В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 34
Текст из файла (страница 34)
а гг Замечание 1.Еслиодинизсомяожвтелейв(45.4) или г1 в(45.5) равен нулю, то теорема относится только к модулям. 3 ам е ч а к и е 2. Соотношения (45.4) переносятся и на любое число сомножителей (достаточно применить метод математической индукции). 1 Глава 1Х, Комплексвьге числа $ 46. Возведение в степень и извлечение корня Возведение н степень. Пусть к е Е и г й С. Число г", опредер *"= * ...
* р ЕМ~=3 р =О~ в атом случае предполагаегтя, что г у1 О); г" = 1/г~ прн т = — к Е М, называется и-й стекекью числа г. Теорема 461. Если г =г(сжуг+увшуг), к й Е, то (46.1) До к аз а тел ьс т в о. Для и й И равенство (46 1) вытекает из (45.4) Для к = 0 равенство (46.1) следует нз определенигк ге = 1 = ге(сов 0+ + унп0). Если к < 0 и к = — гл, гл е М, то 1 1 гч — —— — г" (ссетгр — увштгр) = ггв г"'(совкьр+(вштвг) = г"( ов(- р)+1вш(- Кр)) = "( вЮ+ув1пж) ° Формула (46.1) называется формулой Муавра. Извлечение корня.
Пусть и е Я. Корнем к-й спгекеки пг комплексного числа г называется число а б С такое, что а" = г. Очевидно, что для г = О существует единственный корень к-й степени, равный нулю (так как а" = О и ~а~" = 0 сь а = 0) . Творе ма 46.2. Длл кекулееого число г = г(сов гр + г'юп гр) сугдесееует ровно к раглкчкмж корней аь аг,..., а„к-й сглевекк: аь = ~~ сов +унп ), й = О,к — 1. (46.2) гр+ 2яй, гр+ 2яй'1 Доказательство. Пусть а — корень в-й степени из числа г н а = р(онд +1вшд).
Тогда а" = г илн, в силу (46.1), р"(совий + +унппд) = г(совгр+1вшгр) . Согласно (45.1) это означеег, что р" = г, кр = уг+ 2яй, й е Е. Так как р > Р, т > О, то существует единственный положительный юзрень и-й степени р из положительного числа г — зто арифметический корень р = у'г. Таким образом, число а = р(совй+ увшд) является корнем тй степени нз числа г тогда и только тогда, когда р=0, В=,ййж, гр+ 2яй гр + 2яй, .
уг + 2тй'1 те. числааь ~/г сов +уюп ~, й е Е,нтолькоони, являются корнями и-й степени из числа г. Числа аь для й = О,к — 1 Э 4Б. Возведение в степень и извлечение корня 163 различны, твк как их аргумеяты отличаются самое большее на 2к(н — 1) < 2э . Числа аь прн й > н совпадают с одним из корней и аэ, аы..., а„|, так как если й = ну+ г, О < г < и — 1, то у+2кй у+2кпу+2кг 1о+2эт + 2ку, убей. Следовательно, аь = а„. и Геометрическая интерпретация корней, На комплексной плоскости все корни и й степени из ненулевого числа г расположе. ны на окружности ргдиуса р = (/ф и делят эту окружность на и равных частей (так как агйаь = вгйаь 1 + 2к/и). Б частности, все корни и-й степени из единицы имеют вид 2кй, .
2тй гь = соз — + дэш —, й = ко,й1 . и и (46.3) Они расположены на единичной окружностя и делят ее на и равных частей, начиная с го = 1. При этом действительных корней может быть либо два, если и четно (се и а;,уэ), либо один, если н нечетно (го). Б любом случае недействительных корней четное число, онн расположены симметрично относительно действительной оси, т.е. попарно сопряжены.
Те о р ем а 46.3. Все корни п-й спмнсни иг комплексного числа г ~ О получаюгасл умножением одно~о иг гшик корней на есе корни и-й спюпени иг единицы. Доказательство. Пусть аь, й = О,н-1, — корни и й степени из г = г(сову+ гэшоо), определяемые равенством (46.2). Тогда, согласно (45.4) я (46.3), аьсо = аы аьгг = аг+м ., аьг„ь = ао,..., аьг -1 = аг-ь ° эгГруппа корней и-й степени иэ единицы. Рассмотрим множество Н„= (го, оп..., г„1) всех корней и-й степени из единицы. 1.
Н,„- абелева мультипликативная группа, как подгруппа мультипликативной группы ненулевых компленсных чисел (согласно теореме 38.1). 2. ̈́— цяклическгя группа, порожденная корнем гп так кэк гь = г1. Более того, этой группой исчерпываются по существу все конечные циклические группы порядка н (это было обещано в $41). Т е о ре м а 46.4. Все циклические группы порядка н иэоморфны мультпипликатиеной группе корней и-й сшспсни иг единицы.
Доказательство. Пусть а — образующий элемент циклической группы С. Построим изоморфизм. Каждому элементу аэ й сг, О < й < и, поставим в соответствие корень гь н-й степени иэ единицы. Это будет взаимно однозначное отображение группы С иа мультиплнкативную группу Н„корней и-й степени гсг единицы, изоморфность которого следует вэ (39.3). ° г гтава И. Комплексные числа Корень гь называется пгреообрагнмм корнем и-й степенп иг единицы, если он не является корнем из единицы никакой меньшей степени, чем и.
