В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Очевидно, что новая система координат получена поворотом осей с последующим отражением одной из осей относительно другой. Итак, дальнейшее преобразование общего уравнения (58.1) сводится к преобразованию уравнении (58.13), Если в этом уравяении а(з — — О, то уравнение (58.13) относится к уравнению тяпа П1. Если же аг~з ЭЕ О, то 2аз~зве+ азз = 2азз (не + аззз/(2а~з)) и пеРеносом начала ям яа 1 ог У(2а~ ) рм рв уравнение (58.13) приводится к уравнению оззр + 2аззя = Ог аззазз Ф О~ которое относится к типу П.
Отметим, что все промежуточные и окончательная системы координат оставались прямоугольными, так как преобразования базиса с помощью ортогональной матрицы перехода сохраняют свойство ортонормированности Я24). Итак, переходом к новой прямоугольной системе координат общее уравнение (58.1) приводится к одному из трех увязанных типов уравнений. Перейдем к вопросу о единственности.
Для этого найдем инварианты 1з, Кз для каждого из уравнений (58.11). Имеем для уравнения типа 1: Г1з О О~ 4= О А В= ~ 0 лз 0 1 ~ (58-15) О 0 аа ,лля уравнения типа П: А= О , В= О Л О (58,16) 200 Глава ХХ. Алгебраические линии второго порядка на плоскости для уравнения типа Ш: Следовательно, 1) Хз ф О для уравнения типа 1; 2) Хз = О, Кз Ф 0 для уравнения типа П; 3) Хз = О, Кз = О для уравнения типе Ш. Зтн условия взаимно исключают друг друга, н так как общее уравнение и уравнения (58.11) имеют одинаковые инварианты Хз, Кз, то общее уравнение (58.1) приводится только к одному из трех указанных тююв уравнений.
° Уравнения (58.11) называются и иееденними внениями линии второго порядка. 3 ам е ч а ни е. Особо отметим, что в прямоугольнь х координатах коэффициенты Лз и Лз приведенных уравнений являются инвариантами линии, так как Л1+ Лз = Хм ЛзЛз — — Хз (58,18) и, следовательно, Л1 и Лз являются корнями характеристического многочлена матрицы А: (58.19) 8 59. Классификации линий второт о порядка на плоскости Канонические уравнении. Теорема 59,1.
Общее уравнение (58.1) линии второго порядка, заданное в прямоугольной декартовой системе координат, определяет одну и только одну из девяти линий, для колодой из которых суизествует Нрямоугаяьная система КООРдинат, в которой уравнение этой линии имеет сгедуюигий вид: у' 1) — + — = 1 (а > Ь> О) — эллипс; аз 559. Классификация линий второго порядка на плоскости 2О1 хз у2 З) — + — =О аг Ьэ — пара мнимых пересекаэлдихсл прллакх; х' у' 4) — — — = 1 аз Ьэ — гипербола; г 5) .— — — =О 'аг Ьз — нара всрссгюиочцухся аралиях; б) уг =2рх (р> О) 7) уз = аг (а ~ О) 8) уг = -аз (а:Ф О) 9) у'=Π— парабола; — пара параллельных прямых; — пара мньсэмх параллельных прлмнхг — пара ссепадающпх прямых.
Доказательство. Пусть общее уравнение (58.1) перекопом к новой прямоугольной декартовой системе координат преобраэоиалось в приведенное уравнение. Рассмотрим все возможные при этом варианты. Если Хэ ф О, то уравнение (58.1) преобразуется в приведенное уравнение типа 1: Л1 ха + Лзуз + ао = О, (59.1) где Л1Лз ~ О. Для этого уравнения согласно (58.15) Т1 = Л1 +Аз 1г = ЛзЛз. Кз = Л1Лгао. (59,2) В зависимости от знаков Лы Лг, ао уравнение (59.1) может быль запнсаяо по-разному.
1. Если Л1Лз > О, Л1ао < О, те. (59.8) Хг > О, 1~Ко < О, то простейшие преобразования приводят уравнеяие (59,1) к разноса у ал у сильному уравнению — + — = 1 или — + — = 1, где аг = ао1Л1 -ае/Лз сз Ьз ао ао — — Ьз = — —. В этом уравнении можно считать что а > Ь > О так кэк в противном случае достаточно переименовать переменные, как это было сделано в (58.14). Мы получили уравнение 1, известное нам как каноническое уравнение эл апаса 2. Если Л1Лз > О, Л1ао > О, те.
1,>О, 1,Кз>О, (59.4) то, поступая аналогично, приходим к уравнению 2. Ясно, что нет нн одной точки плоскости, удовлетворяющей этому уравнению. Привито говорить о нем как об уравнении мнимого эллппсо. 202 Глава ХХ, Алгебрвлчскио линии второго порядка на плоскости 3. Если Л1ло > О, ао = О, тле 1о > О, Кэ = О, (59- ) то уравнение (59.1) эквивалентно уравнению 3, где аг = ~Л~~ ь' = (л,)-'.
