В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть а, Ь вЂ” векторы непрямой и а ф О. Отложим нх от одной точки О прямой. Пусть а = ОА, Ь = ОМ (рнс. 2,а). Если Ь = О, то Ь = Оа. Если же Ь ф О, то, взяв )ОВИОА(, а-(-( Ь, — ~МИСЙ), а'Ц Ь, согласно определению произведения вектора на число получим, что Ь= па. 2. Пусть а, Ь, с — векторы плоскости и а, Ь иеколлинеарны (значит, ни один нз них не равен О). Отложим эти векторы от одной точки Оплоскостн.
Пусть н= ОА, Ь= ОМ, с= ОС (рис. 2,б). Если с = О, то с = О а + ОЬ. Если же с ~ О, то проведем из точки С прямые, параллельные прямым ОВ и ОА, до пересечения с прямымн ОА и Будем рассматривать геометрические векторы на прямой, на плоскости и в пространстве. Выясним, что означает линейная зависимость геометрических векторов. Предварительно докажем два чисто геометрических утвержденна. Утверждение 1. На прямой (на плоскости и в пространстве) существует ненулевой вектор (соответственно два неколлинеарнык и три некомпланарных вектора). Доказательство. В случае прямой достаточно взять две несовпадающие точки О и А (рис. 1,а), тогда вектор а = ОА ф О. Па плоскости достаточно взять три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой (рнс, 1,б), тогда векторы а = ОА и Ъ = 04 неколлинеарны. В пространстве достаточно взять четыре точки О, А, В, С, не лежащие в одной плоскости (рнс, 1„в), тогда векторы а = ОА, Ь = ОВ и с = ОС некомпланарны.
° з 15. ЕЬометричвский смысл линейной зависимости 69 ОВ соответственно, Пусть Ам Вг — точки пересечения этих прямьгк (существование точек пересечения следует из неколлинеарности ОМ и ОВ). Тогда Ос1 = ОАг+ОВг. Отсюда и из первой части утверждения получим, что с = а а+ ф Ь.
3. Пусть а, Ь, с, й — векторы пространства и а, Ъ, с некомпланарны (значит, попарно неколлинеарны и, тем более, ян один из них не равен О). Отложим эти векторы от одной точки О. Пусть а = ОА, Ь=ОВ,с=ОС,',А=ОВ(р..2,в).Т рыОА,дМ, ОС попарно неколлинеарны, то получим трн плоскости ОВС, ОАС и ОАВ.Б А=О, 6=6 +6Ь+6 .К аг16,топроведем из точки .0 плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОАС и ОАВ, до пересечения с прямыми ОА, ОВ и ОС соответственно. Пусть Аг, Вы Сг — точки пересечения(существование точек пересечения следует — Ф вЂ” Ф яз некомпланарности ОА, О и ОИ). Тогда ОО = ОАг +ОВг +ОСь Отсюда и из первой части утверждения получим, что 6 = а а+ 6 Ъ+ + ус. ° в) О аА А Рис. 2 Т е о р е м а 15.1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарнм, Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы а, Ь линейно зависимы, тогда в силу теоремы 14.2 один из них линейно выражается через другой. Пусть Ь = сг а. Отсюда и из определения произведения вектора на число следует коллинеарность а и Ь. Достаточность. Пусть а и Ь коллинеарны, те. параллельны одной прямой. Будем считать, что а ф О (так как если а = О, то линейная зависимость а, Ь следует из теорем 14.1 н 14.3). Отложим а, Ъ от одной точки. Тогда онн окажутся на одной прямой, при этом, согласно утверждению 2, Ь = а а. Б силу теоремы 14.2 отсюда следует линейная зависимость а, Ь.
° Следствие 1. Любые два (значит, и более) вектпора прлмай линейно зависимы. Глава г"г'. Введение в теорию лняейных пространств Теорема 1$.2. Три еекяюра линейно зависимы тогда и только тпогда, когда они компланарны. Доказательство. Необходимость. Пусть векторы а, Ъ, с линейно зависимы, тогда один из них линейно выряжается через другие, Пусть с = па+ ()Ь, Если а и Ь коллинеарны, то а, Ь, с коллинеарны и тем более компланарны.
Если же а и Ь неколлинеарны, то отложим векторы а, Ь, с от одной точки 1рис. 2,6). Тогда вектор с, являясь диагональю параллелограмма, построенного иа векторах а а и,8Ь, оквжется в той же плоскости, что и а, Ь. Значит, а, Ь, с компланарны. Достаточность. Пусть а, Ь, с компланарны, те. параллельны одной плоскости. Будем считать, что а, Ь нщозапииеарвы 1так как если а, Ь коллииеарны, то линейнел зависимость а, Ь, с следует из линейной зависимости подсистемы). Отложим а, Ь н с от однсй точки. Тогда они окажутся в одной плоскости и иа основании утверждения 2 имеем с = он+ ВЬ.
В силу теоремы 14.2 отсюда следует, что векторы а, Ь, с линейно зависимы. ° Следствие 2. Любыг три (значит, и более) вектора илоскоспзи линейно зависимы. Т ео ре ма 15.3. Любые чегиыре егкпэора линебно зависимы. Доказательство. Будем считать, что в четверке векторов а, Ь, с, г1 векторы а, Ь, с некомпланарны 1так как если а, Ь, с компланарны, то линейная зависимость а, Ь, с, с) вытекает из линейной зависимости подсистемы). Тогда на основании утверждения 2 имеем с) = а а+)э Ъ + З с.
