В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Один из указанных классов называют классом правых (или полоотсительно ориемтпироеаннмх) белиссе, а другой — лееьтз (оптрицатпельио ориемтироеаммыз). Каждый из этих двух классов называется ориентпациеб просшрамсптва. Вещественное линейное пространство с выбранной па нем ориентацией называется ериемщироеаииььм простпранстпвом. Так катс класс эквивалентности порождается любым своим представителем, то для того, чтобы ориентировать линейное пространство. достаточно задать одни какой-нибудь базис пространства н объявить положителыто ориентированными все одноименные с ним базисы.
Глава (г. Векторная алгебра Класс правых базисов иа плоскости Уз и а простраиогве УЗ обычно выбирают следующим образом: — упорядочевиую пару кеколликеарвмх векторов вт, вз плоскости иззыаьют правой (полоксипмлько ориекщироеаккоб), если кратчайшие поворот (рис. 1] от ег к ез вмполввется против часовой стрелки, и лсеоб(ощрииатааько ориемгвиро. еаююб) — в противном свучае (пачала векторов считаются совмещевиымк); — упоркдочеикую травку иекомплаквркых векторов ег, ез, ез прострекотав вааывают враеоб (полоисищелько ориекгаироеакков), если из кокка вектора вз (рис.
2) кратчайший поворот от ет к ез виден соверщзющимся против часовая стрелки, и всеоб (отрикаотельио ориекгпироеанков) — в противном случае (качала векторов трояки считаются соамещеииыми). Рис. 1 Рис. 2 Практически задание оркектации в геометрических простракствах означает заделке капраалеиия движения иа прямой (слева иаправо или наоборот), излравлеиия аращеиия яа пзоскости (против часово» стрелки или каоборот) или виктв в простракстве (правого или левого).
Определения н оснонные свойства. Пусть в пространстве )гз выбрана ориентация. Базисы, задающие эту ориентацию, назовем праВыми (положительными) . Вещнормылг произведемнам ненулевых векторов а и Ь называется вектор с такой, что: 1) |с| =. | а| ° | Ъ| щп(а, Ь), 2) с ортогонален каждому из векторов а н Ь несли с~ О,то 3) с направлен так, что упорядоченная тройка а, Ь, с — правая. Если один из векторов а кпи Ь нулевой, то векторное произведение считветсн равным О.
Обозначение: [а, Ь», Теорема 23.2 (критерий коллннеарностн), Векпторм а и Ь кол.линагрнм птогдв и италико гпогда, ковда [а, Ъ» = О . Доказательство. Действительно, векторы а н Ь коллннеарны тогда и только тогда, когда либо а = О, либо Ь = О, либо япт( а, Ъ) = О; это равносильно тому„что |[а, Ь»| = О, те. [а, Ь» = О.
° г23. Векторное я сметпанное произведения Замечание 2. Из теоремы 23.2 следует, что определение векторного произведения [а, Ь] для коллинеарных векторов а и Ь заканчивается требованием 1. Если же а и Ь ие коллинеарны, то условия 1 и 2 означают, что: а) [[а, Ь]] = Я ь, где 8 ь — площадь парэллелограмма, построенного на векторах а и Ъ; б) вектор [а, Ь) перпендикулярен плоскости тг( а, Ь), определяемой векторами а и Ь. Т е о р е и а 23.3.
Векпитрног произведение антпикоммутатпивно, тп.г. [а, Ь) = — «Ь, а], Ча, Ь. Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, если а и Ъ коллннеарны. Пусть а и Ь не коллинеарны, тогда [а, Ь) ~ О, [Ь, а) ~ О, при этом [[а, Ъ)] = )[ Ь, а)« = Явь и [а, Ь], [Ь, а) перпендикулярны плоскости ъ ( а, Ь). Значит, либо [ а, Ь) = [Ь, а), либо [ а, Ь) = = — [ Ь, а]. Но вектор [Ь, а] ~ [а, Ь), тэк как тройви векторов Ь, а, [Ь, а] — правая (по определению векторного произведения) и, следовательно, тройка а, Ъ, [ Ъ, а] — левая (см.
замечание 1). ° Смгшаннмм произведением векторов а, Ь и с нэзывается число, равное скалярному произведению векторного произведения а и Ь на вектор с. Обозначение: (а, Ь, с). Итак, (а, Ь, с) = ([а, Ь), с). Т е о р ем а 23лй (критерий комплаиариости). Ввктпорм а, Ь, с компланарнм птогда и тполько этогда, когда ( а, Ь, с) = О. Доказательство.
