В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Итак, г' — линейное пространство яад полем Р, где Р— либо Ж, либо С. й 68. Скалярное произведение Пусть Ъ' — вещественное или комплексное линейное пространство. Отображение (,): УхК-тР называется скаллрмзьм произведением, если оно удовлетворяет сведующим аксиомам: для любых х, у,л б У и любого а е Р 1) (х,у)=(у.
); 2) (ах,у) = а(х,у); 2) (и + у х) зх (х* х) + (у ) ' 4) (х„х) > Одлялюбого хк К (х, х) = О тогда и только тогда, когда х = д. (68,1) Число (х, у) называется скаллрмылг проилеедениелз ескгпоров х и у, аксиомы 1 — 4 называются аксиолголги скалярного произведения.
Залгечампе 1. В вещественном случае черта в первой аксиоме может быть опущена. Замечание 2. Аксиома 4 в комплексном случае на первый взгляд кажется парадоксальной, так как для комплексных чисел знак не определен. Однако вз первой аксиомы следует, что скалярный квадрат (х, х) есть вещественное число. Вещественное линейное пространство со скалярным произведением назывветсл секлгагоеаьм простромстпаом, а комплексное — унитарным, Обозначение: Е и 0' соответственно. Примеры. 1. В геометрических пространствах К„, где и = 1, 2,3, было введено скалярное произведение (22.1) на основание метрики, имеющейся на прямой, на плоскости и в пространстве.
Оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (теорема 22,2) и, у 68. Скалярное произведение следовательно, является скалярным произведением и в принятом выше смысле. Аксиоматическое определение скалярного произведения говорит о том„что геометрическое правило (22.1) ие является единственным скалярным произведением в пространствах Ъ'„, п = 1, 2, 3.
2. В арифметическом пространстве Ж" скалярное произведение векторов х = (хм..., х„), у = (уы...,уь) может быть введено следующим обрезоьс (х,у) = ~~~ х;у,, ( а в арифметическом пространстве С"— (х,у) =х~у = утх в К", (х,у) =х у= у х в С". 3. В функциональном пространстве С(О, 1] скалярное произведение функций у(х) и д(х) может быть задано так: 1 (Лу) = Х( )у( Мх. о (68.4) Справедливость аксиом (68.1) вытекает из свойств определенного интеграла (11). Итак, операции (68.2)-(68.4) определены корректно и превращают пространства У„, Ж", С(О, 1~ в евклидовы пространства, а пространство С" — в унитарное.
Из определения скалярного произведения вытекают следующие аросгаейиисе свойствен этой операции. 1'. (х,у+ э) =(х,у)+ (х,з), Чх,у,з б Е (а'). 2'. (х, ау) = а(х, у), Чх, у Е Е (У), Уа б К (соответственно С). 3'. (6,х) = (х, д) = О, У~ б Е Щ. 4 . (х, у) = О для любого вектора у б В Щ тогда и только тогда, когда х = д. Для скалярных произведений (68,2) и (68.3) аксиомы (68.1) легко проверяются непосредственно.
Скалярные произведения (68,2) и (68.3) называются есвэеалеениамп скаллрнььми'произведениями в арифметических пространствах Ж" и С" соответственно. Для естественных скалярных произведений может быль использована компактная форма записи: еслп арифметические векторы х и у записать как столбцы, т.е. х = (хы...,х„), у = (уы ., у„), то Глава ХШ. Евклидовы н унитарные пространства 5'. Любое надпространство Ь евклидова (унитарного) пространства является евклидовым (соответственно унитарным) пространством. Отметим, что скалярное произведение (х, у) векторов к, у линейно по первому аргументу, а в евклидовом пространстве — линейно по обоим аргументам (свойства 1' и 2 ). Теорема 68.1.
Для любви гехт»оров х, у Е Е (1У) пмеет место н авенстео ер !(х,у)!'<(х ')Ь у) (68.5) или, в другой форме, (х,х) (х,у) !> Ь*х) Ь у) 1 До казател ьство. Будем считать, что х ф д (для х = Р неравенство (68.5), очевидно, обращается в равенство). Для любых векторов х, у е Е (У) н любого числа а е !8 (С), согласно (68Л) и свойствам 1'-4', имеем 0 < (ах — у,ах — у) = (ах,ах) — (ах,у) — (у,ах) + (у,у) = = !а!г(х,х) — а(х,у) — а(у,х)+(у,у). (68.6) Так как х гг 6, то (х,х) ~ О. Возьмем а = (у,х)((х,х) . Тогда м О < $Ь.*)!'(,) Ь хПх у) (*.у)Ь.х) " — (...) '* (,.) (,х) откуда после очевидных преобразований получим (68.5). и Неравенство (68.5) незывмтся нера»енот»вам Коши — Буняковского. Замечанпе 3. В евклидовом пространстве неравенство КошиБуяяковского может быть записано в виде (х, у) < (х, х)(у, у)- Т ео рема 68.2.
