В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Гомоморфизм. Две группы Оз и Сг с операциями гз и гг называют гамоморфнмми, если существует сюръективиое отображение зг: О, -+ Сг, сохраняющее групповую операцию. Само отображение Зг называется гомолюрфиглгом. Отметим просгейшие свойства гомоморфизма. В гомоморфных Глава ИП. Элементы общей алгебры 1) образом единицы является единица, т.е. <р(е) = е', где е и е'— единицы групп С1 и Сг, 2) образом обратного элемента ягляетсл обратныб элемент к образрг Ю(а ') = (ж(а)) '. Доказательства этих свойств повторяют доказательства аиалогичвых свойств изоморфизма. Отметим лишь, что к гомоморфизму относятся только первые части свойств изоморфизма. Пусть у — гомоморфизм группы С1 иа группу Сг. Множество йетса = (а Е С1~р(а) = е') называется ядром гомоморфизма у.
Теорема 41,3. Нармальныг делители группы, и только они, являются ядрами гомоморфизмое этой группы. Доказательство. Достаточность. Ядро гомоморфизма у группы С1 является подгруппой группы Сь так как для него выпалиеиы оба условия теоремы 38.1: 1) если Ьь Ьг е хвг Р, то Р(Ь, г1 Ьг) = У(Ьг) гг У(Ьг) = е *г е = е', т.е. Ь1 *1 Ьг Е хег~р; 2) если Ь Е Ьег р, то ~о(Ь) = е' и, зиачит, ~р(Ь ') = (е') ' = е'„т.е. Ь Е Ьегу. Эта подгруппа является иормальиым делителем, так хвх для иее выполиеио условие теоремы 40.1: если Ь Е Ьягу и с Е С, то у(с г~ Ьяг с) = у(с ) эт ого(Ь) зги(с) — ~р(с ) гг'т(с) = 1з(с гг с) = = ~р(с) = е', т.е.
с 1 *г Ь г1 с е 1сег у. Необходимость. Пусть Н вЂ” нормальный делитель группы С с операцией °, покажем, что существует иекоторая группа С' и некоторый гомоморфизм у: С вЂ” ~ С', ядром которого является подгруппа Н, В качестве группы С' возьмем фактор-группу С~Н группы С по нормальному делителю Н. В качестве гомоморфизма возьмем отображение у: С -+ С~Н, которое каждому элементу а Е С ставит в соответствие смежный класс аН, так что фа) = аН, Отображеиие р является гомоморфизмом, так как р(аЬ) = (аЬ)Н = (согласио (40.2)) = (аН)(ЬН) = р(а) у(Ь), Ча, Ь Е С. Ядром этого гомоморфизма служит, очевидно, сам нормальный делитель Н. ° Построенное отображение у: С -г С~Н называется естественным гомомор1бизмом.
й 42. Кольцо Определение, простейшие свойства. Перейдем к рассмотреиию множеств, иаделеииых двумя алгебраическими операциями. Будем называть одну из этих операций сложением (и обозиачать символом +), а другую — умножением (и обозначать символом .). Непустое миожество К, наделенное двумя алгебраическими операциями — сложением и умножением, называется кольцом., если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам: Ча, Ь, с Е К 1)а+Ь=Ь+а; 149 2) (а+ 6)+с= а+ (Ь+с); 3) 30 Е К: а+ 0 = 0+ а = а; 4) ~Уа ь К Э вЂ” а б К: а + ( — а) = ( — а) + а = О; 5) (а6)с = а(Ьс); б) (а + Ь)с = аЬ+ Ьс, а(Ь + с) = аЬ+ ас.
Кольцо называется коммртатиеним, если умножение в нем коммутативно; кольцо называется кольцом с единицей, если операция умножения обладает нейтральным элементом. Из еленам кольца следует, чта кольцо является аддитивной абелевой группой. Очевидно, множества Б, гд, К образуют коммутативиые кольца с единицей относительно обычных операций сложения и умножения чисел; множество всех четных чисел — коммутативное кольцо без единицы; мнажеспю Ж""" вещественных квадратных матриц и-го порядка — некоммутативное кольцо с единицей относительно известных операций сложения и умножения матриц. Отметим простейшие свойства кольца, все они овирэются на свойства множеств с одной ассоциативной операцией, и в честности, на свойства группы. 1'. Кольцо обладбет всеми свойствами аддитиеной абелееой гррппьц в частности, в кольце: а) существует, и притом единственный, нулевой элемент 0; б) для каждого элемента а существует, и притом единственный, противоположный элемент — а; в) для любых элементов а, 6 й К существует, и притом единственное, решение уравнения к+ а = Ь; это решение называется разностью элементов Ь н а и обозначается символом Ь вЂ” а, Итак, Ь- а = 6+ (-а).
г) определены целые кратные элемента (см. (39.Ц, (39.2)): а+а+...+а п>0 о, п=О, т(-а) = — (та), т= -п„п ~ О. 2'. В кольце рмножение дистрибутиено огпносительно вычингания, т.е. а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас, (а — Ь)с = ас — Ьс, Ча, Ь, с н К. Это следует из того, что Ь = (Ь вЂ” с) + с н аЬ = а(Ь вЂ” с) + ас. 3~ В кольце длл любого злеменоюа: аО =Оа= О.
