В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3 (г — ге, рм рт) = О (32.14) илн, в силу линейности смешанного произведения, (г Рг рз)=Р (32. 3) где Р— константа, равная (гш рм рэ). Уравнения (32.14), (32.15) предсгавляют собой векторные уравнения плоскости через смешанное произведение. Векторные уравнения. 1. Параметрическое уравнение (32.6) представляет собой векторное уравнение прямой на плоскости через направляющий вектор. Аналогично параметрическое уравнение (32.8) представляет собой векторное уравнение плоскости в пространстве через направляющие векторы.
Оно порождает другие формы векторных уравнений плоскости. В самом деле, зто уравнение означает компланарность векторов г- ге, рг и рэ, что согласно критерию компланарности (теорема 23.4) равносильно равенству у 33, Взаимное расположение прямых н плоскостей 123 2. Из аксиом геометрии следует, что на плоскости (в пространстве) через заданную точку проходит единственная прямая (соотвегственно плоскость), перпендикулярная заданному вектору, Т е о р е м а 32.6.
Уравнение прямой но плоскосгпи 1илоскости е пространстве), проходяи1еб через точку Мо(го) перпендикулярно вектору и, имеет вид (г — го, и) =0 (32.16) ияи, что то же оьиое, (г,п)=В, (32,17) где  — констпонто, равная ( го, и). Доказательства. Утвержцениетеоремывытекаетпетого, что точка М( г) лежит яа прямой (на плоскости) тогда и только тогда, когда векторы Меле и и ортогональны. ° Уравнения (32.16), (32.17) нредсгавляют собой векторные уровне. ння прямой на плоскости и плоскости в пространстве через иормалн, $ 33. Взаимное расположение прямых на плоскости (плоскостей в пространстве) Взаимное расположение двух прямых (плоскостей).
Пусть на плоскости (в пространстве) две прямые (две плоскости) заданы общими уравнениями в аффинной системе координат Охр (Охрх): 1;: Ах+Ву+С,=О, А~+В~~О, 1=1,2„(331) и соответственно к,.: А;х+ Вну+ Сел+ 12; =О, Аз+Ву+Сд у10, 1= 1,2. (33.2) Составим матрицы из коэффициентов этих уравнений: А = А Вз, В= А В С (33.3) для прямых и А В С ' В А В (33 4) для плоскостей. Очевидно, что в обоих случаях 1 < гбА < 2, 1 < гй В < 2, гй А < гб В.
Следовательно, для рангов матриц А и В возможны только следующие три набора значений: (33.5) 124 Глава И1. Алгебраические линии л поверхности первого порядка Теорем а 33.1. Прлггыг 1г и Ьз иа плоскости совиадаютп тогда и люлько тогда, когда Аз Вз С1 Аз Вз Сз' (33.6) иараллсаьиы и иг совпадают тогда и люлько тогда, когда Аз Вз Сг 3 А, В, С,' (33. 7) пгргсвкаютсл тогда и только тогда, когда А, В, — Ф вЂ”. Аз Вз' Доказательство. Ргссмотрнмсистемулинейных алгебраических уравнений с А~к+ Взр+ Сз = О, Азх+ Вгу+ Сз = О (33.9) А, Вз Сг Вз Аз Вз Сз Вз параллельны и иг совпадают тогда и озолино тогда, когда А В С В> — = — = — гг —; Аз Вз Сз Вз ' относительно неизвестных х, р.
Для этой системы матрицы А н В нз (33.3) являются основной и расширенной матрицами соответственно. Согласно (33.6) эга система совместна только в двух случаях: когда гкА = гйв = 1 и гйА = гйв = 2. В случае когда гйА = 1, а гйв = 2, система несовместна, В первом случае решения системы образуют одномерное линейное многообразие ($30), а во втором— нульмерное, т.е. система имеет единственное решение. Перейдем к прямым 1г и (з. Совпадение прямых (г и 1з означает, что решения системы (33.9) образуют одномерное линейное многообразие, т.е. что гиА = гйв = 1 или, что то же самое, гяв = 1.
Это условие равносильно (33.6) в силу теоремы о базисном миноре. Параллельность прямых 1г и 1з (н их несовпадение) означает, что система (33.9) несовместна, т.е. что гкА = 1, гкв = 2. Это условие равносильно (33.7). Пересекаемость прямых 1д н 1з означает, что система (33.9) имеет единственное решение, т.е. что гй А = гй В = 2 или, что то же самое, гй А = 2. Это условие равносильно (33.8). ° Т во р е ма 33.2. Плоскости кг и кз совпадают тогда и пзолько тогда, когда у 33.
