В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Задачу резложения (72.2) вектора на ортогональную проекпию н ортогональную составляющую называют задачей о пгрпендикуляре. Этот термин заимствован из геометрии. С разложением (72.2) геометрического вектора мы уже встречались (рис. 1): чтобы получить это разложение, достаточно опустить перпендикуляр из конца вектора Х на плоскость Х . Имея в вццу эту аналогию, ортогональную составляющую Ь в разложении (72.2) называют перпендикулярогг, опугценнигг из вектора Х на надпространство Х, а сам вектор Х вЂ” наклонной к надпространству Х . Аналогия с геометрическими векторами состоит не только в названии. Отметим некоторые свойства составляющих д и Й в разложении (72.2), которые имеют место и в геометрии: так как Щг = (д + Ь, д+ +и) = (д,д) +(Ь,А), то ~Х~г ~ ~г+ ~~,р (72.3) у 73.
Ортогональное дополнение Рис. 1 )Ч5й, Последнее неравенство означает, что длина перпендикуляра не амеосходииа длины наклонной. Решение задачи о перпендикуляра. Из теоремы 72.2 следует, что задача о периендикуляре имеет, и притом единственное, решение. Укажем один из способов построения этого решения. Пусть Ь = ь(аг,...,аь). Разложение (72,2) равносильно задаче построения векторов д и )а таких, что у = у+)а, у= )","., х а, () — у,аа) =О, з=1,й, э ж дубьа ео ~-д ) Ь, со д=2 . х.а., Фо Ы.Ь (а = 7" — д (у, а;) = (у, а,), з = 1, (с, (2„.
а х ау, а,.) = Ц, аа), з = 1, Й, ж ж ь ' 'ь' Еэ д=~ . ха, сь у=~ Ха, Итак, задача о перпеидикуляре сводится к поиску чисел хм хь, для которых х.(а,а;) зз(Х,а;), з = 1,й. Сравнение этих соотношений с (71.2) говорит о том, что числа хг,... ...,хь являготся решением системы уравнений с матрицей Грима С(ам...,аь) и правой чистые (1,аг), з = 1,Й. Эта система всегда имеет решение, твк как она равносильна задаче о перпенднкуляре. Отметим возможные нрн этом аариавты.
ге. Если еа,..., аз — ортонормировеивый базис Х, то аа(оа,..., аз) = а' и сиса ема(гз4) имеетейннствениое рынение ха = (Ц е ), а = 1, й, нрнзтом д = Яа а ваоэ з й = — в. 2.. Е' с. Если аа,...,оз линейно неэазисимы, то аесат(аа,...,аз) и' О и системз (72.4) имеет единственное решение; решив систему (72.4), найдем у = 1 з зава, 6= у — й.
23б Глава ХХХХ. Евклидовы н унитарные пространства 3 . Если ап..., аа линейно зависимы, то асс С(аь..., аа) = О и система (72.4) имеет бесконечно много решений, которые ссстиетствуют бесконечному числу рав. левшина вектора д но линейно аавиоимсй системе векторов аь..., аю $ 73. Линейное аффннное многообразие в евклидовом (унитарном) пространстве Пусть Н = хс + Х вЂ” линейное аффинное многообразие в евклидовом (унитарном) пространстве.
Вектор а е Н, ортогонзльньгй Х, называется нормальным вектором линейного многообразия Н (рис. 1). Рнс. 1 Теорема 73.1. Для любого линейного многообразия в евклидовом (унитарном) пространстве существует, и притом единственный, нормальный вектор. Доказательство. Рассмотримлинейноемногообразне Н = хо+ +Х (рис. 1). Все векторы из Н, ортогонвльные Ь, находятся в Н71Х.с, но это пересечение состоит ровно из одного вектора а, так как Х,~-— дополнительное надпространство к Х (теоремы 72.2 и 67.4).
Этот вектор а и будет единственным нормальным вектором для Н. ° Те о р ем а 73.2. Нормальный вектпор линейного многообразия совпадает с перпендикуляром, опрщенньим из любого вектора линейного многообразия на направляющее надпространства Доказательство. Пусть а- нормальный вектор линейного многообразия Н = хо + Х, тогда Н = а+ Х (сз18). Следовательно, любой вектор Х е Н (рис. 1) может быть представлен в виде (73.1) Так как а 1 Х, то соотношение (73.1) совпадает с разложением вектора Х на ортогональную проекщпо д и перпендикуляр а.
в Слсдстпеив. Среди всех векторов линейного многообразии нормальный вектйор имеет наименьшцю длина Ъгравиение гиперплоскости. Пусть Н = хо + Х, — гиперплоскость в Е (Х7), те. АХ = и — 1, где и = йш Е (йш У). Тогда о~в одномерное надпространство и его базис состоит из одного вектора а. у 74. Расстояние в евклидовом (унитарном) пространстве 237 Вектор х е Н тогда к только тогда, когда разность х — хо е Ь, т.е. когда (х — хо,а) = О, (73.2) Таким образом, уравненн!о (73.2) удселетворя!от все векторы х гнперплоскости Н, и только они, Уравнение (73.2) может быть записано в равносильной форме: (х,а) = р, (73.3) где р = (хо, а) — фиксированное число для данной гиперплоскости.