Это следует из дистрибутивности умножения относительно вычита,ния: аО =а(Ь вЂ” Ь) =аЬ вЂ” аЬ= О. 4'. В кольце длл любит злементаов а, Ь: ( — а)Ь = а(-Ь) = — аЬ. Это следует из того, что аЬ+ ( — а)Ь = (а + (-а))Ь = ОЬ = О. Следствие. ( — а)( — Ь) = аЬ, Ча, Ь б К. 5'. В кольце с единицей длл любого злемеюпа а: ( — Ца = а( — Ц = -а. Это следует из того, что а+ ( — Ца=1а+( — Ца = (1+( — Ц)а=Оа=О. Глава ЧШ.
Элементы общей аьтебры 6'. В комъце с едииицеб, содержащем ие менее дерк элемеюаон 1 ф О. Действительно, если О = 1, то существует а е К: и ~ О, а ~ 1. Тогда нз равенства 0 = 1 следует, что Оа =1а, т,е. 0 = а, но а ~ О. Т'. В кольце с едпппцеб множество обратимых (по умножению) злсмеитлов образуетл мрлъшпплпкаязиеирю групп1» Это следует из того, что произведение обратимых элементов обра- тимо, т.е.
умножение в кольце является алгебраической операцией иа этом множестве. Делители нуля. В кольце, как мы огмечалн выше, алгебраиче- ские операции сложения, вычитания и умножения обладают свойства- ми привычных нам операций над числами. Однако кольцо обладает и специфическим свойством, которого иет в числовых множествах. Так, для чисел из равенства аЬ = 0 следует, что одно из чисел а или Ь рав- но нулю. В кольце зто может и не выполняться. Например, в кольце матриц второго порядка существуют ненулевые матрицы, произведе- ние которых Равно нулю: 0 О 1 1 0 О Ненулевые элементы а и Ь кольца называются делпшеллмп нуля, если аЬ = О.
При этом элемент а называется леоъсм делителем нуля, а эле- мент Ь вЂ” правым. Кольцо вычетов. Рассмотрим алдвпнвную группу У, = (Со, См ..., С» 1) вычетов по модулю р (з40). Напомним, что сложение на ,ь определено правилом (40.3), т.е. С,„+ ф— зло класс, в который входит число гл+ и. Известно, что Е» — группа относительно так вве- денной операции сложения Я40). Отметим, что это абелева группа, так как числа тп + и н и+ гп входят в один и тот же класс. Отметим также, что нулем этой группы является класс Со чисел, кратных р, а противоположным к ~~ассу С,„- к~~~~ Со, гл= 0, С м, тп>О. Определим на Е» операцию умножения. Положим С С„= С,, гле г н гпп(шобр), т.е.
С С„вЂ” зто класс„в который входит число глп. Эта операция обладает следующими свойствами: 1) С„~С» = С»Ст1 тэк как СяаСв — класс, в который входит пгп, а 2) (С С„)С» = С (С Съ), так как оба прсепведеиня представля- ют собой один н тот же класс, в который входит число (тая) Ь = »п(пй); 3) с1лцесшоуегл единица См так как С С1 = С1С,„= С; 4) (С„, + С„)Сь = СтСь + С„Сь, так как обе часто равенства представляют собой класс, в который входит число (гп + п)Ь = тай+ +ай; 5) если р — состлаеное число, то е кольце Ер естпь делиягеги нугтгь так как если р = тп„где 1 < т < р, 1 < и < р, то С„„Сп б Ер и С С„=С.. Таким образом, Š— конечное коммутативиое кольцо с единицей, которое имеет делители нуля, если р — составное число.
Оно называется кольцом емчетнов по модулю р. Подкольцо. Подкольцом кольца К называется подмножество Р ется о кольца, которое само является кольцом относительно операций, определенных в К. При этом говорят, что кольцо Л является растаиренигм кольцо Р, а кольцо Р вложено е кольцо К'. Так,кольцо Е целых чисел является расширением кольца Егт,чет:- ных чисел и цодкольцом кольца Ц рациональных чисел. Легко показать, что множество Р = (а + ЬЛ ~ а, Ь б Е) является кольцом. Оно вложено в кольцо К действительных чисел.
Определение, простейшие свойства. Подем называется коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором кэждый отличный от нуля элемент имеет обратный элемент. Из определения вытекавгг следующие свойства поли. 1 . Поле обладает всеми свойствами кольца. 2'. В поле нгт делителей нуля, так как если аЬ = О, а ф О, то а '(аЬ) = 6= О.
Сл е дс те и е Умножение яеллстпсл алгебраической операцией на множестве всех ненулевых глементлое поля, 3". В поле Р множество есех ненулевых элегтенпкю образует мультипликатиеную коммутатиеную группу, н поэтому в поле: а) сутцестеует, и притом единстпеенншт, единица, причем 1 ф 0; б) для любого элемента а ~ О сущестпеует, и притпом единственный, обратный элемент; в) для любых а, 6 б Р, а ф О, уравнение ах = Ь имеета единстлеенное решенье, при эпюм х = а 'Ь = Ьа '", этот элемент называется Ь частным отл деления 6 на а и обозначается символом - или Ь~а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
