьВуь = д, т.е. 6» 1 2 ~', аь.~ь = д, н Е»ч 1аьуь е Ф и что противоречит линейной независимости ~м...,~д, над гч, Дополним зтн векторы векторами дм...,д~„, Е Ф» 1 так, что- бы векторы Вум..., Щ,, дм..., д~,, дополнялй произвольный базис РУ» з до базиса М» ь Ясно, что: 1) они будут корневыми векторами высоты д — 1; 2) кх количество равно и ~ — и ч, 3) г~ 1 — — (пч 1 — и»-ч) — (и» вЂ” и» ч) = — и»+ 2пч 1 — пч »1 4) оии линейно независимы над Ф» ч.
Ф» ч) Анэлогячно строятся векторы 6»Ум,В»~ф,Вдм.",Вдю, „йы,йс, „ дополняющие произвольный базис Ф» з до базиса Ж» ч. Для атой системы векторов справедливы те же факты 1-4, что и для векторов, построенных на предыдущих шагах, Выполняя далее такие же построения в подпространствах Мч з, М»,..., придем к подпространству Мм М1) Здесь строятся векторы Вч Л °,6» Й 6» дч,...16» д»„~1 ~ бом... ~Всм! которые дополняются векторами ем..., вп до базиса Фь Таким обра- зом, векторы 1) являются собственнымн векторамн; 2) их количество равно п1 = п1 — по (очевидно, по = Йе(В» = О); 3) Гч = (п1 — по) — (пч — п~) = -пч + 2п1 — по; 4) они линейно независимы.
Полученную за д шагов систему векторов удобно объединить в таблицу, которую будем называть жороаповоо лестппцвд (см. с. 275). Теорема 92.1. Построенная система векторов обролдет безас корневого подпрострвнства Кд,. Доказательство.
Количество векторов в построенной системе равно размерности пространства К~,, так как п1 + (пч — п1) + +(пз-пч)+...+(и» вЂ” пч 1) = п» вЂ” — дпп Кл . Эти векторы линейно независимы, так как если приравнять их линейную комбинацию нулевомувекторунпоследовательноприменитьоператоры В» ',Вч »,...,6 к обеим частям полученного равенства, то все козффнциенты линейной комбинации окажутся равными нулю. ° э 92. Жордавоза форма Нумерация базиса. Будем нумеровать векторы построенного базиса по столбцам жордаиовой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произволыюм порядке. Полученный таким образом базис называется капопоческим (или жордапоеъм) базисом корпееого подпроспграпппеа Кь ..
Матрица оператора А~Кл, в каноническом базисе. 1. Пусть ем..., ео — векторы первого столбца жордановой лестницы. ТЬгда е1 = 6~ гум еэ = 6» ~71 6е,=В, 6еэ = ем 6е =ее ео — — 71 Ае1 = Луем Аеэ = ЛРэ + ем (92 1) А — Л,Х)е~ —— 9, А — Л Х)еэ = ем у (А — ЛуХ)ее -— е, ~ Аеа = Луее+ ее-г Этой группе векторов канонического базиса соответствук»г первые о столбцов матрицы А~К», в каноническом базисе, которые согласно (92.1) имеют вид уэ(Л7) где,7е(Л7) — клетка Жордана (88.7) д-го порядса с Лу на главной дна. гонали. Точно так же УстРоены столбцы матРицы А~Клэ, опРеделЯемые векторами второго столбца жордановой лестницы; диыонаньная клетка имеет тот же вид,7е(Л7), а все остальные элементы равны нулю.
Таким обрезом, первая группа из эе столбцов жордановой лестницы порождает клетки Жордана о-го порядка с Лу на главной диа говели. Число этих клеток равно эю 276 Глава Х1г. Структура лин. оператора в комля. пространстве 2. Следующая группа из тч 1 столбцов жордановой лестницы определяет клетки,7е 1(Л.) на главной диагонали матрицы А~Кхг Число клеток (9 — 1)-го порядка равно $ 3. Рассмотрев все столбцы жордановой лестницы, получим матрицу Ат оператора А)Кх, в каноническом базисе. Из (92.2) н наследующих рассуждений вытекает, что А, — квазнднагональная матрица с клетками Жордана Уь(Л ) на главной диагонали. Всего этих клеток столько, сколько столбцов в жордановой лестнице, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
