В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Из (82.3) следует, что характеристический многочлен оператора совладает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе. Из следствия и второго равенства (86.3) вытекает, что след матрицы А, линейного оператора А не зависит от выбора базиса е.
Поэтому (как и в э82, п.у) можно ввести понятие следа оператора равенством ьг А = сг А,. Т е о р е м а 86.3. Характеристический многочлек индуцированного операгпора лвллетсл делителем характеристического многочлена порождающего оператора. Это утверждение следует из (84.2) и замечания 3 из э84. ° Теорема 86.4. Если У = Х1 ег ...
® Ьь — прлмал сумма надпространств Ьм..., Хь, инвариантных относительно оператора А е Е(г','г), то харакгперисгаический мнвгочген У(Л) операпюра А равен произведению характеристических многочленов Уг(л) ° ° ' Уь(Л) икдуцироеанкмх операторов А~Хи..., А~Ьь: (85,4) у(л) = у,(л)...
у,(л). з 66. Характеристический миогочлен Утверждение является следствием теоремы 84.2. ° Условие существования собственных векторов линейного оператора определяется его характеристическим многочленом. Т е о р е м а 86.6. Пустиь У вЂ” линейное простиранство над полем Р. Число Л и Р лвллетсл собственным значением операпюра А й Е(1; 1т) тогда и тиолько тогда, когда Л вЂ” корекь его хараюперистичесного многочлена. До к аз.а те л ь с та о. Согласно определению число Л является собственньтм значением оператора А тогда н только тогда, когда существует вектор х, удовлетворяющий условиям < А =Л, 1(А — ЛТ)х=6, хФ6, с=! ~ х~6, Лб Р, Л 6 Р.
Это равносильно вырожденностн оператора А — ЛТ при некотором Л б Р или, в силу (88.4), условию деб(А — ЛТ) = О (86.5) при некотором Л 6 Р. Таким образом„число Л является собственным значением оператора А тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена оперзтора А, принадлежащим позю Р. ° Уравнение (86.5) называется характеристическим иравнением для оператора А. Корни характеристического многочлена называются характаеристиичесними числами оператора.
Согласно теореме 86.5 собственными значениями оператора являются характеристические числа из основного поля, и только они. Собственные векторы лннейнот)о оператора в комплексном пространстве. Итак, вопрос о существовании собственных векторов сводится к вопросу о существовании корней характеристического многочлена, принадлежащих основному полю. Известно, что не во всяком поле многочлены имеют корни.
Однако, как показано в 849, в алгебраически замкнутом поле С комплексных чисел любой многочлен степени и > 1 имеет и корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Отсюда в соответствии с теоремой 86.5 вытекают следующие утверждения. Теорема 66.6. Произвольный линейниб оператор, дебстврюити6 в и-мерном комплексном пространстве, имеет: 1) и собственних значений, если казтсдое собстивенное значение считать стиолько раз, наново его кратность как корне характеристического многочзена; Я) хотл бм один собсптвенкмй векотор; 3) на любом своем инвариантином подпростпранстиве моея бм один собственнмб векптор. 260 Глава ХЪ'.
Структура лин. оператора и комля. пространстве 8 8T. Собственное подпространство Пусть Ло — собственное значение оператора А. Множество И'ло = ( з е ~' ~ Аз = Лак) (87.1) Последнее утверждение следует из того, что нндуцированный оператор, как и любой оператор, действующий в комплексном пространстве, имеет собственный вектор, который, очевидно, является собственным вектором основного оператора. 3 ам е ч а и и е 2.
Теорема 86.6 остается справедливой в вещественном пространстве для тех операторов, чьи характеристические миогочлены имеют только вещественные корни. Способ нахождения собственных векторов. Этот способ определен теоремой 86,5 и состоит в следующем. 1. Строится характеристический многочлен оператора А и находятся его корни.
Те корни, которые принадлежат палю Р, будут собственными значениями оператора. 2, Для каждого найденного собственного значения Ле находятся ненулевые векторы ядра оператора А — Ло2'. Онн и будут собственными векторами, отвечающими Ле. Если ем..., е„— базис пространства У, то поиск собственных векторов сводится к решению однородной системы уравнений (А, — ЛеХ)х, = О, фундаментальная система решенкй которой дает полный набор линейно независимых собственных векторов, отвечающих Ае, в координатах относительно базиса е. Замечаиое 3. Прием, описанный здесь, представляет собой лишь теоретическую основу решения проблемы собственных значений и собственных векторов.
