В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Прежде всего отметим, что Р(х) — алдигнвная абелевн группа: коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (в силу (47.3)), нулем является нулевой многочлен (как отмечено в (47.4)), противоположным к многочлену у(х) = ~ „ат,х", как легко проверит»ч является многочлеи -у(х) = ~ к» о( — а»)х". Коммутативность умножения следует нз определения. Докажем ассоцнативность умножения. Пусть У„(х) = ~,» и»х», у,(х) = Я~ Ь»х", Ьр(х) = ~Р» с»х».
Обозначим через сг», тз», у» и бт, коэффициенты прн х" у многочленов у(х)д(х), у(х)Ь(х), (у(х)у(х))Ь(х) в у(х)(у(х)Ь(х)) соответственно. Тогда в сну (47.8) =К(К") = 1:" ььт-» г+т=т г+т+т=» = 1;,(1»)= г; ьч, г+т» т+т=т г+т+т=» т» = ~~т сттст ььт=» б» = ~~т о,)тт г+т=тг т.е. 7» = б». Отсюда, если учесть, что т)ей(~д)Ь = г)ея,т(дЬ) = и+ в+р, следует равекство (у(х)у(х))Ь(х) = у(х)(д(х)Ь(х)). Роль единицы при умножении многочленов играат число 1, рассматриваемое как многочлен нулевой степени.
Справедливость аксиомы днстрнбутивности вытекает нз равенства 1 'т+ (а, + Ьт)с. = ) т+» о;ст + );»+у» Ьтсд, так ввк леваЯ часть этого равенства является коэффициентом при х» в многочлене (у (х)+у(х)) Ь(х), а правая часть — коэффициентом при той же степени х в многочлене т(х)Ь(х) + у(х)Ь(х). Наконец, вз (47.7) следует, что в Р(х) нет делителей нуля. и С л е д с ти е и е. Ммаотсестиво Р(х) лвллетисл ликет)мым ирастирвксптвом мад иолам Р. Это следует нз того, что любое кольцо по сложению — вбелева грутпщ что же касается внешнего закона композиции (47.8), то его дистрибутнвность опюсительио сложения являетсл частным проявлением общего закона дистрибутнвности в кольце Рттх) а справедлквость других аксиом умножения на число очевидна. Замечание 2.
Произведение (476) миогочленов т(н) н д(к) может быть получено обычным для алементариой алгебры перемножеяием двух сумм (аа + + ага+" + акл")(Ьо + Ьтк+ " ° +Ьтл') с последующей группировной одночленов одинановой степени. Это следует из общего авиона днстрнбугивносги и из того, что многочлены т(к) н д(а) макао рассматривать иьи суммы многочлеиов, 3 а.м е ч а к не 3. Кольна Р(л) не являемя потык, тел еыг не веяний многочлеи Пл) В р(л) обладает обратным миогочленом т т(е). Действительно, равенство Плц (л) = » с учетом (47.7) означает, что мкагочлекм кдлееов сатекекн, к нюеько оки, обладаютл обраткмлкь Глава Х. Многочлеиы нвд произвольным полем 168 $ 48.
Деление многочленов Кх) = у(х)а(х)+ (и), гдг либо г(х) =О, либо хейг с дебд. Доказательства. Докажем первую честь теоремы, Будем счи- твть, что у(х) ф О, твк квк в противном случае можно положить у(х) = О, г(х) = О. Пусть Дх) = 2 Ь саьхь, д(х) = Я» обьх, Йеб~ = и, Йебу = г. Без ограничения общности считаем, по и > г, твк квк в противном случве можно взять у(х) = О и г(х) = у(х).
Применим метод математической индукции по степени и многочленв Г(х), счнтвя у(х) фиксвроввнвьгм. 1. Пусть п = О. Тогда г = О н д(х) = аоЬо ', 1(х) = О. 2. Пусть теперь теорема верна для любого многочленв степени меньшей и. Докажем ее для многочленв у(х) степени и > г. Боспроиз- ведем первый швг известного нз элементарной алгебры алгоритма де- ления миогочленов с действительными коэффициентами, т.е. построа„ им одночлен — х и состввим ревность Ь, ~г(х) = Дх) — — х" 'у(х). Ь, (48.2) Либо многочлен ~г(х) равен О, либо деб ~~ с и.
