В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Достаточность вытекгат из критерия прямой суммы «теорема 66.1): совокупносп базисов собственных надпространств Игле, й = = 1, р, образует базис У, тем самым пространство У имеет базис из собстненпьгх векторов оператора А. а Заме саяне 1. На основании теоремы 66.1 условие (88.2) может быть заменено равносильным условием йппИ'л, +... + йппИ'л, = 61щУ. (88.3) Теорема 68.3.
Линейный оператор, действующий е комплексном првстпрангяпве, имеепг простую сгпрукгпуру гпогда и только яюгда, когда для каждого собственного значения этого операпюра геометрическая кратность совпадает с алгебраической, э 88. Операторы простой структуры Доказательство. Пусть Лм...,Л, где Л, ф Л при т ~ т',— вое различные собственные значения оператора А Е С(У, У) и пусть тг и гь, й = 1, р, — алгебраические и геометрические кратности Лг. Так как У вЂ” комплексное пространство, то, согласно теореме 86.6, Йш У = тпт + ...
+ птр. С другой стороны, 0 < йшВл„= гг < тпы й = 1, р, поэтому равенство (88.3) возможно тогда и только тогда, когда гь = пть, й = 1, р. ° (88А) Замечание 2. Теорема 88.3 в вещественном пространстве верна для тех операторов, характеристические многочлены которых имеют только вещественные корни. Матричная формулировки операторных свойств. Точно так же, как и для линейных операторов А б С(У, У), определяются собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы А б 6 Р""". Ненулевой вектор-столбец я Е Р" называется собстпееппмм еекптором матлроцм А й Р™", если существует число Л 6 Р такое, При этом число Л называется собстпегпнмм эначгпогм матпрпцы А, соответствующим собственному вектору х. Если е = (еы..., е„) — произвольный базис пространства У, то для оператора А б Е(У, У) имеет место импликация Ая = Ля с=ь А,я, = Ля,.
Это означает, что собственные значения оператора А и его матрицы в любом бгэнсе е = (ет,..., е„,) совцадактт, а собственные векторы матрицы А, являются координатными столбцами собственных векторов оператора А в этом базисе. Характеристические многочлены оператора и его матрицы совпадают по определению, поэтому для квадратных матриц А е Р""" имеют место теоремы 86.5 и 86.6. Эта идентичность свойств оператора и его матрицы, замеченная уже в связи с первыми свойствами оператора ($77), продолжает на.- блюдаться. Квадратнэл матрица А 6 Р""и называется матпроцей простой сптруяпщры, если она имеет п линейно независимых собственных векторов. Иэ (88.5) следует, что линейный оператор является оператором простой структуры тогда и толью тогда, когда его матрица в любом базисе имеет простую структуру.
Т е о р е м а 88.4 ( матричная формулировка теоремы 88.1). Кеадраптпая матпроца леллгптса матпроцгй проппой стпруктпурм тогда о тполъяо тогда, когда она подобна диогена аной. 264 Глава ХУ. Структура лин. оператора в кампл. пространстве Доказательство, Пусть А е Р""" — заданная матрица. Рассмотрим произвольное линейное пространство У над полем Р размерности и, Зафиксируем в пространстве У произвольный базис у. Пусть А е С[У, У) — линейный оператор, матрица которого в базисе у совпадаег с матрицей А, твк что А = Ау (согласно теореме 77.1 такой оператор существует).
Матрица А = Ау имеет простую структуру тогда и только тогда, когда А — оператор простой структуры, В силу теоремы 33.1 зто равносильно существованию базиса е„в котором оператор А имеет диагональную матрицу [88.1). Таким образом, матрица А имеет простую структуру тогда и только тогда, когда она и диагональная матрица (83.1) являются матрицами одного оператора. Это равносильно их подобию [332). ° 3 а м е ч а н и е 3. Доказательство теоремы можно схематически изобразить в виде лаконичной диаграммы„которой мы неоднократна будем пользоваться: Ае Е(У,У) А=Ау 4з = Замечание 4.
Теорема может быль доквзаяа и на матричном языке. Действительно, матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда,, когда она имеет и линейно независимых собственных векторов вм..., в„Е Р". Это равносильна следующей цепочке равенств: если Я = [з1 ...з„[ — матрица. столбцами которой являются собственные векторы вм..., з„, а А — диагональная матрица с собственными значениями Лм..., Л„на главной диагонали, та с Ав1 = Л1в1 <=» А[зв...в„[ = [в1...з„[А с=» АЯ = ЯЛ а=» Аз„= Л вь с=» А = ЮЛЯ '.
Жорданона клетки. Итак, самой простой формой матрицы обладают только операторы простой структуры, т.е. операторы, имеющие полный набор линейно независимых собственных векторов. Как мы уже отмечали, в вещественном пространстве существуют операторы, которые не имеют ни одного собственнога вектора. И в комплексном пространстве не каждый линейный оператор обладает необходимым для базиса числом линейно независимых собственных векторов. Рассмотрим важный пример. г89.
