В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда коэфициенты этих линейных комбинаций образуют строки матрицы В. Интересен и матричный вариант скелетного разложения: если Ьь..., ܄— базисные столбцы, а со..., ~ — базисные строки матрицы А, то (16 А) т.е. матрица А б К "" мохыт быть представлена как сумма г матриц размера гп х и, являющихся произведением столбца на строку. Это доказывается следующим образом. Если В, б й "" — матрица, у которой 1-й столбец совпадает с Ьм столбцом матрицы В, а все остальные столбцы нулевые, С; е К"" — матрица, у которой гэя строка совпадает с 1-й строкой матрицы С, а все остальные строки нулевые, то В=В,+...+В„С=С,+...+С„в;С;=Ь; и ВгС,=О ( ~у) А=(В,+...+В„)(С,+...+С„) =~ВгС,=~Ь,г, г 1 $17.
Базис н размерность Определении. Вагпсом линейного проспграисгпеа называется упорядоченная линейно независимая система векторов пространства, через которую линейно выражается любой вектор пространства. Согласно этому определению система векторов ем..., е линейного пространства Ъ' образует базис г', если е ео..., е„линейно независима; ° для любого вектора х Е У существуют числа хм..., х,„такие, что х = хге1 +...
+ хее„. Как показано в э1$, любой ненулевой вектор явлвется базисом линейного пространства г1 векторов на прямой, любая пара неколлииеарных векторов - базисом пространства Ъ'г векторов плоскости, любая тройка некомпланврных векторов — базисом пространства гз. з 1 7. Базис я размерность Теорема 17.1. Система еентпороа ее„...„е„линейного пространства является его базисом тогда и только тогда, когда она абРазует максимальную линейно независимую систему векторое эгпога пространства.
Доказательство. Необходимость. Базис прострзлстваявляется максимальной линейно независимой системой векторов в этом пространстве, так как любая большая система векторов линейно выражается через этот базис ~т.е. через меньшую систему) и на основании теоремы 16.2 линейно зависима. Достаточность. Пусть еи...,е — максимальная линейно независимвл система векторов пространства У, тогда для любого вектора х 6 У система векторов еи..., е„,х линейно зависима, так как содержит более чем и векторов. Из теоремы 14.6 следует, что вектор х является линейной комбинацией ем..., е .
Оледовательно, векторы еи..., е образуют базис пространства У. ° Теорема 17.1 дает другое определение базиса, Итак, все базисы одного линейного пространства состоят из одинакового числа вехторов, равного максимальному числу линейно независимых векторов этого пространства. Это означает, что число векторов базиса является характеристикой не сколько базиса, сколько самого пространства.
Число векторов базиса называется размерностью линейного пространства. Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю, Обозначение: йшУ. Из теоремы 17.1 следует, что размерность линейного пространства равна максимальному числу линейно независимых векторов этого пространства. Линейное пространство размерности и, где и — целое неотрицательное число, называется и-мерным пространством, Любое и-мерное пространство нвзьгвается конечномернмм линейным пространством. Конечяомеряыми пространствами не исчерпываются все линейные пространства: не во всяком пространстве можно указать максимальное число линейно незавнснмых векторов. Линейное пространство называется бесконе номерным, если для любого й 6 уч в нем найдется линейно независимая система из Й векторов.
Из определения размерности в теоремы 17.1 вытекают следующие утверждения. Утверждение 1, Б и-мерном пространстве любие и линейно независимых еекттшрое образуют базис. У тве р жд ен ие 2. В и-мерном пространстве любая система из з еехвюроз, где з > и, линейно зависима. Примеры. 1.
Геометрические пространства Ум Уг, Уг. Из результатов 616 следует, что йш У„= и, где и = 1, 2, 3. 2. Арифметическое пространство )й". В пространстве й" единичные векторы 114.6) образуют базис, так как они линейно независимы н, кзк нетрудно проверить, любой вектор а = ~ам...,а„) пространства Гч" линейно выражается через вих: а = аге1+... +а„е„. Итак, йш И" = и. Глава ХК Введение в теорию линейных пространств 3.