Необходимость. Пусть а, Ъ„с комплг нарны. Будем считать, что а и Ь не коллинеарны и с ф О (в каждом из этих случаев, очевидно, ( а, Ь, с) = 0). Тогда а, Ь, с параллельны плоскости тг(а, Ъ), причем [а, Ь].1к(а, Ь). Следовательно, ([а,Ь),с)=0 Достаточность. Пусть (а, Ь, с) = О. Тогда либо «[а, Ь]] = О, либо «с) = О, либо сов то = О, где у — угол между векторами [а, Ъ) и с. Это означает, что либо а и Ь коллниеарны, либо с = О, либо с параллелен плоскости тг(а, Ъ).
Во всех этих спучаях а, Ь и с компланарны. ° Т во ре м а 23.5. Смешанное произведение нвкомпланарнмк вгкгпоров а, Ъ и с равно но вбсолютпной величине объему И параллелепипеда, постпровнного на приведенных к общему начагу векторат а, Ь, с. При этпом т", воли а, Ь, с — правая тпройка; — К если а, Ъ, с — левая тпройка. Доказательство. Из некомпланарности векторов а, Ь и с следует, что а и Ь не коллинеарны и с ф О. Отложив векторы а, Ь, с от одной точки О (рис.
3), получим параллелепипед, ребрами которого являются эги векторы. Обозначим через и высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора с. Тогда У = Я„ь1т. Отсктцэ к из замечания 2 следует, что У = [[а, Ь]) ° [с« ° [сонат) = ](а, Ь, с)[. (23.1) Глава У. Векторная алгебра Знак ( а, Ь, с) определяется только знаком совет, но совтз > О тогда и только тогда, когда векторы [а, Ъ] и с направлены в одну сторону от плоскости тт(а, Ь), т.е. тогда и только тогда, когда тройка а, Ь, с — правая. В силу (23,1) отсюда следует утверждение теоремы.
Й [а, Ь] О а Рис. 3 Теорема 23.6. Длл любых еектлорвв а, Ь, с выпалнлеетсл равен сит во ([ а, Ь], с) = ( а, [Ь, с]). (23.2) Доказательство. Утверждение очевидно для компланарных векторов а, Ь, с (в силу теоремы 23.4). Пусть а, Ь, с — не компланарны. Тогда тройки а, Ь, с и Ь, с, а одинаково ориентированы (см. замечание 1). Так как ( в„[Ь, е]) = (Ъ, с, а), то нз теоремы 23.3 следует (23.2). ° Слвдсптвис 1.
Длл любых ввкяюров а, Ь, с иметоттт мвсшв равенсптва (а, Ь, с) = ( Ь, с, и) = ( е,а, Ь) = = -(Ь, а, с) =-(а, с, Ь) = -(с, Ь, а). (23.3) Следстпвие 2. Смеиюнное произведение линет1но по каждамр из свмножиптеввй. Это утверждение вытекает из (23.3) н линейности скалярного произведения. ° Теорема 23.7. Вехтоорнов произведение линейно по каждому из самнвзтситмлеб. Д оказ ат ел ь ство. В силу теоремы 23.3 достаточно показать, что для любых векторов а, Ь, с и любого числа а б К имеют место равенства [а+Ь, с] = [а, с]+[Ь, с] и [аа, Ь] = о[а, Ь].
Пусть т1 = [а+ + Ъ, с]-[а, с] — [Ь, с]. Тогда ( т1, т1) = ( а+ Ь, с, т1)-(а, с, т1) — ( Ъ, с, т1). Из линейности смешанного произведения следует, что (т(, т1) = (а, с, т1) + (Ь, с, тт) — (а, с, т1) — (Ь, с, т1) = О. Это доказывает первое из требуемых равенств. Второе равенство доказывается аналоги чпо. ° Векторное н смешанное произведения в прямоугольных координатах.
Пусть ед, ез, ез — ортонормированный базис пространствь и пусть ет, ез, ез — правая тройка. 1. Найдем координаты векторного произведения [а, Ъ], если векторы а = (а„аю аз) и Ь = (Ьм Ью Ьз) заданы своими координатамв в базисе ет, ез, ез. Согласно теоремам 23.2 н 23.7 имеем [а, Ь] = [ат от+ + аз ез + аз ез Ьт ет + Ьз ез + Ьз ез] = отЬз[ем ез] + ат Ьз[ед, ез] + +авЬт[ез, ет]+азЬз[ез, ез]+взЬт [из, ет]+азЬз[ез, ез]. Отсктда в силу теоремы 23.3 следует, что « , Ь) = о' о' « , « — ' ' « , ,« + ' о' « „ «.