Неравенсвгео Коши-Буняковского обратдается в равенство тогда и таолько тогда, когда векторы и н у коллапс»1гны. Доказательство этой теоремы фактически содержится в доказательстве теоремы 68,1. Действительно, если х = В „то х = Оу. Если же х тг В, то неравенство (68,6) обращается в равенство тогда и только тогда, когда О = (ах — у, ах — у), те. когда у = ах.
и 8 69. Основные метрические понятии Б евклидовом и унитарном пространствах длиной вектора х называется арифметическое значение квадратного корня из его скалярного квадрата. Обозначение: !х!. Итак, !х! = ~/(х,х), Из аксиом скалярного произведения вытекают следующие факты. 1~.
Любой вектор х евклидова (н унитарного) пространстве, имеет длину, при этом !х! > О, тх 6 Е (У) и !х! = бег к =6. г 69. Основвыв метрические понятия 2 . !сгх! = !а!!х!, 'тх 6 Е (У), 'Фсг 6 В (соответственно С). В новой терминологии неравенство Коши-Буняковсхого может быть записано следуюшим образом: (69. ) !(х* у)! < !х! )у!. (69.2) !!х! — !у!! < ! ' + у! < Фх! + !у!. доказательство. Имеем !х+ у)г = (х+ у,х+ у) = (х,х) + + (х, у) + (у, х) + (у, у) . Применив к этой сумме числовые неравенства треугольника (которые справедливы как для вещественных, так и для комплексных чисел), с учетом неравенства (69,1) получим, что !х+ у!г < !х!г + 2!х! ° !у! + !у!г = (!х! + !у!)г „ !х + у!г > !х!г — 2!х! .
!у! + !у!г = (!х! — !у!)г . Отсюда следует (69.2). ° Неравенства (69.2) называются неравенствами треугольника в гвклидовом (' унитарном) простаранстаг. Очевидно, эти неравенства переносят иээеетное из элеменэирной геометрии свойство сторон треугольника на произвольное евклидова (и унитарное) пространство. Точно так же легко проверяемое равенство ! + у!'+ !х — у!' ел 2(!х!~ + !у!') (69.3) называемое толсдгством наралгллограмма, справедливо в евклидовом (и унитарном) пространстве. В евклидовом пространстве углом между ненулевыми веитлорами х и у нэзываетси угол у, О < у < я, для которого (х у) соэ~г = !х! !у! ' (69.4) Корректность этого определения следует из неравенства Коши— Буняковского (69. 1) . Н унитвриом нроетрвногве иоиитие угла между векторами не олределено.
Однвко и в евилидовом, и в унитврном нрострвнспм можно ввести обобщение оонятия прямого угла. Вектор единичной длины называется нормированнь.ч'. Любой ненулевой вектор можно нормировать, разделив этот вектор на его длину. По аналогии с элементарной геометрией упорядоченная тройка векторов х, у, и+ у рассматривается как треугольник, о котором говорят, что ои построен на векторах х и у. Точно так же считается, что паралеллограмм, построенный на векторах х и у, имеет диагонали х+уих — у. Теорема 69,1. В евклидовом (унитарном) пространстве длл любых векторов и, у имеют, месгпо неравенства 228 Хлева ХШ, Евклидовы и унитарные пространства $ ТО. Ортогональные векторы Ортонормнрованный базис. Два вектора х, у й Е (ХХ) называются ортогональнмми, если (х, у) = О.
Из свойства 4' скалярного произведения 668) следует, что нулевой вектор й, и только нулевой, ортогонален любому вектору пространства. В евквидовон пространстве вследствие равенства (69.4) ортогональность векторов и и р означает, что либо одна ив нил нулевой, либо угол между ними равен т/2. Пусть ь — линейное надпространство евклидова (унитарного) пространства Е(ХХ).