Ясна, что только начало, координат удовлетворяет этому уравнению. Принято говорить о нем как об уравнении вары минных пересекающихся прямых (или вырожденного эллипса). 4. Если Л1лг < О, ао ф О, т.е. 1 <О, К,~О, то уравнение (59.1) эквивалентно уравнению 4. Это известное каноническое уравнение гиперболы. 5. Если Л1лг < О, ао = О, те, 1з <О, Кз —— О, то уравнение (59.1) эквивалентно уравнению 5. Оно определяет пару Ь пересекающохсл прямых у = х — х.
а Рассмотренные линям образуют первую группу линий второго порядка на плоскости. Ими исчерпываются все линии, которые определяются приведенными уравнениями типа 1, т.е. случаем, когда 1г ф О. 6. Если Хо = О, Кг ф О, то уравнение (59.1) преобразуется в приведенное уравнение типа П: Лгуо + 2Ьох = О, где ЛоЬо ~ О. Для этого уравнения' согласно (58.16) 11 =Лг, 1г=о, Кз= — ЛоЬофо. (59.9) Уравнение (59.3) эквивалентно уравнению у =2рх, где р = — Ьо/Лг. В этом уравкении можно считать, что р > О, так как в противном случае достаточно выполнить отражение оси Ох относительно оси Оу: х' = — х, у' = у, что соответствует переходу к (-1 о1 новому базису с матрицей перехода ог = ~ ~, которая в силу ортогональности приводит к ортонормированному базису и не меняет инвариантов.
Итак, мы получили уравнение 6, известное как каноническое уравнение параболы. Если 1г = О, Кз = О, то уравнение (59.1) преобразуется в приведенное уравнение типа 1П: Лу +с =О, (59.10) $59. Классификация линий второго яорядкв на плоскости 203 где Х«з ф О. Для этого уравнения согласно (58.17) Х« =Аз, Х, =О, К, =О, К,=Лз, Линии этой группы определявзтся полуинвариантом Кз, Квк следует иэ теоремы 58.2, преобразования бвэнса с помощью ортогональной матрицы перехода не изменяют Кз.
Лемма. Если Хз = Кз = О, пзо яолуииеариаинз Кз ие иаменлся«сл при параллельном переносе. Д о к аз а те л ь с т в о л ем м ы. Не изменяя числа Кз, преобразуем общее уравнение (58.1) в уравнение (58.12), в котором а', = О. Для этого уравнения А« ~11 Так как Хз — — О, то ама~з — — О. Поэтому одно иэ чисел аз«или а," равно нулю.
Не изменяя инвариантов, можно считать (см. обсуждение (58.14)), что ам — — О. Тогда Но Кз = О, поэтому а'з = О и уравнение (58.12) имеет вид иззу + 2аззу + азз = О, Я (59.12) ~0 О О В = ~ 0 азз азз, Кз — Кзя = аззазз — <~4з. (59.13) 0 азз азз 1 При параллельном переносе я' = ив + а, р' = р" + ф,уравнение (59.12) преобразуется в уравнение ажр' +2Ра'э+вяз)рв+2«9а' .ьазз=О для которого 0 О О В" = 0 аЬ Разз+ 'з О «заЬ + азз азз + азз«Х + 2азз«3 Кз = аЫазз+ а~Ф~+ 2ааззд) Разз + пизе) = а«ззазз а4' Из (59.13) следует, что Кз = Кз. Лемма доказана. Прсдолзким доказательство теоремы и вернемся к уравнению (59.10), Отметим, что согласно лемме полуинварианты Кз в уравнениях (58.1) и (59.10) совпадают.
204 Раааа ХХХ. Алгебраические линии второго порядка ва плоскости т. Если Лясе < О, т.е. (59.14) то уравнение (59.10) эквивалентно уравнению 7 (где аг = -се/Лг > 0), которое определяет пару параллельных прямых: у = а н у = -а. 8. Если Лясе > О, т.е. то уравнение (59.10) эквивалентно уравнению 8 (где аг = се/Лэ > О). Ясно, что ни одна точка плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Принято говорить о нем как об уравнении пары мнимых параллглъяьтх прлггмж 9.
Если со = О, т.е. Лг — ХтЛ+ Хг — — О, При этом если Лт < Лг, то в силу (59.2), (59.9), (59.11) бэ уев Хт ' Х~ ' Кз Хг Результаты проведенных исследований сведеяы в следующую таблицу. то уравнение (59.10) эквивалентно уравнению 9, которое определяет пару совпадающих прямые у = О и у = О. Условия (59.3) — (59.7), (59.9), (59;11), (59.14)-(59.16) нсчерпываот все варианты линий второго порядка на плоскости и эзаигтно исключают друг друга. Следовательно, общее уравнение (58.1) апре. делает одну я только одну нз девяти перечисленных линий. ° Для каждой яз этих линий найдена прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение линии имеет вид 1 — 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