Пусть «а, Ь) = хез+ уев + зез. Тогда, используя равенство (22.4), теоремы 23.3 — 23.5 и замечание 1 (323), получаем, что х = («а, Ь«, ез) = «а, Ь) = з ез —,',3 ез+ ~ 3 ез, (23.4) или, в условной записи в виде мнемонического определителя, (имеется в визу разложение этого определителя по первой строке). 2. Из равенств (23.4) и (22,5) непосредственно находится н смешанное произведение векторов а = (он аз,аз), Ь = (Ьм Ьз, Ьз), с = = (си си сз), заданных своими коордннатамн в ортонормироваином базисе: Звмсчамие 3. Бсли нс»взныв базис вь вз, вз отрнцвтввьно оривнтнровви, то (оь оз, ов) = -1 (теортмв 33Л) и, сввдоввтольно, в оионошвннини (33Д)— (33.б) следует изменить внвви нв противоположимв: (з,а)=-~~ ) -1", "«,+«а,' «~), вт вз ов ) ) а1 от оз (в,Ь)м — а» оз аз ~, (в,ь,с)м-~ Ь| Ьз Ьз Ь1 Ьз Ьз ~ ' ' ~с» оз сз Преобразование аффинной системы координат.
Пусть в пространстве даны две ти«и«уинные (обп(ие декартовы) системы ксюрдинат: (О; еы ез, ез1 и (О'; ез', ез'„ез'). Первую иэ них будем называть "старой" системой 1пюрдинат, а вторую — ' "новой". Пусть 4 я»»»йнм в»»ам*» о»»ь»» в»»»»»ммс»им 324. Преобразование координат (ез, ез, ет) = ~ (ем ез, ез) = з 1 ет ез ез «а, Ь) = а| оз аз Ь, Ь, Ь, п| аз аз (а» Ь, с) о» Ь1 Ьз Ьз сз сз сз 5 24. Преобразование координат оз оз Ьз Ьз Итак, у 24. Преобразование координат Т е о р е и а 24.1. Матрона С = (с~ ) перевода от ортонормнрозанного базнса е к е' ортогональна нюгда и тааько тогда, когда е' — ортонормироеаннмй базис.
Доказательство. Пусть ею ез, ев и ез', ез', ез' — базисы пространства. Из равенств (24,1) следует, что столбцы матрицы перехода С явлиотся координатами векторов ег', ез', ев' в базисе е = (ею ез, ев) Согласно теореме 22.3 отсюда получаем„что ( е„'-, е') = ~ ь, сысь . Следовательно, условие оргонормированности базиса с' равносильно условию (24.4) ортогональности матрицы С. Аналогично рассматривается случай плоскости или прямой. и Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости. Пусть (О; еы ез) и (О', еэ', ез') — прямоугольные декартовы системы координат на плоскости, т.е.
е = (еы ез) и с' = (ег'„ез') — ортонормированные базисы и матрица перевода С = (су) 6 Ф" з ортогональна. Согласно (24.4) имеем ы+4,=1, сыс1г+сг1сгг=О, е~„+кз =1. Из первого равенства следует существование такого у, что сы = = сову, сг1 — — вшу. Из второго равенства следует, что сгг = йип у, сгг = — Й сов у. Отсюда н из третьего равенства получим, что й = т1. Итак, ортогональная матрица второ1о порядка определяется лишь единственным параметром у, при этом либо С = Ы У У, либо С = ° (24.б) 1.
Пусть С= .,тогда ~С~ =1и ~ в)пу сову ~' еэ'=сову. от+вшу. ез, ез' —— — вшу ег+сову ев Умножив скалирно обе части зтнх равенств иа е1 и ез,получнм (рис. 2,а), что (е~', ег) = у, (е~',ез) = г — у, (ев',ег) = г +у, (ез', ез) = у (все углы отсчитываются в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез). О Рис. 2 Глава К Векторяэл алгебра Это означает, что базисы е и е' одинаково ориентированы и что система координат (О', е1', ез') может быть совмещена с (О; ею ез) путем переноса начала н поворота иа угол ю вокруг начала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