Вектор х называется ортогональным псдпрсстран- стоу Х,еслионортогонален любомувекторууй Х. Обозначение: х.!. Х,. Очевидно, что х 1,ь(ам..., аг) тогда и только тогда, когда х 1. аг, в=1,й. Два надпространства Х1 и Х т называются ортогональными, если (х у) = О, тх й Хм у й Хт. Обоз на че ни е: Х1.1. Х г.
Сумма надпространств ~„,. г Х; называется ортогона,еьной сума мой, если ее слагаемъ1е подпространства попарно ортогональны. Система векторов хм...,хл й Е (ХХ) называется ортогональной системой, если (хихд) =0 при ггпу. (70.1) Система векторов хы ..,, ха к Е (с') называется ортонормированной системой, если (х;, х.) = де, где дг — символ Кронекера„т.е. / 1, О, бфу. (70.2) Теорема 70.1.
Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Доказательство. Пусть хы...,ха й Е (ХХ) — ортогональная система ненулевых векторов. Умножая обе части равенства (70.3) а1хт+, +гггхг+...+сглхг=й р х,, у в у (70.1) ог(х„х,) =О, 4=1,)г. По условию х; ф И „значит, (х;, х,) ф О, и в силу (70,4) все коэффициенты линейной комбинации в (70,3) равны нулю.
Следовательно, векторы рассматриваемой системы линейно независимы. ° Следствие 1. Ортснормированная систпема векторов линейно независима. Сл с дств и г 2. В и-мерном евклидовом Хунитарном) пространстве любая ортонормированная система из и вектлоров образугта базис. 5 70. Ортогональные векторы Базис, векторы которого образуют ортонормнрованную систему, называется ортонормироеанннм базисом. Е соответствии с (70.2) ем...,еь — ортонормированный базис Я (У), если ( 1, а=г, (е„е ) = ~ Т е о р е м а 70.л. В евклидовом (унитарном) пространстве координаты хм...,х„вектора х в базисе е = (ем...,е„) вычисляются по 3цювиФу х; =(х,е;), 1=1,п, (70.6) и (х,у) =,) к*у* (70.7) тогда и толью тогда, когда е — ортонормированнмй базис.
Доказательство. Необходимость. Если скалярное произведение вычисляется согласно (70.7) для любой пары векторов, то зто же верно и для пары базисных векторов е; и е,, координаты которых известны. Применив ыравнло (70.7) к вычислению скалярного произведения векторов е, и е., получим требуемые равенства (70.6). До с тат о ч ыо с т ь. Если е — ортонормироваыыый базис и * = Е" 1х1е1 и = ~,, 1 у;е;, то в силу свойства линейности скалярного произведения имеем ч и е и Ф (х,у) = (~ х;е,, Я у.е,) = ~, ~, хгуу(е;,ед) = ~,х;у;. ° а=1 1=1 4=11=1 в=1 3 а м е ч а н и е.
В евклицовом пространстве черта в равенстве (70.7) может быть опущена: (х, у) = ~,". 1хщ. Скалярное произведение (70.7) может быть записано в компактной форме через координатные столбцы х, н у, векторов х и у в базисе е следующим образокс тогда и толью тогда, когда е - ортонормированнмй базис. Доказательство. Необходимость.
Пусть для любого вектора х е Е (У) коордиыаты в базисе е вычисляются согласно (70.6), Тогда по атому же правилу вычисляются координаты и базисных векторов, которые известны, так как е,=Ое1+...+Ос; г+1е,+Оег+~+...+Ос„, 1=1,п. Сравнение координат вектора е; с правилом (70.6) приждит к требуемым равенствам (7ОЛ). Достаточность. Если е — ортонормированыый базис и х = ~ . хде, то свойство линейности скалярного произведения с учетом (70,5) приводит к (70.6).
н Теорема 70,3. В ееклидоеом (унитарном) пространстве скалярное произведение еекторое х = ~', 1х~е;, у = Я," 1у;е;, заданньх своими координапюми в базисе е, вычисляется ко правилу 230 Глава ХШ. Евклидовы и унитарные пространства (Х~ д) — Х де 9 Хе ДЛЯ ЕВКЛИДОВа ПРттСТРаиетиа~ (Х|У) — Хе де — де Хе ДЛВ уинтаРНОГО ПРОСХРВНСтаа До снв пор все безисы линейного пространства были равноправны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
