В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Теорема 11.2. Длл лнтбмявекторов а и Ь сущеставует, и иритоом единственнал, рыностаь Ь вЂ” а. Доказательство. В качестве разности Ь вЂ” а можно взять вектор Ь+(-а), так как а+(Ь+( — а)) = а+((-а)+ Ь) = (а+(-а))+ + Ь = О + Ь = Ъ. Эта разность единственна, так как если с — еще одна разность, то с = с+ О = ( с+ а) + (- а) = Ь + ( — а). ° 3 а м е ч а н и е. Правило пврал- +Ь лелограммв сложения неколлине- а а+ арных векторов а и Ь позволяет построить и разность Ь вЂ” а Ь вЂ” а как другую диагональ параллело- Ь грамма (рис, 4). Ряс. 4 Глава Ш. Геометрические векторы Умножение вектора на число. Произведенном вектора а но вещественное число а называется вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям: 1) )Ь| = ~а) )в! и, в случае Ь ф О, 2) Ь11 а,еслиа>0,и Ь|4 а,есина(0. Обозначение: Ь = аа.
Очевидно, что векторы а и аа коллинеарны н что Оа= аО= О. Теорема 11.3. Овсрацня умноженьл вектора нв число обладает следрощпмн свойсвюамн: для любых векторов а, Ь и чисел а,)36)к 1) 1.а= а; Ф(с4)а= (Ри); , ф (о+р) а = он+фа (свойство дистрнбутнвности умножения на несло относительно сложения чосся); ф ) о( а+ Ь) = а а ~- а Ь (свойство дострибутивностн умножения на число относитавьно сложения векторов).
Доказательство. Свойство 1 очевидно, Свойства 2 и 3 проверяются перебором различных вариантов знаков и абсолютных величин чисел а и р, Свойспю 4 вытекает из подобия треугольников (рис. 5). Здесь следует отдельно рассмотреть случай, когда векторы а и Ь коллинеарны. ° Ь аЬ а(а+ Ъ) (а > 0) Рис.
5 (о < О) $ 12. Векторы на примой, на плоскости и в пространстве До сих пор мы рассматривали свободные векторы в пространстве. Мы определили векторы и операции над ними, исходя из направленных отрезков, начала и концы которых — любые точки пространства, Свойства этих операций относились к произвольным векторам пространства. Можно дать такое же определение вектора и операций над ними, оставаясь в пределах некоторой плоскости или даже прямой. Прн этом оказывается, что все утверждения, изложенные в $10 и 11, останутся, по существу, неизменными, незначительное изменение коснет- 3 12.
Векторы на прямой, на плоскости н в пространстве 61 ся лишь их формулировок: в них добавится уточиеняе, какое именно множество векторов рассматривается. В сэмом деле, пусть Ум Уг и Уэ — множества всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно. Еак следует из определения суммы векторов, если а, Ь б Ут (Уг илн Уэ), то а+ + Ь б Ут (Уг или Уг соответственно), т.е. операция сложения векторов не выводит за пределы данной прямой (цлоскости илн пространства), Значит, операция сложения векторов является алгебраической операцией (или внутренним законом композиции) на каждом из множеств Ут, Уг или Уэ (39). Аналогично операция умножения вектора на действительное число является внешним законом композиции на каждом вз указанных множеств. Если к этому добавить еще, что каждое из них содержит нулевой вектор 0 и противоположный вектор — а к любому своему вектору а, то теоремы 11,1-11.3 можно отнести к каждому из множеств Ут, Уг, Уэ.
Сформулируем этот итог в виде следующего утверждения. 3т тве р жде н ие. Мноотсестпво У„, где и = 1,2, 3, всех векторов на прямой (на плоскостна или в простарансптве) наделено внутаренним законом композитйти (называемым слогтсением,т и внешним законом композиции (называемым умногтсением на число), которъи обладаютп слвдутотцими свойсшвамит для любил а, Ь, с е. У„и тт„13 б Ж 1) а+Ь= Ь+а; 2) (а+ Ь)+ с = а+ (Ъ+ с); 3) ЗОБУ„: а+ 0= а,ЧаЕУ„; 4) Ча е У„З ( — а) б У„: а+ (-а) = 0; б) 1.а = а, Ча Е У„; 6) (ттту) а = сто а); 7) (а+ 11)а= ста+ ~За; 8) а(а+ Ь) = тта+ ттЬ. Отметим, что, прежде чем сделать этот вывод, мы проверили лишь факт наличия законов композиция и справедливость свойств 3 и 4. Очевидно, остальные свойства не нуждаются в проверке.
К свойствам 1 — 8 остается добавить, что операция сложения векторов на каждом иэ множеств 1тм Уг, Уэ обладает обратной операцией, называемой вычитанием. Замечание Свойства 1-8 говорят о том, что множества Ум Уг, Уэ, будучи, вообще говоря, различными„обладают общими свойствами. Такими же свойствами обладает н совсем непохожее на них множество К "" матриц размера пг х и Я2). Очевидно, зто относится я к множеству К всех действительных чисел, если операцию умножения чисел рассматривать как внешний закон композиции. Уже эти примеры наводят на мысль о целесообразности общего взгляда на этя множества. В следующей главе мы увидим, что рассмотренные в примерах множества — это лишь частные проявления того круга формальных понятий, который составляет основу линейной алгебры и аналитической геометрии.
