В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Поиском такой системы координат мы и займемся. Компактная запись общего уравнения. Положим ап ап, Ь а1з, Х х Матрица А называется матрицвй квадратичной части. В этих обозначениях уравнение (58.1) может быть записано в компактной форме: ХтАХ+ 2ЬгХ+ азз = О А Аг А ~ О (58 2) В этом нетрудно убедиться, выполнив все умножения в левой части (58,2). Введем новую матрицу ~ а1з азз азз ~ Легко проверить, что; а) если и = 2, то у(Л) = ( — Л)з + а| (-Л) + аэ, где (58.4) а1 = згА, ае = !А!' б) если п = 3, то у(Л) = ( — Л)з + аз( — Л)г + аг( — Л) + ае, где ап агз + ап агз азз агз ~ ц~ (58.5) Главным минором матрицы называется минор, расположенный в строках и столбцах с одинаковыми номерами.
Нетрудно заметить (см. Числа 1г = згА, Ез — — 1А!, Кз = ~В~ называются инвариаитами линии второго порядка, число Кз = ап а1з ~ ~ аю азз ~+~ азз азз ~ ~ азз азз луиквариантом, Далее нам потребуется несколько дополнительных понятий, относящихся к матрицам, Характеристический многочлен. Характеристическим многачленом матрицы А = (а; ) й н""" называется функция ДЛ), определенная равенством У(Л) = ~А — Л1!.
(58.3) з 58. Общее уравнение ливии второго порядка 195 (58А), (58.5)), что коэффициенты характеристического многочлена связаны с главными минорами матрицы: если и = 2, то ૠ— сумма главных миноров первого порядка, ао — единственный главный минор второго порядка; еспи и = 3, то аж аы ао — суммы главных мщюров первого, второго, третьего порядков соответственно.
Матрицы А, В е )й""" называются подобными, если существует невырожденная матрица «;Х такая, что (58.5) Т е о р е м а 58.1, Характеристпические многочлены подобных моторин совпадаюп«. Доказательство. Действительно, если А = «) «Вф то ~А — ЛХ~ = Д «ВЯ вЂ” ЛХ! = Я «ВЯ вЂ” Я «ЛЩ = Я «( — ЛХ)Щ = = ~ — ЛХ). Таким образом, при любом значении Л характеристические многочлены матриц А и В принимают одинаковые значения и, следовательно, совпадюот. ° Следс та в и е. У подобных матприц втпорого порядка совпадаютп следы и определители. У подобных матприц тпретпьего порядка совпадают следы, суммы главных .миноров втпорого тюрядха и определи- Преобразования общего уравнения. Пусть исходная аффннная система координат Оху соответствует началу О и базису е = = (е«, ез), Переход к новой системе координат О'х'у' означает Я24) перенос начала в точку О'(а,«3) и преобрвзоваиие базиса еЯ = е' с матрицей перехода «д.
При этом старые координаты Х = (х, у)з связаны с новымн Х' = (х', у') формулами преобразования координат: Ц Х = а+ Х', где а = (о, «з)т, в случае переноса начала; 2) Х = «гХ' в случае преобразования базиса. Исследуем особенности преобразования уравнения линии в каждом нз этих случаев. Пусть линия Е в системе координат Оху задана своим общим уравнением (58,2). Теорема 58.2. При переходе к новому базису е' = еЯ общее уравнение (58.2) преобравуе тся в уравнение (58.7) Х А'Х'+ 25сгХ'+ азз = б, где А = Я АЮ, 6' = Я Ь; при зтпомт 1) знаки инвариантное 1ю Кз не изменяюп«св; Я) в случае, хогда е и е' — ортпонормированные базисы, инвариантпы 1«, 1з„Кз и полуинварианта Кз не ивменяюп«ся. Док азат ел ьств о.