Взаимное расположение прямых и плоскостей 125 пересекаются пюгда и пюлько тогда, когда когффиссиентм Аы Вы Сг и Аг, Вг, Сг непропорциональны. Доказательство теоремы предсгавляет собой естественный аналог доказательства теоремы 33.1 и не содержит принципиальных отличий. Отметим лишь, чта в случае, когда гб А = гя В = 1, решения системы образуют двумерное линейное миогсюбразие (т.е, плоскости я1 и кг совпадакгг), а в случае, когда гйА = гбВ = 2, решения системы образуют одномерное линейное многообразие (т.е. плоскости пересекаются па прямой).
° Замечание. Теоремам 33.1 и 33.2 можно дать единую формулировку в терминах матриц (33.3) н (33А)с прямив 1г и 1г (плоскости кс и хг) совпадают «=с гбВ = 1; параллельны и не совпадают «=ь гбА = 1, гй В = 2; пгргсскаюгпся «=Ф гй А = 2.
Пучок прямых (плоскостей). Множество всех прямых плоскости, проходящих через денную 'точку Мэ называется пучком прямих с центром в точке Мэ. Обозначение: к(Мо). Пусть1г исг-две несовпадающие прямые пучка я(Мэ), заданные уравнениями (33.1) в некоторой аффинной системе координат Оту. Положим Р,(х, у) = А,х+ + В;у + С;, где г' = 1, 2.
Теорема 33.3. Прямая принадлвсгсит ну осу сг(Мо) тогда и только тогда, когда вна определяется уравнением (33.10) асс(х, у) + РРг(х, у) = Р при некоторых а„9 6 ф, одновременно не равных нулю. Даказательстэга. Достаточность очевидна„так как уравнение (33,10) является в силу условия (33.8) уравнением первой степени и определяет прямую. Она проходит через точку Мэ(хо, уо), поскольку г"г(хе уо) = 0 и рг(хе* уэ) = О.
Необходимость. Пусть прямая с б я(Мо). Возьмем иа этой у М (хг,ус), у и Мэ(,уэ). П а = Агхг + Вгуг + Сг, В = -(Агхг + Вгуг + С1 ). Поскольку точка М1 не мсакет одновременно лежать на 1с и Ц (ибо прямые 1г и 1г не совпадают)> то по крайней мере одно из чисел о или,б отлично от нуля. Тогда уравнение оГг(х, у) + гэга(х, у) = 0 согласно условию (33.8) является уравнением первой степени и определяет прямую. Очевидно, она проходит через точки Мо (так как прямые 1г, сг проходят через Мэ) н М1 (согласна выбору о, с1). Следовательно, эта прямая совпадает с 1.
° Итак, любая прямая пучка я(Мо) определяется двумя пересекающимися прямыми 1с и 1г этого пучка. Каждая пара чисел а,)9, где о~+ + ~3г ~ О, определяет елинственную прямую пучке,. Уравнение (33.10) называется уравнением пучгса прямых, проходящих через точку пересечения прямых (33.1). 126 Главв ИХ Алгебраические линии н поверхности первого порядка Множество всех плоскостей пространства, проходящих через прямую 1, называется пучком пгоскосптет1 с осью 1. Обоз а а ч е и н е: к(1). Пусть кт и тгз — две пересекающиеся плоскости пучка к(1), заданные уравнениями (33.2) в некоторой аффинной системе координат Охуг.
Положим гт(х, у, г) = Атх + В;у + Стг + Щ где т = 1, 2. Т е о р е м а 33.4. Плоскостпь принадлеггсит пучку тг(1) тпогда и только тпогда, когда она опредаглегпсл уравнением ау'г(х, у, г) + РРг(х,у, г) = О (33.П) при некоторьсх о, В б й, одновременно не равных нулю, До к а з ат е л ь с т во теоремы, по существу, повторяет доказательство теоремы 33.3. Отметим лишь, что в данном случае Мт — любая точка плоскости, не лежащая на осн 1. н Уравнение (33.11) называется уравнением пучка пгоскостпей, проходящих через прямую пересечения плоскостей (33.2).
$ 34. Полуплоскости и полупростринстиа Из аксиом геометрии следует, что каждая прямая 1 на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости, при этом точки Мт н Мг, не лежащие на прямой 1, принадлежат одной полуплоскости, если отрезок [МгМг] не имеет общих точек с прямой 1, в противном случае точки Мт и Мг принадтюнтат разным попуплоскостнм. Выясним, как этот геометрический факт описывается в аналитической форме.