Пространство матриц й "". Рассмотрим матрицы Ем, Е!г~ .. ~ 81п Егм ° . ~ Еще~ у которых все элементы равны нулю, кроме одного: в матрице Ву элемент в позиция (», у) рэген единице. а) Этн матрицы линейно независимы, так кэк нз того, что ~в н ~ ом ... аг„~ ~: „Ь;;-=~ ... ~=С, — оп~ ... о„ следует,чтоа; =О, 1=1,т, 7'=1,п. б) Любая матрица А = (аб) б км"" является линейной комбине цией этих матриц (как видно вз п."а"). Следовательно, эти матрицы образуют базис Ж "" и бппЖ "" = гпп. 4.
Пространство мвогочлевов М„. Многочлены 1,г,сг, ..., 1" образуют базис М„, так как они линейно независимы (314), а любой многочлен р(Ф) = аз + аг1+... +'а„г" е М„является линей- ной комбинацией этих мяогочленов с коэффициентами ае, ам..., о .
Итак, АМ„=о+1. 5. Пространство М многочленов всех степеней (313, при- мер 4) бесконечномерно, твк как для любого й б г( можно указать й линейно независимых многочленов: 1, $, гг,..., гь ~. Координаты вектора. Базис играет большую роль в изучении линейного пространства. С его помощью абстрактные векторы мож- но задавать в виде совокупностя чисел, а операции над векторами сводить к операциям над числами.
Теорема 17.2. Разложение еентара по базису единсгаеен- но. Это утверждение вытекает из теоремы 14.5. ° Коэффициенты разложения вектора по базису называются хоордпноогами вектора е зглом боеисе. Из определения базиса и теоремы 17.2 следует, что каждый вектор имеет координаты, при этом два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Обозначение. Если еп...,е„— базис пространства и (17.1) х = хгег+ ° ° -+хоев то будем обсоначать через х, вектор-столбец из координат векторе, х в этом базисе: х,=~ хг ...
х„~ (17.2) Столбец х, называют хоординогонмм союлбцо и вектора х в базисе ег,...,е„. Положим е = (емег,...,е„). (17.3) Символ е будем понимать как обозначение базиса ем...,с и как матрицу-строку (емег,...,е„). В обогначениях (17.2) и (17.3) разложение (17.1) может быть записано кэк произведение строки е на столбец хе: (17.4) х=ех . э 17. Базис и размерность Теорема 17.3.
При сложении векторов иж координавгы в одном бази«с складываютсл, а нри умножении вектора на чисзо езо координаты умножаюпссл на зто число. Доказательство. Пустьж=~ ",. жсе;, у= 2,". гусь Тогданз аксиом линейного пространства следует, что х+ р = ~,",.~ „(жс + уг)е; и сгх = ~, ож;е;. Следовательно, (х + у),, = х, + р„, н (аж) с = аж,.
® Перегсод к другому базису. Пусть е = (еыег,...,е„) и г' = = (уы уг,..., ун) — два базиса н-мерного пространства г. Выясним, как меняются координаты вектора при переходе от базиса е к базису ), Векторы второго базиса, квк векторы пространства г', рззлагаются по базису е; пусть Л = снег + сыег +... + с ге„, Ь = ссгсс+«ггег+... +с„ге„, (17.5) = сьэсг+ «гнев+... + с„„е„. Коэ4)фициенты с," этих разложений образуют матрицу С = (су) 6 Й~"~, (17 6) которая называется матрицеб нерсжода опг базиса е к базиср у. Обозначение: С илн С, ~~. Замечание.