Очевидно, для любого и > 2 число гт — первообразный корень. Помимо г~ могут существовать и другие первообрезные корни. Например, при и = 4: Н4 = 11, т, — 1, -тт1 н гг = -т также является первообрезным корнем, так как гг — — 1, гз —— -т, гг = — 1, ггз —— т. Теорема 4б.б. Коренев и-й степени нг едпницм яеляетпся переообразнмм корнем тогда и пптлько тогда, когда его сптеоени ег, Доказательство. Необходимость. Пусть г" = гт при О < й < 1 < и — 1. Тогда гт г = 1, где 1 < 1 — й < н — 1. Следовательно, г являетси корнем из единицы меныпей степени, чем и.
Достаточность. Пусть г — не первообразный корень. Тогда с~ ~ествуетк < т, ге =1=ее и нисе, ет,...,~ ' не будут различными, и След с та вне А Корень г и-и сшепено ьг единицы являевтся переообрагнмм корнем тпогда и тполько тпогда, когда он будетп обрегутотцнм циклической г1трппм Н осек корней и-и сшепени иг единицы.
Следстпеие 3, Коргньгь б Ни-йспмпенпив гдинццмяеляептся переосбразнмм корнем пюгда к птолько птогда„когда Й и и взаимно простим 1см. теорему Зй.б). Таким образом, число первообразных корней и-й степени из единицы равно числу целых поломсителъяых чисел й, меньших и н взаимно простых с ним. Если р — простое число, то первообразными корнями будут все корни, кроме единицы. Глава Х. Многочлены над произвольным полем В $13 и з) уже упоминались многочлены с веществежпкми коэффициентами в связи с напевными пространствами, в также в связи с алгебраическими лнниямя и поверхностями.
В этой главе многочлены будут основным объектом изучения. Начнем с алгебраических (формзльных) свойств многочлеиов без учета того, что многочлен является не только формальным вырвженяем, ио также и функцией. й 47. Кольцо многочленов Пусть Р— поле. Многочленом (полиномом) и б спьепени огл переменной х над нолем Р называется выражение ае+агХ+аЗХ + +а,ки, (47.1) где аг, з = О, н, — фиксированные числа, из поля Р и а„ф О. Эти числа называются козффоцнентами многочлена, а число а„— стларнгмм козффицнснпюм Число О Е Р по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулееым многочленолс Степень нулевого многочлена ие определена. Многочлен обозначается символом Дх) или уи(х), степень много- члена Дх) — символом дейу, множество всех многочленов от переменной х над полем Р— символом Р(х~) Итак, п )(х) = Я аьх е Р~х~), дейу =кь ь=о Замечание 1.
Выражения к, кэ, ., к не несут смысловой нагрузки (пока), оии должны восприниматьсл как символы, Таким образом, нв многочлен (47.1) следует смотреть как нв некоторое формальное выражение, вполне определяемое набором своих коэффнпнентов оо,оы.... а„, где ои и' О, Два многочлена у(х),у(х) Е Р(х) называются раеныма, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. обозначение: у(х) = у(х). изопределения следует, что нулевой многочлен равен только нулевому многочлену а для ненулевых многочленон ) (х) ~ ь о аах и У(х) ~ ь о ььх Равенство ~(х) У(х) означает, что деКУ = деКу = кй а; = 6;, з = О, п.
(47.2) Равенство многочленов, определенное здесь, означает тождественное равенство, к мы будем называть его малькам в отличие ст систва многочленов ~ функйв3 В Из будет доказана рван ль ь этих определ р 1'лава Х. Многочлены яад произвольным полем Введем на множестве Р«х) алгебраические операции. Суммой многочленов Дх) = ~„„~ а»х» и д(х) = 2,» Ь»х» называется многоч лен пцвх«и,а) Ь(х) = ~«с»х», где с» = а» + Ь». » О (47.3) Здесь недостающие коэффициенты а» илн Ь» заменяются яулями.
Обозначение: У(х)+д(х). Из определения вытекают следчощие факты. 1'. Для любого многочлена У(х) ь РЦ У(х)+О = О+У(х) = 7(х). (47.4) 2'. Для ненулевых многочленов )(х), д(х)„ 7(х) + д(х) бей(У + д) < пшк(бейЛ«1 йд). 3'. Если У(х),д(х) 6 Р(х), то У(х) + д(х) Е Р(х], те. сложение миогочленов является алгебраической операцией на множестве Р[х). ПрсозеедениаммногочленовДх) =,'Д оа»х" ид(х) = 2 «, еЬ»х" называется многочлен Ь(х) = ~с»х», где с» = ~~«а;Ь, Й =6,а+ю.
(47.6) Здесь сУммиРованне в 2 ь». » о«Ь«ведетсЯ по всевозможным индусам г и «', для которых «+ « = Ь. Обоз н аче н не: 7(х)д(х). Из определения вытекают следующие факты. 1'. Произведение ненулевых миогочленов не может быть нулевым, при этом (47,7) «»Дх) = ~~«аа»х»; »=е (47.8) таким образом, на мяожестве Р(х) определен и внешний закон иоьшо- зиции.
2 . Если У(х),д(х) е Р(х), то У(х)д(х) ~ Р(х), т.е. умножение многочленов является алгебраической операцией на множестве Р(х). 3'. Операция умножения многочленов порождает операцию умножения миогочлена на число вз поля Р как часгный случай умножения многочленов: если Дх) = Я„" е а»х» н а б Р, то б 47. Кольцо многочленов Теорема 47.1. Миохсеставо Р(х) всех миогочлвмав код полем Р лвллетисл каммутевпивкым кольцом с единицей и бел двлцныле6 мрлд Доказательство. Проверим все аксиомы кольца (З42).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