Б первом случае можно положить у(х) = — х" ', г(х) = О. Бо втором случае для много- Ь, члене,~г(х) по индуктивному предположению найдутся миогочлеиы дг(х) и г(х) такие, что,(1 (и) = у(х)41 (х) +г(ф где либо г(х) = О, либо дебг с бейд. Тогдв, согласно (48.2), у(х) = — "х" 'у(х) + д(х)41(х) + + г(х). Положив у(х) = — х" *+ дг(х), приходим к паре многочленов Ь, у(х), г(х) Е Р(х), удовлетворяющей условиям (48.1).
Остается доказать единственность, Пусть существует еще одна пара многочленов дт(х), г1(х) е Р(х), удовлетворяющвя условиям (48.1),. Тогда У(х) = д(х)у(х) + г(х) н,г(х) = д(х)уг(х) + гг(х), те. д(хНа( ) — дг( )) = г(х) — ( ) (48.3) Кольцо Рф~ всех многочленов нгд полем Р по своим свойствам близко к кольну Е всех целых чисел. Эта аналогия проявляется и в том, что для многочленов, кгк и для целых чисел, имеют место понятия деления нвцело, деления с остатком, делителя, наибольшего общего делителя и др. Теореми 48,1.Длялюбыхдедхмногочлгнову(х),д(х) еР(х), гдг у(х) ф О, существует, и притом единственная, пара многочлгнов у(х), т(х) Е Р(х) такал, чпю: э 48. Деление многочлемов Ях) = д(х)д1(х) + «1(х), д(х) = (х)дз(х) + (х) «1(х) = «э(х)дз(х) + «з(х), йей«, < йейд, йей«э < дей«ы й~;<йй „ «ь-з(х) — «ь-з(х)дь-1(х) + «ь-~(х)~ бей«ь-1 < бей«ь-э~ «ь э(х) = «ь 1(х)дь(х) + «ь(х), йей«ь < Йей«ь ,, «ь- (х) = «ь(х)да+1(х).
(48,4) Степени остатков понимаются, поэтому процесс оборвется в тот момент, когда деление выполнятся нацело. Пусть «ь(х) — последний отличный от нуля остаток. Покажем, что «ь(х) = КОД (1, д). Действительно, просматривая равенства (48,4) снизу вверх, заключаем, что «ь(х) является делителем «ь 1(х), «ь э(х), ..., «г(х), д(х), У(х),т.е. общим делителем 7(х) и д(х). Просматривая равенства (48.4) сверку Если «~(х) — «(х) ф О, то и д(х) — д1(х) Ф О, при этом степень правой части равенства (48.3) меньше э (в силу (47.5) и (48,1)), а левой части — не меньше э (в силу (47. 7)), что иевозмсвюю. Следовательно, «1(х) — «(х) = О, а так кэк в кольце Р[х) нет делителей нуля, то и д(х) — 41(х) = О.
Таким образом, «(х) = «1(х) и д(х) = 41(х). ц Заметим, что доказанная теорема очень похожа на соответствуЮ- шую тес|жму о делимости цальгх чисел. По аналогии с целыми числами многочлен д(х) называется часщиым (или исполним часюиэьи ) от деления 7(х) на д(х), а «(х) — осиюииюм от этого деления. Если «(х) = О, то говорят, что Дх) делтаисл (или нацело делится) на д(х), при этом д(х) называется делителем 7(х). Очевидно, делителями любого многочлена У(х) будут все многочлены нулевой степени и все многочлены вида ау (х), где о ,-г.
О. Многочлен у(х) называется сбщэьм делителем многочленов 7(х) и д(х), если он является делителем каждого из них. Очевидно, все многсчлены нуле1юй степени — общие делители любой пары многочленов. Многочлены, не имеющие другах общих делителей, кроме многочленов нулевой степени, называются взаимно ярос«лами. Многочлен о(х) йэзывается наибольшим об им делинмлсм ненулевых многочленов У(х) и д(х), если: 1) й(х) — общий делитель мнагочленов 7(х) и д(х); 2) о(х) делится на любой общий делитель многочленов 1(х) и д(х). Обозначение: НОД(1 д).