Подставим в уравнение (58 2) вместо старых координат Х их выражения через новые координаты Х*: Х = ЯХ', Тогда в новой системе координат Ох'у' линия Е определяется уравнением ХтгдтАбХХт + 25тахт + азз = О 196 Глава Х1. Алгебраические ливии второго порядка ла плоскости нлн Х»т(ЯтАЯ) Х + 2((-~тЬ)тХ' + аэз = О. Это означает, что в новом уравнении квадратичная часть определяется матрицей 1~т ~д (58.8) а линейная часть — столбцом Ь' = Ятб. Таким образом, общее уравнение (58.2) линии ь", преобразуется в (58.7). Докажем утверл»ление п.1. Из (58.8) следует, что ~А'~ = ЯтАф = ~А(. ° )ф~, те. Хэ = Хэ(ф~, где (ф ф О.
Следовательно, зйп1э = эйпХз. Далее, если 4= то4т= и (4~=ф"~=)щ. Матрица В'„соответствующая уравнению (58.г), имеет внд е е в' Следовательно, (В'( = )В~ (фз = ~В~ )фз и Кэ = КзЩ~з. Таким образом, эйп Кэ = эйп Кз- Докажем п.2, Если оба базиса е и е' ортонормированы, то матрица перехода Я будет ортогональной матрнцей (з24) иЯт = Ч». При этом матрица ф также будет ортогональной, нбо ф ф = фф = Х, н, следовательно, 4т = 4 ~, Такимобрэзом, А'=9 'А(;) иВ' = Я 'ВЯ, т.е. пары матриц А' и А, В' и В п»щобны. Отсюда я из теоремы 58.1 (и ее следствия) вытекает, что числа 1, = »гА, Хэ = ~А~, Кз = )В), Кэ —— ໠— Хз (где ໠— сумма главных миноров второго порядка матрицы В) при переходе к новому базису не изменяются.
° Замечание. Отметим, что при переходе к новому базисусвободный член не изменяется. Теорема 58,8, При переносе начала координат е точку О'(»г, ~3) общее уравнение (58.2) преоброэуетса в уравнение ХгтАХ» + 2Ь~гХ> + с где Ь' = Ь+ Аа, аэз — — агАа + 26та + азз, а = (о,ф)г, при этом инварианты Хм Хз, Кз не изменл»оп»сл. Доказательство. Подставим в уравнение (58 2) Х = Х' + а.
Тогда (Х'т + ат)А(Х' + а) + 2Ьт(Х' + а) + азз = О, или ХтАХ'+ ХтАа + а АХ' + а~ Аа + 2Ь Х' + 2Ьта+ азз = О. (58 10) Заметим, что произведение Х'тАа есть вещесгвенное число и его можно заменять результатом транспонирования, тэк что Х'тАа = (Ао)тХ Тэк кэ» А У Ф Ф Ф Ф Ф з 58. Общее уравнение линии второго порядка 197 = а» А» Х' = (Аа)» Х'. С учетом этих соотношений уравиеиие (58.10) может быть записаио в виде Х'гАХ'+ 2(Аа+ Ь)тХ'+ атАа+ 2Ь" а+ агг = О. Это означает, что в иовом уравнении квадратичвая часть ос»ются прежней, линейная часть оп»оеделяется столбцом Ьь = Аа+ Ь, свободный член а~за равея а» Аа+2Ь а+вез.
Таким образом, уравнение (58.2) линия Е преобразуется в (58.9). Что касается иивариаитов, то неизменность 1» и 1» очевидна, так как матрица квадратичной части А осталась прежией. Докажем, что Кз не изменяется. Имеем где а~ = амо + 2ажа6+ аг»В»+ 2ажо+ 2атзВ+ агз = = азз + оа»3 + Ра»3 + ю(а»з + аа11 + Ва»г) + Р(а»3 + оа12 + Лагг) 1. Л1хг+Л»у»+аз-— О, где Л»Л»фО; П.