Соотношение (17.5) в обозначениях (17.3) и (176) могут быть записаны компзктно в виде г = еС. (17.7) Те о р е м а 17.4. Матрица перехода к друсомр базису не емрождсна. Доказательство. Пусть (С~ = 6. Тогда (теорема 16.1, следствие) один из столбцов матрицы С является линейной комбинацией других ее столбцов. В силу свойства линейности координат отсюда следует, что один из векторов Л,...,~„линейно выражается через другие векторы этой системы. Это противоречит линейной независимости ум..., у„. ° Теорема 17.6.
Если С вЂ” матрица перехода от базиса е и базису,Г, то С ' — магарица нережода от базиса У к базису е Доказательство. Пусть ~ = еС. Умножив обе части этого рв.- векства на С г, получим, что с = уС г, откуда в силу (17.7) следует, что С г — матрица перехода от базиса г к бэзису е. ° Т вор ем а 17.6. Координаты вектора х е базисаж е и У связаны между ««боб соотношением ж, =Сху, (17.8) зде С вЂ” матрица пережода ога базиса е к базису у.
Доказательство. Из (17.4) и (17,7) имеем, что ж = еж, и ж = = ~жг = («С)ж с = е(Сху). Отсюда в салу единственности рэзложенвя по базису получаем (17.3). ° 80 Глава Л~. Введение и теорию линейных просгранств $18. Линейное подпространство и линейное многообразие Линейное надпространство. Непусгое подмножество Ь пространства 1' называется лпкебкмм подпростракством прос|прапства г, если оно само является линейным пространством относительно законов композиции, действуюпцгх и г'. Теорема 18.1.
Нгпуспюг подмкоокество Ь пространства У лвллгтсл ликгбпмм подпрострапством этого пространства тогда и только пюгда, когда имеккп меспю пмпликацпп: абеб ~ а+ЬеХ; аеЬ,аеК =ь пака. (18.1) Доказательство. Необходимость очевидна, так как если  — линейное пространство, то результаты выполнения операций над злемепгамя из Ь находятся в Ь. Достаточность. Соотношения (18.1) говорят атом, что операции сложения и умножения иа число являются законами композиции в Ь. Остается проверить, что они подчиняются всем ахсиомам линейного пространства. В действительности же необходимо проверить только аксиомы нуля и противоположного элемента„так как выполнение остальных аксиом очевидно. Возьмем произвольный злемент а Е Ь, тогда Оа = й и (-1)а = — а. Из (18.1) следует, что д е Ь и — а е Ь. Итак, Ь вЂ” линейное надпространство пространства г .
° Свойства (18,1) называют свойствами замкнутости мкожгсгпва Е относительно ухазанных операций Примеры, 1. Каждое линейное пространство обладает двуми лодпространствами: нулевым подпространсгвом (состоящим из одного нулевого вектора) и самим пространством.
Эти подпространства называются трпбпагькымп. 2. Геометрическое пространство Ъ~ векторов на прямой имеет два тривиальньгх надпространство. Геомегрическое пространство гг векторов на плоскости, кроме тривиальных надпространств, имеет бесконечно много нетривиальных: каждое вз нвх является пространством всех векторов, концы которых лежат на прямой, проходящей через начало координат (илн если отойти от соглашения об откладывании всех векторов от начала координат, то пространством всех векторов, параллельных некоторой прямой). В геометрическом пространстве (гз векторов пространства каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через начало координат, определяют линейное надпространство.
3. В пространстве многочленов М„каждое пространство Мы где 0 < й < п„образует линейное подпросгранство. Линейное аффинное многообразие. Примеры линейных подпространств в геометрических пространствах дают геометрический образ подпространства клк прямой нли плоскости, проходявзей через $18. Линейное подпространствон линейное многообразие 81 начало координат. Возникает естественный вопрос, что же будет аналогом других прямых и плоскостей в произвольном линейном пространстве. Ответим на этот вопрос. Пусть К вЂ” линейное пространство, Х вЂ” некоторое его надпространство, ха — некоторый вектор пространства Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
