В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть на плоскости в аффинной системе координат Ояу линия Ю определяется уравнением (31.1), где Р(х, у) — алгебраический многочлен степени и. При переходе к новой системе координат О'я'р' уравяение (31.1) преобразуется в уравнение г" (я',у') = О. Покажем, что Р'(я',д') — тоже алгебраический многочлен я его степень и' = и. Для этого в каждый одиочлен Лх"ре многочлена г'(в, р) вместо х и р подставим их выражения через я', у' согласно формулам преобразования координат Я24).
Тогда Лягрч = Л(сыз'+ сыр'+ а)г(смв'+ сззр'+ (1)е. Следовательно, одночлен Лк"уч преобразуется в алгебраический многочлен от переменнътх в', у', степень которого не превосходит р+ д. При этом многочлен Р(я,у) преобразуется в алгебраический многочлен Г'(в', р'), степень которого и' < и. Если в этих рассуждениях поменять ролями системы координат, то получим, что и < и', т.е, п' = и. ° $ 32. Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве Этот и несколько следующих параграфов посвящены прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Мы будем изучать зти понятия одновременно, так как у ннх много общего. И зто понятно, ведь и прямая на плоскости, и плоскость в пространстве представляют собой один и тот же объект в линейном пространстве, называемый гиперплоскостыо (318).
В тех случаях, когда сходные теоремы имеют, по существу, щпгнаковые доказательства, мы будем доказывать только одну из них. В этом параграфе рассматриваются различные типы уравнений прямой на плоскости (плоскости в пространстве), каждый тип уравнения определяется тем геометрическим заданием, которое однозначно определяет прямую (плоскость). Канонические уравнения. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее направляющим веюпором. Из аксиом геометрия следует, что через любую точку проходит единственная прямая с заданным направляющим вектором. Пусть прямая 1 с направляющим вектором а проходит через точку Ме.
Очевидно, точка М лежит на прямой 1 (рис. 1) тогда и только тогда, когда векторы Мой и и коллинеарны, т.е. линейно зависимы (315). С учетом М условия а ф О зто равносильно е тому, что вектор л4еМ линейно Рис. 1 118 Гвена ИЕ Алгебраические линни и поверхности первого порядка (32.1) Таким образом, условию (32.1) удовлетворяют все точки М лрямой 1, и только они. Те о рема 32,1. На плоскости в аффиннвй системе координат Охр уравнение прямой 1, проходящей через точку Мо(хо, ро), с направляющим веюлором а = (т, и) имеета вид х — хо р — ро (32.2) (32.3) ! Доказательство.
Пусть точка М имеет координаты (х,у), тогда Мазо = (х — хо, р — ро). Условие (32.Ц в силу линейности координат означает, что в определителе (32.2) первая страха линейно выражается через вторую, а это равносильно равенству (32,2). Итак, уравнению (32.2) удовлетворяют ююрдинаты (х,р) всех точек прямой 1, и только они. Равенство нулю определителя второго порядка равносильно пропорпиональности его строк, т.е.
условию (32.3). а Замечание 1. Уравнение (32.3) означает лишь пропорциональность и в случае, когда т = О или и = О„оно равносильно уравнению х — хо = О или р — ро = О соответственно. Уравнения (32.2), (32.3) нозываотся каноническими уравнениями прямой на плоскости. Следствие 1.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки Мо(*о,уо) и М1(хмр1), имеет вид ! х-хо в'-зо =О. хо — хо в1 — во Это следует из того, что вектор МоМ1 является направляющим вектором прямой. Без принципиальных изменений может быть получено аналогичное уравнение плосхоств в пространстве. Два неколлинеарпых вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами.
Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная плоскость с заданными направляющими векторамв. у 32. Уравнения прямой на плоскости я плоскостна пространстве 119 Пусть плоскость к с нелрз вляющнми векторамн Р~ н Рз проходит через точку Мо. Оче. Р М видно, точка М лежит в плоскости к тогда и только тогда, М, Р1 когда (рис. 2) векторы МоЛ$, р1, рз комплвлариы, т,е. линейно зависимы (з15). О учетом условия неколлинеарности векторов рг и рз это равносильно тому, что вектор МоХ~линейно выражается через р1 н реп Ю~ = ир1+орз. и,о й)й- Теорема 32.2.
В пространсглвв в а4финной системе координат ОкРг уравнение плоскости к, проходящей через точку Мо(ко,Ро„во), с направляющими векторами рг = (тыпг,й1) и рз = (шз, пз, Ц) имеет еид Ф вЂ” то Р— Ро 3 — зо т~ п1 Р1 тз п2 нз Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 32.1, Уравнение (32.5) называется каноническим Рравнением плоскосСледствие 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Мо(кю Ро*го) М1(кыРыв1) Мз(ко Рз гг)* нелансащие наовной прямой, имеет еид к — ко Р— Ро е †к1 — ко Р1 — Ро в1 — зо кз — ко Ро — Ра зз — го Параметрические уравнении. Этот тип уравнений представляет собой другую форму записи условий (32.1) н (32.4).