Лгу +2Ьзх= О, где Л»Ье ФО; П1. Л»уз+се = О, где Л» ФО. (.) Доказательство. Пусть Оху — прямоугольпэя декартова система коордииат и линия Е задана в этой системе координат общим уравнением (58.1). Шаг 1 (преобразование базиса). Маггов врипге~ний. Покажем, что если агг ф О, то поворотом осей можно привести квадратичную часть уравнения (58.1) к сумме квадратов. Действительно, поворот осей иа угол»з приводит к новому базису е' = еЯ с матрицей перехода Я24) Последнее соотношение означает, что матрица В' получена из матрицы В с помощью элементарных преобразовавий: если к третьей строке матрицы В прибавить линейную комбинацию первых строк с коэффициеитами о, В, а затем к третьему сголбцу прибавить такую же линейную комбинацию первых столбцов, то получится матрица В'.
Следовательно, Кз — — 1В'~ = (В~ = Кз. ° Т воре ма 58.4. Общее уравнение линии второго порядка, заданное в прямоугольной декартовой системе координат, переходом к другой прямоугольной декартповой систпеме координат приводится к одному и только одному из следующих типов уравнений: 198 Глава Х1. Алгебраические линии второго порядка на плоскости 1,"! = ., Очевидно, Я 1~ = Щ = 1, т.е.
Я вЂ” ортогональ.- (31п !р соз !л) ' иая матрица. Согласно теореме 58.2 при яерех<ще к системе координат (О; е!1, ег) матрица квадратичной части А преобразуется в матрицу сову! зш !!2 аы а12 соз у! — зш!р о12 = — о11соз!!23ш!л — амзш 32+ о12 сов !о+огг созе!81п!р = 2 1 = агг сов Ър — -(ам — огг) вш 232. 2 Если с182!р = (ом — агг)/(2а12), то о12 — — О. Следовательно, при повороте осей на такой угол у! квадратичная часть уравнения преобразуется в сумму квцлратов и уравнение (58.1) в новой системе координат Ох'у' будет иметь вид а 1х 2+ аггу 2+ 2агзх'+ 2агзу'+ азз = О. (58 12) При этом в силу теоремы 58.2 инварианты 11, 12, Кз и полуинвариант Кг останутся прежними.
Метод, использованный здесь, называется мешодом еращеноб. Шаз Я (перенос начала). Дальнейшее упрошеиие уравнения (53.12) основано на том, что если в ием содержится ненулевой квадрат какой- либо переменной, то переносом начала можно освободиться от этой переменной в первой степени. Действительно, если аз, ~ О, то 2а' а„х +2агзх = а,1 ~х + —,х'! = !2 ! ! ! !2 13 а11 ) 2 ! 2 ! ! г ! ( ! о13~) о13 ~ л ! о13 ~ ! л2 "113 =а х+ —, — — = х =х+ — =агх а',1/ ам п„) ' а11 Таким образом, если а1, 33 О, огг ~ О, то переносом начала ! л =х+ —,, у =у+ —, к ! а13 л ! Огз а', ' а'2 уравнение (58.12) преобразуется в уравиеиие "мх +оггУ +азз = О, аиогг Ф О, ! л2 ! !!2 ! ! ! 2 ! 2 О1З Огв где азз = азз — —, — —,, т.е.
в уравнение типа 1. О11 Огг Пусть один из коэффициентов а11 или агг равен нулю. Если а1, = О, а' ф О, то переносом начала 3 58. Общее уравнение линяя второго порядка азз уравнение (58. 12) преобразуется и уравнение аззуез + 2а'„х" + азз = О, азз ~ О, (58.13) где озз = азз — озз ! ощ. Р з/ Случай, когда аы Ф О, а~з = О, сводится к предыдущему переименованием переменных *а=р', а Г Р (58.14) что соответствует переходу к новому базису с матрицей перехода ГО 1Ч Я = . Нетрудно проверить, что Я вЂ” ортогональная матрица, поэтому числа 1м 1з, Кз, Кз при таком переходе не изменяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