В силу теоремы 142 отсюда следует, что векторы а, Ь, с, д линейно зависимы. ° Итак, понятие линейной зависимости является обобщением понятий коллинеарности в коыплвяарности геометрических векторов. Трудно не звметить логическое "однообразие" формулировок и доквэигельстз изложенных выше теорем. Мы не старались уходить от повторений, чтобы подчеркяуть эвк похожи по своей структуре трв рззличвых линейных прострзнатяв )Гь рз и гз — векторов нв прямой, нв плоскости и в пространстве. резюмируем полученные резульзвты. Итак, для я = 1, 2, 3 в лияейиом пространстве )га 1) существует линейно неэвэисимвя система из я век:горов, в любви система нз большего числа векторов лннжзяо зввисиме; 2) существует линейно независимая системз из я векгарав, в любой вектор пространства ря линейно вырвжзегся через них; 3) максимальное число линейно иеэввнсимых векторов равно я.
Мы выделили общие свойства, эарвктерные для рвзлнчяых линейных прострвнсгв И, )Гэ н гж Вазнилвет естественный вопрос, ве являются ли оня общими для всех линейных прсстрвнств. Прежде чем отвеппь нв этот вопрос, обрвтимся вновь к мэтрицвм. $ 16. Ранг матрмцы Понятие линейной зависимости векторов тесно сэяэвио с понятием матрицы. Если рзссмвтрнввть сроки и столбцы матрицы А б Ж'""" квк векторы врнфметических пространств Ж и йм, та окззыввется, что одне нэ нежнейших хврвктернстик матрицы определяется свойствам линеййай завясимостя ее отрок и столбцов. В свою очередь, ззв хвректерисгикз будет удобным вяпкрвтом двльнейшега наследования лниейиых щюстронсгв. у 16.
Ранг матрицы Рвиг матрицы и лииейнин зависимость. Ранее»«ненулевой матрицы назывмтся максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю. Обозначение«гкА, гапкА«гд идр, Из определения вытекают следующие факты: 1) ранг матрицы не превосходит ее размеров: если А й К"'~'", то гкА < пйп(т,о); (16.1) 2) равенство гк А = т > О равносильно выполнению двух условий: а) в матрице А существует ненулевой минор г-го порядка, б) любой минор более высокого порядка равен нулю. Пусть гйА = г > О.
Любой ненулевой минор г-го порядка этой матрицы наэываетсв базисны,и манером„а строки и столбцы, в которых расположен базисный минор, — бавнснь»«ив св«рвиа»«и и слюлбцими. Разумеетси, у матрицы ьвпкет существовать не один базисный минор, но все они имеют один и тот же порядок, равный рангу этой матрицы. Т е о р е м а 16.1 (о базисном миноре). Баввсвмв строки (сяюлбцм) линейно независима. Любая строка ('столбец) лвллетсл лонейнвй ка»«бвнацией баэнснь«х строк (сп«влбцов).
Доказательство. Докажем столбцовый вариант теоремы. Пусть А = (а,. ) б Ж "" и гйА = г > О. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор М„находится в левоы верхнем углу. Тогда баэнсными столбцами будут первые г столбцов: а«~аз~ ° ° ~а1 ° Линейная независимость базисных столбцов доказывается от противного. В самом деле, пусть это не так. Тогда на основании теоремы 14.2 один иэ базисных столбцов является лянейной комбинацией других базисных столбцов. Но тогда и в миноре М, один из столбцов будет линейной комбинацией других столбцов и М„= О.
Это прот«ь воречит тому, что ̄— базисный минор. Пусть теперь ໠— произвольный столбец матрицы А. Покажем, что он является линейной комбинацией столбцов аьаэ,...,в, Будем считать, что Й > г (в случае Л < г утверждение очевидно, так как а» = Оа«+ ... + Оа»-«+ а» + Оа»ь» + .. + Оа„). Найдем числа омам...,о„е К такие, что а» = ,'>," о,а, или, в поэлементной записи, в;«„, = ~о,а;„1= 1,гл.
«=« Для этого составим вспомогательную матрицу ап .. а1««»и ««ы " а«.«. аг» а««а«» 72 Глава Лг. Введение в эюрнго линейных пространств полученную ояаймлением минора М, ь й строкой и й-м столбцом матрицы А, Очеющно, ~бч~ = О, 1 = 1,т, так кэл в случае, когда 1 < г, матрица Ь; содержит две одинаковые строки, а в случае, когда 1 > г, !Ь,1 является минором (г + 1)-го порядка матрицы А ранга г.
Разложив ~Ь; ~ по последней строке, получим О = ам А1+а зАг+... +а;„А„+ + ашМ„где Ам Аг,..., А„являясь алгебраическими дополнениями к элементам вычеркиваемой строки, не зависит от а, Отскоса, полагая а, = -А,/М„, е = 1, г, приходим к (16.2). и Следствие 1 (необходимое и достаточное усаоеие равенства нулю определитеел) Определюипсль матрицы равен крезо тогда и толысо тогда, когда какал-либо ее строка (столбец) леллетсл линейной комбинацией других ее строк (столбцов). Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
