В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Зто доказывзвт линейную независимость системы векторов (90.1). ° Сл г до т в ив 1 Индекс нильпотентносгпи не превосходит разлеерн ости пространства. Т а о р е м а 90.2. В колеплексноле пространстве линейный оператор нильпотентгн пгогда и только тогда, когда все его собственные значенил равны нулю. Доказательство. Необходимость, Если Л вЂ” собственное значение нильпотентного оператора А б ь(У, У) индекса д и х — соответствующий собственный вектор, то, как нетрудно проверить, имеет место цепочка импликаций 4х Лх ~ Азх Лзх ~ -~ Аех — Лех Отсюда следует, что Лгх = 9.
Твк как х Ф 9, то Л = О. До с тато ч ность. Рассмотрим базис е комплексного пространства У, в котором оператор А имеет верхнюю треугольную матрицу Я89), главная диагональ которой состоит целиком из нулей Я89, замечание 2). Итак, О агг агз . агп О 0 азз ", азп Ае 0 О О ... а„ О 0 0 ...
О Как нетрудно проверить, при последовательном возведении этой рицы в степени д = 2,3,..., и нетривиальный треугольник, расположенный над главной диагональю, перемещается каждый рзз на одну диагональ выше, тзк что (А,)" = О. Значит, А" = О. в Замечание. Необходимость этого утверждения, как видно яз самого доказательства, имеет место н в вещественном пространстве, Прнмаи сумма опериторон.
Если У = 1ч 9 Ъг сг "Е Ьр— прямая сумма надпространств Ьм Ьг,..., Б, иивариантиых относительно линейного оператора А ~ Ю(У,У), то оператор А иазывмт- 208 Глава Х1т. Структура лин. оператора в компл, просиранстве ся нрлмой суммой индрт»ироеанных оператпорое А»Ь», .. А~Яр. Этот термин мотивирован тем обстоятельством, что для любого вектора х Е т' с разложением х = х» +... + хр, где хь б Х ь, й = 1, р, имеет место равенство Ах = Ах» +... + Ах„= (А~А»)х» +... + (А Ар) хр. Теорема 90.3.
Выроотсденный и не нильпотпентный линейнь»й оператпор А б .С(К '»т) аеллетсл прямой срммой ньльпотентного и обратпимого операторов, причем этпо разлооюение единственно. Доказательство. Для дохвзательстватеоремы необходимо показать, что существует единственная пара подпространств Ь», Х г, инвариантных относительно линейного оператора А и таких, что К = = Е» 9 Ьг, А~А» нильнотеитен, А~Юг обратим. Существование, Обозначим для х е Р1 Фь = )тегА", Ть = »п»Аь. 1. Покажем, что надпространства № строго ело»тесны друг е дррга до нехотпорого момента 2, начинол с котпорого есе № совпадают, т.е. (90.2) лт» с лтг с ... с лт = л» + а) Вложение № С №+» очевидно, так как если А~х = 6, то А"+'х= А(А") = А6 = 6.
б) Пусть № = Фьт», тогда №+» = №+д, твк как Лтг.~» с Лть+г, №+э С Лть+». Второе из этих вложений следует из того„что если х б №+г, то А"+эх = 6, те. А"+»(Ах) = 6. Значит, Ах б Мь+» = Л»ы откуда А"(Ах) = 6, т.е, Аь+»х = 6. Из "а" и "б" следует, что подпространство № либо строго вложено в №+», либо совпадает со всеми последующими д»ирами.
Так как в конечномерном пространстве размерности надпространств № не могут бесконечно возрастать, то наступит момент ц, начиная с которого все ядра № будут совпадать с ЛГ». 2. Зафиксируем этот момент ц и покажем, что $ =Л»ЮТ». Действительно, д»п»У = д»»прад + д»»пТ» в силу теоремы 80.4 о ранге н дефекте, при этом жд От = (6), так как если р б лт», р б тд, то А»Р = 6, Р = Адх, т.е.
Аддх = 6.. Значит, х б №д — — Жд и Адх = 6, откуда следует, что р = 6. 3. ПоДпРостРанства Лтд, Т, инеаРиантпны относительно А, ибо: а) если х ь Лтд, то х ~ Мд+» — — Жд, поэтому Ад+»х = 6, т.е. Ад(Ах) = 6, следовательно, Ах ь Фд; б) если Р Е Тд, то Р = А»х и АР = Ад+»х =Ад(Ах) = Адх», где х» = Ах, следовательно, Ар й Тд. 4, Оператор А~Лтд — ньльпотентный оператпор виден»а р„так квк: а) Адх = 6 длЯ любого вектоРа х б Жд; б) существует вектор хо Е Лт» такой, что Ад»хо ф 6, ибо Лд» дь Фд. 5. Оператор А~Т» обратим, так как его ядро состоит только из нулевого вектора.
Действнтелыю, если р б аег А~Т», то р Е Тд, Ар = 6, '3 91. Корневые подпрострглства те. Р = Агх и Аг+ах = 9. Отсюда следУет, что х Е )а1 ~а = 1тг, те. Агх = 9 и р = 9. Утверждения пп. 2 — 5 доказывают существование искомс го разложения: Е а = Фг, Ьг = Тг. Единственность.
Пусть существует другое разложение 3г = = Ф цт Т, обладающее всеми свойствами первого. 1. Ннльпотентность оператора А~ И означает, что Акх = 9, Ух ч У, пРи некотоРом В б )а). Следовательно, Ф С 1ть а- Фг и (90.3) йш Ж < йш тато, 2. Обратимость оператора А~Т означает, что ппА~Т = Т. Следоютельно, для любого вектора р е Т имеет место цредсгавление р = Аум гДе Уа б Т. ИспользУЯ такое же пРедсгавление длЯ вектоРа уа и всех последующих, получаем, что 9 = Ауа = Агрг = ...