Для реальных вычислений он нужцвется в специальных приемах, так как поиск корней многочлена в общем случае (исключая разве что многочлены второй степени) сопряжен с дополнительными трудностями. Уже для многочленов степени и > б задача нахождения корней неразрешима в радикалах (доказано Э.Галуа в ЗО-х гг, прошлого столетия), Этот результат оказал решающее влияние на развитие вычислительных методов решения проблемы собственных значений. Их изложение не входит в нашу задачу, однако отметим, что вычислительные «лгоритмы поиска собственных значений, как правило, не связаны с многочлеиами.
В ручных вычислениях иногда удаегся найти собственные значения, минуя прямое построение характеристического многочлена, если вычислять определитель матрицы А — ЛХ мешодом емоеленил лонейныт множителей. Этот метод основан на выполнении элементарных преобразований, формирующих в какой-либо строке (столбце) матрицы А — АХ общий мкожитель вида Л вЂ” о, который затем выносится за знак определителя.
Это дает корень Л = а характеристического многочлена. з 88. Операторы простой структуры называется собсптвенным подпространстпвам оператора А, отвечающим собственному значению Ло. Очевидно, что Итх, = кет(А — ЛеХ), поэтому собственное надпространство является линейным подпространством пространства У. Из (87.1) следует, что собственное надпространство Жх, соатоит из нулевого вектора 6 н всех собственных векторов, отвечающих Ло. Легко проверить, что собственное надпространство инвариантно относительно оператора А. Размерность собственного надпространства Ит1, нвзываемя геометрической кратностью собстпвенного значения Ле, а кратность Ле как корня характеристического многочлена — его алгебраической кратностпью. Теорема 87,1. Геометрическая кратпность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.
Доказательство. Пусть т и з — алгебраическаи и геометрическая кратности собственного значения Ле оператора А е х".(У, У). Собственное подпространспю 1Ух, инвариантно относительно оператора А, следовательно, можно рассматривать индуцированный опе. ратор А~И5„. Найдем его характеристический многочлен тт(Л). Пусть ет,...,е, — базис Итх,. Тогда согласно (87.1) матрицей оператора А~ Итх, в этом базисе будет диагональная матрица з-го порядка с элементами Ло на главной диагонали.
Следовательно, Гт(Л) = (Ло-Л)'. Согласно теореме 86.3, (Ле — Л)' является делителем характеристического многочлена 7(Л) оператора А, но (Ло — Л) входит в характеристический многочлен 7'(Л) ровно тп раз. Значит, з < т. и Теорема 87.2. Сумма собственных подпростпранстя оператора, отпвечающих различным собственным значениям, является прямой суммой. Доказательство. Пусть Лы...,Лг — попарноразлнчныесобственные значения оператора А. Тогда для собственных надпространств И'х„..., Итх, вьщолнено условие прямой суммы (теорема 66.1): любая система ненулевых нектаров, взятых по одному из каждого Итх„линейно независима как система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям (теорема 86.1). ° 888.' Операторы простой структуры ' Критерии простой структуры.
Линейный оператор А е Е(У,1") называется оператпором простой стпруктпури, если в пространстве У существует базис из собственных векторов оператора А. Теорема 88.1. Линейный оператпорА е Е(У,У) имеетпростую структпуру тпогда и только тогда, когда в пространстве У сущестеуетп базис, в котором он имеетп диагональную матрицу. Доказательство. ПустьйшУ= и. Согласноопределеннюоператор А имеет простую структуру тогда н только тогда, когда он имеет и линейно независимых собственных векторов еы, е„. Это 262 Глава ХУ.
Структура лин. оператора в компл. пространстве равносильно существованию базиса ен..., е, в котором матрица А, оператора А имеет вид л, 0 Лг где Лг,..., ˄— собственные значения, соответствующие собственным векторам ег,..., е„. ° Следствие. В и-мерном пространспюе линейный оператор, имеющий и раэличнмк собсгпвеннык значений, явллепгся аператпором простой структуры Обратное утвержденне не верно. тьнлнестненныя оператор выест простую структуру, одины все его собственные энвченнв равны Ь В соответствии с (88.1) оператор простой структуры называют также спгагоналигуемьсы оператором. Теорема 88.2. ЛинейнмйопграторА б Е(У,У) имеетщюстуго структуру тогда и оголено тогда, когда все его собственные надпространства в прямой сумме дают все пространство У: Игл, Э...
9 Игл, = У. Доказательство, Необходимость. Пусть А имеет простую структуру. Тогда в пространстве У существует бгзис ем...,е„, состоящий из собственных векторов оператора А. Рассмотрим поднространство Игл, +... + Игл,. Очевидно, оно содержится в У. С другой стороны, каждый вектор базиса ем..., ен цринадлежит одному из собственных подпРостРвнств, поэтомУ У С,) г г Ил,. Следовательно, еУл, +... + И'л, = У. Но эта сумма является прямой в силу теоремы 87.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