Пусть г = ОХ~, + го = ОМо — радиус-векторы точек М и Мо относительно полюса О. Тогда Моле = г — го и условие (32.1) может быть записано в виде (32.й) г= го+ге, или, в координатной форме, в снсгеме координат ОкР: Е к = ко+Фт, Р = Ро+Гп, адей. 120 Глава УП.
Алгебраические линии и поверхности первого порядка Уравнения (32.6), (32.7) нвзьпаются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в векторной и координатной формах, Замечание 2. Число 1 является координатой точки М на прямой 1 в системе координат (Мо, и). Аналогично условие (32А) может быть записано в виде и= ге +ирг+иры и,о 6 Ж, или, в координатной форме, в системе координат Охуг: < х = хе + ит1+ итг, у = ус +ип1+ ге+ и1гг + вхг, и,о Е Ж.
(32.0) Так как вектор а = (т,п) ф О, то по крайней мере один из коэффнпиентов А или В отличен от нуля. Поэтому левая часть уравнения (32.10) представляет собой алгебраический многочлен первой степени. Следовательно, любая прямая на плоскости является алгебраической линией первого парника. Достаточность. Пусть в вффинной системе координатОку линия 1 определяется уравнением (32.10). Это уравнение имеет частное АС ВС решение хо = — ус = — г,, ибо Ахе+Вуо+С ыО.
Вычитая последнее равенство из (32.10), получим, что А(х- ха)+ + В(у — уе) = 0 илн, что то же самое, х — ха у — уе ~ В ~=О. Уравнения (32.8), (32.9) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах. 3 ам е чан и е 3. Числа и, в являются плоскостными координатами точки М плоскости и в системе координат (Ме1 ры рз).
Общие уравнения. Теорема 32.3. Линии на плоскости лвллегпсв ирлмоб тогда и только тогда, когда она предспгаелает собой алгебраическую линию первого порядка. Доказательство. Необходимость. Пусть1-прямая иаплоскости, проходягпая через точку Ма и параллельная ненулевому вектору а. Пусть Оху — произвольная аффиииая система координат и а = (т и) Мо(хо.уо) Тогда прямая 1 описываетси ваноническнм урввнением (32.2) или, что то же самое, уравнением п(х — хе)— — т(у — уе) = О, которое, если положить А = и, В = — т, С = -пхс + + туо, может быть записано в виде у 32. Уравнения прямойнаплоскостилплоскости впространстве 121 В силу теоремы 32.1 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку Мо(хэ, уо), с направляющим вектором а = ( — В, А».
в Уравнение (32.10) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор и = (А, В» называется ееювором нормали к прямой относительно уравнения (32.10). Т е о р е м а 32.4. Поверхность е пространстве яааветса плоскостью тогда и только тогда, когда она представляет собой алгебраическую поеерхносгвь пгреого порядка. Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 32.3 с той лишь разницей, что уравнение плоскости имеет вид Ах+ Ву+Сг+В=О, где А +Вг+С фО, (32.11) АВ В.0 С)2 Аг+Вг+Сг' Аз+ Вг+Сг' Аз+ Вг+Сг' а уравнение (32.11) может быть записано в виде ! х †у †г †— В А 0 =О, если АфΠ— С 0 А (случаи В Ф 0 и С Ф 0 рассматриваются аналогично).
а Уравнение (32.11) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор и = (А,В,С» называется еекпюраи нормали к плоскостви относительно урааненил (32.11). Общее уравнение прямой (плоскости) называется полним, если все коэффициенты А, В, С (соответствеино А, В, С, П) отличны от нуля. Т е о р е м а 32.3. В аффинной сисгвеме коордонат Оху на плоскости (Охуг е пространстве) вектор а = (т,п» (соответственно а = (т, п„к») параллелен прямой (плоскости), заданной общим урае. некием (32.10) (соотеетстеенно (32.11)), тогда и только тогда, когда (32,12) Ат+Вп=О, соответственно (32.13) Доказательство (для прямой). Как следует из докэзательства теоремы 32.3, вектор Ъ = (-В, А» является направляющим вектором прямой. Это означает„что вектор а параллелен этой прямой тогда и только тогда, когда а коллинеарен Ъ, т.е.
когда В 4 = О или, что то же самое, Ат + Вп = О. ° Замечание 4. Левые части условий (32.12), (32.13) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали и и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, в прямоугольной декарпюеой системе координат вектор нормали п = (А, В» к 122 Глава г'П Алгебраические линии и поверхности первого порядка прямой(32.10) (сооглеетстеснно и = (А„В,С1 к плоскосглп (32.П)) перпендикулярен этой прямой (плоскости).
Уравнения в отрезках. Полные уревнения (32.10) и (32.11) прямой на плоскости и плоскости в пространстве могут быть записаны в следующем вндш х у х у х -С/А -С/В -Р/А -Р/В -Р/С Полагая а = -С/А, Ь = — С/В (для прямой) и а = — Р/А, Ь = -Р/В, с = -Р/С (для плоскости), получим эквивалентные уравнения з у л и — +-+ — =1 а Ь с ж у — +-=1 а Ь назьгваемые ураенениами прямой и соответственно плоскости е отрсэкез. Числа а, Ь, с в этих уравнениях имеют простой геометрический смысл (рис. 3): они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая (плоскость) на осях координат, у Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