Пусть прямая 1 в аффинной системе координат Оху определяется уравнением Ах + Ву+ С = О. Теорем а 34.1. Точки Мт(хт ут) и Мг(хг уг) принадлегтсатп разным полуплоскостлм отпноситпельно прямой1 тогда и тполько тогда, когда (Ахт + Вут + С)(Ахг + Вуг + С) < О. (34. ) До к аз а тел ь с т в о. Предварительно заметим, что точка Ме(хе, уо) является внутренней точкой отрезка [Мт Мг] тогда н только тогда, когда Мг Мо = ГМт Мг, гДе О < 1 < 1, т.е.
хо = (1 — 1)хт+ 1хг, Уо = (1 — Г)рт + 1рг, О < 1 < 1. Точки Мт(хмут) н Мг(хг, уг) принадлежат разным полуплоскостям тогда и только тоГда, коГда существует точка Мо(хщ уо), общая для прямой 1 и отрезка [МтМг], причем Ме является внутренней точкой отрезка [Мт Мг], т.е.
Ахе + Вуе + С = О, хо = (1 — г)хт + гхг. Уо = (1 — Ф)Ут + 1Уг О < $ < 1. С учетом очевидного тождества С = (1 — 4)С+ ~С получим, что точки Мг и Мз принадлежат разным полуплоскостям тогда и только тогда, когда существует число 1 такое, что (1 — Ф)(Ахг + Вуг + С) + 4(Ахз + Вуз + С) = О, О < Ф < 1, или, в обозначениях Ахг + Вуг+ С = гм Ахт+ Вуз+ С = гм (1-с)юг+а,=О, О<с<1. Это равносильно тому, что г'гГз < О. ° Итак, для координат (х, у) всех точек одной полуплоскости выполняется неравенство Ах+Ву+С > О, а другой — неравенство Ах+Ву+ + С < О.
Полуплоскость, для точек М(х, у) которой Ах+ Ву+ С > О, называется положительной полупмоскостью относительно уравнения (34.1) прямой 1 и обозначается символом гге, а полуплоскость, для точек которой Ах+ Ву+ С < О, — отпргпгатпельной полуплоскосгпью и обозначается к . Теорема 34.2. Вектор нормали и = (А,В) к прлмой 1: Ах+ Ву+ С = О, оаглоэсенннй огп любой аючки прямой, направлен в сгаарону положигпельной полуплоскости.
Доказательство. Пусть Мо(ха уо) — произвольная точка прямой 1. Отложим вектор и от точки Ма, пусть конец вектора и совпадает с точкой Мг(хмуг). Тогда и = (хг — ха уг — уо) = (А В1 и» следовательно, хг = А + хс, уг = В + ус. Подставив координаты хмуг точки Мг в левую часть уравнения прямой (, получаем, что Ахг+Вуг+С = А +В +Ахо+Вуо+С = Аз+За >О,так как -4хо + Вуо + С = О и и ф О. ° Аналогичные факты имеют место и в яростраистве, Плоскость к: Ах+ Ву+Сс+Р=О (34.3) разбивает лростравство на два полупространства. Т е о р е м а 34.3. Точки Мг (х и уг, лг ) и Мз(ха, уз, зз) принагглсжагп розным полупросгпранствам относительно плоскости к тогда и гполько тогда, когда (Ахг + Вуг + Сзг + .0)(Ахз + Вуз + Ссз + Р) < О.
Доказательство теоремыпринцнпиальнонеотличаетсяотдокезательства теоремы 34.1. ° Полупространство, для точек М(х, у, з) которого Ах + Ву+ Сл+ + Р > О, называется полажитальнмл» полупространстволг относительно уравнения (34.3) плоскости к, а полупространство, для точек которого Ах + Ву + Сл + Р < ΄— отриггатсльнмлг полупросгиранством. Теорема 34.4, Вектор нормали и = (А,В,С1 к плоскости я» Ах+ Ву + Сл + Р = О, огп,аоженнмй огп любой точки плоскости, направлен в сгпорону положительного полупространства. До к а з а те л ь с т в о теоремы аналогвчно доказательству теоремы 34.2. и 5 л»»»»»»»»»»»бр»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»ч»»» 123 Глава ИХ. Алгебраические линии н поверхности первого порядка $ 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