Треугольная форма матрицылинейного оператора 265 Матрица Л. 1 О ... О О О Л, 1 ... О О (88.7) о о о ... л, о о о ... о л, называется гюордановой клеткой к-го порядка. Эта матрица имеет: Ц характеристический многочлея у(л) = (Лс — Л)"; 2) собственное значение Л = Лс алгебраической кратности й; 3) собственные векторы, являющиеся нетривигльнымн решениями однорсдной системы уравнений с матрицей О 1 О ... О О О О 1 ... О О В =.~ь(Л,) - Л,у= ООО...О1 ооо...оо ранг которой, очевидно, равен к — 1.
Таким образом, матрица .бь(лг) (или оператор, задаваемый атой матрицей) имеет (теорема 30,2) один линейно независимый собственный вектор (к — (к — 1) = 1) и не может быть матрицей простой структуры, 8 В9. Треугольная форма матрицы линейного оператора Теорема 89.1. В и-мерном комплексном пространстве 1г длл любого линейного оператора А Е Е(1г, 'г") сущесглерет сиспмма и влоггсейям.'В дррг в друга инвариайглниж иодиростраисглв Е м..., Хи всгк размерностей от 1 до и, т.е. пшкик, что (89.1) Ь, сСгс...сЬ = 1г, гдг ЙшЬь = к, й = 1, и. Доказательство.
Используем индукцию пои. Для и= 1утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема верна для всех линейных пространств размерности и- 1. Докажем ее для и-мерного пространства г', воспользовавшись следующей леммой. Л е м м а. Линейный оператор, дейстпвуюигий в и-мерном комплексном иростаранстве, обладает инвариантнмм иодиространством размерности и — 1. Доказательство леммы, Линейный оператор А, действующий в комплексном пространстве г', имеет собственное значение Л (теорема 86.6). Значит, йеь(А- ЛХ) = 0 и гй(А — ЛХ) ( и — 1.
Следовательно, йпл пп(А-ЛХ) < и — 1 н в пространстве У существует подпростран. ство Х размерности и — 1, которое содержит 'пп(А — ЛХ). Очевидно, 266 Глава ХУ. Структура лин, оператора в компл. пространстве Х инвариантно относительно оператора А — Л2. Покажем, что оно инвариантно и относительно А. Пусть х Е Х, тогда (А — ЛХ)х = у Е Х. Отсюда слепует, что Ах = Лх + и ь Х. Лемма доказана. Вернемся к доказательству теоремы. Согласно лемме оператор А, действующий в и-мерном комплексном пространстве У, имеет инвариантное надпространство Х„1 размерности п — 1.
Тогда ицлуцированный оператор А~Х,„1 действует в (н — 1)-мерном комплексном пространстве Х „1 и согласно индуктивному предположению для него существуег система вложенных инвариантных надпространств Х,,с...сХ,, 61 Х, =й,й=~~, —.т действия операторов А и А ~ Х„» совпадают, то надпространства Хм...,Х„1 инвариантны относительно оператора А. Остается добавить, что Х „» с Х „= У.
° Теорема 89.2. Длл любого линейного оператора А, действующего е комплексном пространстве, существует базис, о котором матрица линейного оператора имссгп треугольную форму. Доказательство. Согласно теореме 89.1 для оператора А найдется система инварнантных надпространств Хы..., Х„таких, что йшХ» = й н Х| с ... с Х -1 с Х„= У. Искомый базис ем..., е„ строим так: в качестве е1 берем любой базис Хм в качестве е», где й > 1, — вектор, дополняющий базис Х» ~ до базиса Х». В силу инвариантности надпространств Х», й = 1,и, матрица А, имеет верхнюю треугольную форму.
° 3 а м е ч а и и с 1. Перенумерацией построенного базиса, в обратном порядке можно получить нижнюю треугольную форму матрицы линейного оператора. Замечание 2. На главной диагонали матрицы Ае расположены собственные значения оператора А. Т е о р е м а 86.3. дуюбал кеадратнал камплекснал матрица подобна матрице, имеющей гпреугольную форму. Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 88А и ведется по скеме (88.6). а 8 90. Нильпотентный оператор Линейный оператор А е».(У,У) называется нильткпентннм, если существует число й е И такое, что Аг = О. Наименьшее число а, обладающее этим свойством, называется индексом нильпотгнтаости (высотой) оператора А- Очевидно, что индекс нильпотентности ненулевого оператора удовлетворяет неравенству о > 2.
Аналогично определяет'ся нильпочентнея матрица А е Хн и ее индекс. Примеры. 1. В пространстве вещественных многочленов М„оператор дифференцирования (76.3) является нильпотентным оператором индекса н+ 1. э 90. Нильпотентный оператор 2. Жорданова клетка 010...00 001...00 д,(О) = О О О ... О 1 Ооо...оо тной мат и й индекса к. является вллъшгген це Теорема 90.1. Если А б с,(У, У) — нильпотгнгпнмй оператор индекса д и хо ~ У вЂ” вектор, длл которого Аг ~хо ~ 9, то векторы хо~ Ахо1 1"'1 хо (90.1) линейно независимы. Доказательство. Рассмотрим равенство похе+ гг1Аха+... + +сгг 1Ае 1хо = 9. ПРнменнн последовательно опеРатоРы Аг г, Аг з, ..., А к обеим частям итого равенства, получим, что оо = о1 =.- ° = = ов ~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