уравнению (7З.З) можно придать координатную форму! если (х!,..., ка) н (Аь . ~ Аа) — координаты векторов к и а в некотором ортонормированном базисе пространства, то уравнение (7З.З) равносильно уравнению А!и!+ + Анке = и которое в геометрических пространствах совпадает с общим уравнением примоя на плоскости и плоскости в пространстве. 5 74. Расстояние в евклидовом (унитарном) пространстве Множество М называется мея!рочесинм пространен!еом, если задано отображение (74.1) Р()( 1') = и!(' „а(х,у); в частности, если Х = (х), то р(х,У) = шЕ р(х,у) веу — расстояние между элементом х и множеством )с. Примеры ыетрик.
1. Для действительных (или комплексных) чисел (т,е. М = К нли !(:) корон!о известное расстояние между числами р(х, у) = (х — у~ является метрикой. 2. Для арифметических векторов в Ж" (или С") отображение у а ч !/т р(х,у) = ~~~! ~х! — у!)з) !=! р: МхМ-у)й, которое кансдой упорядоченной паре элементов х, у е М ставит в со- ответствие число р(х, у) Е И такое, что: 1) р(х, у) > О, 7'х, у Е М, !о(х~ у) = О е=е х = у ' 2) р(х,у) = р(у,х), тх,уе М; 3) р(х, л) < р(х, у) + р(у, н), ох, у, л е М .
Число р(х, у) называется расея!оянием между х н у; отображение р — меп!риком, аксиомы 1-3 — аксиомами леси!роки (расея!ояко). Расстоянием между мяожесп!еамн Х и У в метрическом прост- ранстве называется число 238 Глава ХШ. Евклидовы и унитарные пространства как легко проверить, является метрикой. Эту метрику называют есптественной. В гл.
Х1Х будут рассмотрены и другие метрики в этих пространствах. 3, Для любого непустого множества отображение р(х,у) = ~ хну, является метрикой. Это один из примеров дискретной метрики. Мы вернемск к метрическим пространствам в гл. Х1Х и рассмотрим новые понятия и факты, относящиеся к ним. Т е о р е м а 74.1. В евклидоеом (униитарном) пространстпве У отображение р: У х У -э К, определенное равенством р(х,у) = ~х — у~„ задаста метрику, Доказательство. Действительно, правило (74.2) определяет отображение р: Ух У -т К, которое отвечает всем аксиомам метрики.
Проверка этих аксиом тривиальна, отметим лишь одну из ннх: р(х, л) = (х — л( = )(х — у) + (у — л) ! < )х — у) + ~у — л! = р(х, у) + р(у, л), 'ттх„у,л е У.и Итак, евклидова (унитарное) пространство является метрическим пространством относительно метрики (74.2). В дальнейшем, говоря об евклидовом (унитарном) пространстве как о метрическом, будем иметь в виду именно зту метрику, Теорема 74.2 (о кратчайшем расстоянии). Расстояние между вектором Х и линейным подпространством Х в евклидоеом (унитарном) пространстпае равно длине перпендикуляра, опутценного из вектора Х на Х . Доказательство. Пусть Х = д + Ь, где д Е Х, Ь Е Х ~, и у— произвольный вектор из Х,. Тогда р(Х у) = ~Х вЂ” у( = Ид+ Ь) - у~ = )Ь+ д(д-дт=т,д(тд.д)т-,дГдъ+~д=дт~.о д дд, р(Х,у) > )Ь~, 'гу Е Х и р((,у) = ~Ь(, если у = д.
Это означает, что !Ч = ЬтХ р(У,у) = р(ЛХ). ° Эта теорема может быть сформулирована и в других терминах, а именно. 1) расстпояние между вектором Х и подпространством Х равно расстоянию между векпюром Х и его ортогональной проекцией на Х; 2) среди всех вектлорое подпростпранства Х блиодсе всего к вектору Х расположена его ортпогональноя проекция на Х . Теорема 74,3, Пусть ХХ = хо+Х вЂ” линейное аФФиниоемногообразие в евклидовом (унитпарно и) простпрансптее. Тогда рУ,П) =рУ вЂ” *о,Ц г' 75. Изометрня Это утверждение следует из теоремы 74.2 я того, что для любого вектора г = хе + у б Н справедливы равенства р(Х,г) = ~/ — г~ = = ?(Х вЂ” хе) — у~ = Р(Х вЂ” хт у), где у Е Х. ° Теорема 74.4, Пусть Н» = х»+Х» иНг =хг+Хз — линейные аффиннме многообразия в евклидввем (унитарном) проси»ранствг.
Тогда р(Н», Нг) = р( — х„Х,, + Х г). Это утверждение следует нз того, что для любых векторов г» = = х»+ у» е Н» н гз =хг+ уз е Нг выполняются равенства р(гмгз) = = ?㻠— гг ? = ((х» — хг) — (у» — уг) ) = д(х» - хз, у), где у = у» — уг б (Х»+ + Хо). ° й 75. Изометрия Два евклидовых (или два унитарных) пространства Ъ~ и гг называются игометричнмми нли евклидово изоморфными, если суп~ствует биективное отображение»г: 1㻠— » Ъг, которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение, т.е.
если: 1) Ю(х+ у) = р(х) + д(у), »(х у б У'» ' 2) ~р(с»х) = о»е(х), ух Е»'», Чс» б Р; 3) (Ч( ?, Ю(у)) = (х у)»(х, у и 17» Само отображение г» при атом называется игометрией или евклидовнм игоморфигмвм Из определения следует, что изоморфиые евклидовы (унитарные) пространства нзоморфны как линейные пространства. Т е о р е и а 75.1. Деа евклидовых (унитарных) пространства игометричнн тогда и п»ольке тогда, когда ровни их раэмерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