Очевидно, если д(х) = НОД(7,д), то ой(х) = НОД (У, д) для любого о Ф О. Т е о р е м а 48.2. Длл любой пары ненулевых миогочлеиое 1(х), д(х) б Р[х] сущестпэуеиз наибольший общий делитиель. Ои определен однозначно с пючиостью до миохсп«леал иулееой с«лепсип. Доказательство. Приведем описание алгоритма построения НОД(У,д), называемого алгоривьиам Евклида или алгорпяьиом последоеа«польного деленна.
Он озстоит в следующем. Выполним цепочку делений с остатком согласно теореме 48.1: Глава Х. Многочлеяы над произвольным полем 170 вниз, заключаем, что все остатки тг(х), г'г(х), ..., ть(х) делятся на любой общий делитель |(х) и у(х). Докажем вторую часть теоремы. Положим дг(х) = НОД(у,д), дг(х) = НОД(7, д). Тогда, согласно определению НОД(у,д), дг(х) = = дг(х) уг(х), дг(х) = дг(х)уг(х) и, с учетом (47,7), дейдг > бей дг, дейдг > Йейдь Следовательно„дейдг = деядг и многочлены дг(х) и дг(х) отличаются лишь множителем нулевой степени. е $ 49. Корни многочленон До сих пармы рассматривали многочлен как формально-алгебраическое выражение.
Вместе с тем многочлен 7(х) можно рассматривать и вак функцию от переменной х. Ксли у(х) = ~ ь сагхь— многочлен нэд полем Р, с — некоторое число из поля Р, то число у(с) = ) г аьс" назывветсл значением многочлека у(х) кри х = с. Известно (из теории функций), что две функции называются рагГ ными, если их значения равны при всех значениях переменной. Очевидно„что если многочлены 7'(х) и у(х) анны квк чле ы (см. нк и, Однако офгаттйпе утверждение потребует дополнительных исследований и будет доказано позже.
Пока же, забегая вперед, будем иметь в виду, что оба подхода к понятию равенства многочленов совпадают. То же относится и к операциям над многочленами: сложение и умножение многочленов, определенные в з47, превращаются в сложение и умножение функций, так как если гг(х) = у(х) + д(х), гГ(х) = =,К(х)у(х), то Ф(с) = у(с) +у(с), гз(с) = У(с)у(с), гс е Р. К нгм многочлена 7"(х) Е Р(х) называется число с Е Р такое, что 7(с =О. Теорема 49.1 (теорема Безу). Остатаок огп деления мкогочлена 1(х) на х — с разек г (с). Доказательство. Разделим согласно теореме 48.1 многочлен у(х) на многочлен х — с. Тогда у(х) = (х — с)у(х) + т(х), где деят < < дея(х -с) = 1, так что т(х) = т — константа.
Рассматривая значения обеих частей этого равенства при х = с, получим, что т = 7(с). ° Следствие, Чисго с Е Р является корнем многочлена у(х) е Р(х) тогда и тольке пгогда, когда мкогочлгк г(х) делится на х — с е кольце Р(х1. Алгебраическая замкнутость поли С. До сих пор все поля мы считали равноправными. Однако в вопросе существования корней многочлена это далеко не так. Поле Р яазывается алгсбраически замккутвкм, если любой многочлен у(х) е Р[х] степени к > 1 обладает в Р хотя бы одним корнем.
Очевидно, что поле действительных чисел Ж не является алгебраически замкнутым, так как многочлен хг+ 1 не имеет действительных коркей. г 49. Корив много членов Т е о р е м а 49.2 (основная теорема алгебры). Поле С комплексных чисел алггбраичгски гамкнргпо. Эта теорема называется "основной" по традиции, установившейся с тех времен, когда проблема решения глгебранческвх уравнений была главной проблемой в алгебре (впервые теорема доказана Гауссом в 1799 г. для частного случая). Теперь же она относится к числу рядовых утверждений, хотя и очень важных.
Во всяком случае, на ней основана вся дальнейшая теория многочленов. И тем не менее зта теорема не является чисто алгебраической. Все ее доказательства (а их после Гаусса найдено довольно много) в той или иной мере опираются на другие разделы математнки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