Глава 1У. Введение в теорию линейных пространств $ 13. Вещественное линейное пространство Определеиия. Мы будем рассматривать множества, наделенные двумя законами композиции: внутренним и внешним (39). Внутренний заков композиции будем иазывать сложением, а виешиий — умножением иа веществеиное число, Согласно этоЛ термииологии яа этих множествах укпзаяы два правила: ° правило, посредством которого любой упорядоченной паре элементов а, Ь миожества ставится в соответствие одяозвачко определенный элемент а+ Ь из этого же множества, яазываемый суммой элементов а и Ь; ° правило, посредством которого любому вещественному числу а и любому элементу а мвожесгва ставится в соответствие одвозиачио определеивый элемент аа этого же мжокествп, называемый произведеяием элемента а иа число сг.
Непустое множество У называется ееп1есщвеккылс лккеккзьм кросгпраксглеом, если на вем заданы два закона композиции: внутренний заков композиции, подчивевиый аксиомам 1) а + Ь = Ь + а, Ча, Ь Е У (аксиома коммутативиости), 2) (а+ Ь) + с = а+ (Ь+ с), 1га, Ь, с Е У (аксиома ассоциативяости), 3) ВОЕУ:и+9=о, тоЕ У, 4) Ч а Е У В ( — а) Е У: а+ ( — а) = й; внешний закон композиции, подчииеияый аксиомам 5) 1 . а = а, 'т'а Е У, 6) (сп3)а = о()3а), 1сг, 13 Е Й, Ча Е У; и ешли оба закона связаны между собой аксиомами Т) (а+13)а = аа+фа, Ча, д Е Ж, 'та Е У (аксиома дистрибутивиосги ожеиия яа число относительно сложении чисел), 8) а(а+Ь) = сгп+сгЬ, 1га Е Ж,'за, Ь Е У (аксиомадистрибугивиости ожеиия иа число отпосительво сложения злемеитов У).
Линейное пространство называют также ееюпоркым простпраксшволь Отметим, что определение линейного пространстве не с<щержнт квкнх-либо конкретных описвний его элементов н оперений нвд ними. 'требуется только, чтобы зги опередим были определены и подчинялись сгрормулироввн~ым выше вопи ми вксиомвм, ньтывьсмым ексиомамн инмейнсно просглраясглва. Это означает, ' и гл. Х11 будут рвссмвтрнввтзся линейные прострвнствв общего вида, когда в оперении умножеияя нв число учвствушт не только вещественные числа.
3вбггел вперед, отметим, что все результвты денной главы будут справедливы и в общем си учел. »» ~ З 13. Вещественное линейное пространство по каждый рез„когда мы встречаемся с множествамк, наделениымц операциямя, удовлетворяющими перечисхеииым аксиомам, мы вправе счатать их линейными пространствами и переносить на них все результаты теории линейных пространств. Элементы линейного пространства называются векторами. Использование этого термина не случайно, геометричность терминологии подчеркивает геометрический характер абстрактных алгебраических понятий, делает их "наглядиымия я помогает уяснить, а зачастую и предвидеть не всегда очевидные факты.
Вектор д называется нраееьсы вектором пространства, а вектор (-а) — прогпиеополохспыы еехтпору о. Нулевой вектор обозначают также символом О. Разпосгпъю векторов Ь и и линейного пространства Ъ' называется вектор х й 'гг такой, что а+ я = Ь. Обозначение: Ь вЂ” а. Примеры. 1, Геометрические пространства У1, 1ж )Уз.
Как следует из й12, множества г~, $"з $гз всех векторов яа прямой, на плоскости и в пространстве являются вещественными линейными пространствами относительно введенных в ннх операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Эти пространства будем называть геолсепзричесянми. Для нзображеиил геометрических пространств Уы ЪЪ, '»з условнысн все векторы откладывать от одной Фиксированной точки О на прямой (на шюскости и в щюсгранстве соответственно). Прн таком соглашении каждый свободный вектор будет одиомсачно определен своим концом.
В етом смысле мы будем, говоря о свободном векторе, указывать только его конец. Точку О будем (пока условно) называть началом координат (рис. 1). 3 Л»»м»м мобр»»»»»ет»»»»хм п»»»С»» Рис. 1 2. Пространство вещественных матриц К"'"". Как следует из теорем 2.1 и 2.2, множество К""'" всех вещественных матриц размера гп х и является вещественным линейным пространством. 3. Арифметическое (координатное) пространство К". Пусть К" — множество всевозможных упорядоченных наборов и действктельных чисел, называемых арефлсетпическилси еектаараыц (или илсермьию еекпгараыи). Если арифметические векторы зглисывать в виде а = (о1,..., а„), то К = (а = (аы..., а„) ) а; б К, г = Х, п). два арифметических вектора а = (а1, ° .,ао) и Ь = (Ь1 ° ° ~Ья) называются раепььми, если а, = Ьп 1 = 1, и. Операции нвд арифметическими векторами вводятся следующим образом: а+Ь = (а1 +Ь1,...,а„+ Ь„), па = (аог,...,ааа), а х К.
Глава гК Введение в теорию линейных пространств Нетрудно проверить, что 36" — вещественное линейное пространство относительно введенных операций. Замечение 1. Отметим, что йа — декартова п-я степень миожества Ж всех вещсствеииых чисел. 3 ем е ч е и о е и Ииосда из соображеиии удобства мы будем записывать арифметические векторы в виде столбцов. Заыечаиое г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