= Агро. Таким образом, Т С Тг и йапТ < йтпТг. (90.4) Так как г)аш )а1 + йшТ = йш г" = йгв)'тг + йгпТг, то из (90.3), (90.4) следует., что )'и' = юг, Т = Тг. ° Сл е д с т е и г 2. Оцерашор А ма нодцрострамстее 1атг имеет только нулевые собсшеснные гмачемпл, а иа подцрастрамснаее Т мг имеет цулееъх собснаеемммх значений. Это вытекает из доказанной теоремы с учетом теоремы 90.2 и того, что обратимый оператор не вырождет). Следстцеие 3. Длл оператора А, дебстлеркццего е комплексном цростпранстее )г, с харакнаерцсшическпм ммегочлемам ДЛ) = = г)ес(А — ЛХ) = ( — Л) '(Л вЂ” Л) ' ..
(Л вЂ” Л) '. а1 гараюцернсншческце мкогочлгнм 1а(Л) и уг(Л) отмрашоров А~дтг п А~То ммеютц епд тга(Л) = ( Л) ЯЛ) (Лг Л) т ° .(Лр Л) ' (90 5) б) при зшом г)ппттг — — ша~ дппТг =шг+. ° .+т'ар- (906) Соотношение (90.5) вытекает нз (86.4), если учесть, что,~(0) ф О. Соотношение (90.6) следует из (90,5), так как размерность пространства совпадает со степенью характеристического многочлена.
9 91. Корневые подпространетва Теоремой ВО.З осунаостилннтсн одновременное ркоцгнленне цросгрэнстки )г = Мт Е тт, нкркктериогнчоского многочлена т'(Л) = 11 (Л) тг (Л) и самого ооеригорк га ни ингуциронаиные операторы А(гтт и А~та. Такое рнацоилеяие икораельно нк имлелеиио во всем нростргцстие )г максимального цоллрострннсткн Ю», нк 270 Глава ХУ. Структура лин. оператора и компл, пространстве котором оператор А имвач только нулевые собстнвнямв значения.
Зтпт жг прием может быть использован и для других ссбстваннмх значений. Корневые векторы. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А. Вектор х й )т называется корневым ескпюром оператора А, отаве- чающим сабситегнному гначению Л., если (А — ЛуХ)»х = Р при некотором и е Е, и > О. Высотной корневого вектора называется наименьшее й, обладающее указанным свойством. Очевидно, высота нулевого корневого вектора (я только нулевого) равна нулю. Отметим простейшие свойства корневых векторов, вытекающие из определения.
1. Коригвыг гектары еысошы 1 леллюптся собственными егкпюрами, так как удовлетворяют условиям (А — Л Х)х = 9, и ф Р. 2. Если х — ксрисеоб есютюр еысоитм к > О, то вектор (А — Л.Х)х яеллгнтея корневым вектором емсотпы й — 1, 3. Корнееыг вгкиторы различных емсотп линейно независимы. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 90,1. Отсюда следует, что если х — корневой егктиор еысотаы и > О, тао есквюрм , (А — ЛтХ)я,,(А — Л„Х)" '* линейно независимы; следовательно, высота корневого есюпора нг нрсегсходитн рагмгриоспти пропаранстпеа. Корневые векторы высоты й > 1 называются присоединенными еектаорами (й — 1)-го порядка.
Итак, если х — присоединенный вектор (тт -1)-го поРядка, то (А — Л;Х)»х = 9, (А — Л Х)" тх ~ 6 или, другими словами, (А — Л Х)» тх — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению Лу. Таким образом, корневой вектор — это либо нулевой вектор, либо собственный вектор, либо присоединенный вектор. Корневые надпространства. Множество всех корневых векторов оператора А, отвечающих собственному значению Лу, называется корневым иоднространснтеом онсратпора А, оптегчаюитим себстеен мому значению Л . Обозначение: К»т Итак, К», =(хе У!Лй бх, й> О: (А — ЛЗХ)»я= 9), (91.1) Опишем структуру корневого подпространства Кьт 1. Сдвиг отмратлора А.
Рассмотрвзт оператор 6 = А — ЛуХ или, как часто говорят, выполним сдвиг оператора А иа Л;Х, Л е м м а 1. Ссбсвтегнимг значения оператпорое А и Е связаны ссотаноитгиигм Лн=Лл-Лг. Это утверждение проверяется непосредственно. 3 91. Корневые надпространства Лемма 2. Если Х(Л) =(Л1 — Л) ', .(Л вЂ” Л),~...(Л, — Л) гхарактеристический многочлен оператора А„то Х(Л) = (Л, - Лг - Л)" ...(-Л)",...(Л, - Лу - Л)"р (91.3) — характеристический мнсгочлгн оператора 6.
Это утверждение вытекает из леммы 1. Лемма 3. Если подпространство Ь инвариантно относительно оператора В, та оно инвариантно относительно оператора А В самом деле, если х й Х, то Вх й Б, те. у = (А — Л1Х)х б Х. Следовательно, Ах = у+ Л х б Х. 2. Раглохсгниг оператора В в прямую сумму ниль»ютггппногв и обратимого операторов. Из (91.3) следует, что  — вырожденный (чик как имеет нулевое огбственное значение), но не нильпотентный (так как имеет ненулевое собственное значение). Следовательно, к оператору В применима теорема 90.3 о прямой сумме нилъпотенгного и обратимого операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
