В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Внутренним законом композиции (алэебраической операцией) на множестве Х называется отображение *: ХхХ-+Х, т.е. закон, посредством которого любой упорядоченной паре элементов а, Ь Е Х сгавится в соответствие однозначно определенный элемент с й Х. Тот факт, что (а, Ь) ~-+ с, запнсываетси символически в виде а * Ь = с В конкретных случаях вместо символа * используют сиююлы +, —, х,: и др. Примеры. 1. На множестве натуральных чисел И операцни сложения и умножекия чисел являются алгебраическими операциями, так как любые два натуральных числа можно сложить (и умножить), при этом результатом будет также натуральное число.
На этом же множестве операции вычитания и деления не явлюотся алгебраическимн операциями, так как результаты выполнения этих операций не всегда будут натуральными числами. 2. На множестве вещественных чисел Ж операции сложения, вычитания, умножения (но не деления) чисел будут алгебраическими операциями. 3. На множестве ненулевых вещественных чисел И\10) операции умножения и деления (но не сложения и вычитания) будут алгебраическими операциямн. 4. На множестве Ж "" матриц размера гнхщ где пт Ф и, операции слащення и вычитания (но не умножения) матриц являются алгебраическими операциямя.
б. На множестве $Г"" квадратных матриц п-го порядка операции сложения, вычитания и умножения матриц — алгебраические операции. б. На множестве Я„подстанозок в-го порядка умножение подстаиовок является алгебраической операцией. Алгебраическая операция * на множестве Х называется: э хоммутатвиеной, если а*Ь= Ьэа, Чо,Ь е Х, э ассоцнативной, если (а * Ь) э с = а * (Ь ь с), Ча, Ь, с б Х. Операции сложении и умножения чисел э К коммутативны и ассоциативны Сложение матриц, как уже отмечалось в з2, также коммутативно и ассоциативно, Примером некоммутативной, но ассоциативной алгебраической операции могут служить операции умножения матриц в К""" и суперпозиции отображений на множестве всех отображений множества Х в себя.
Обобщенная ассоциативность. Свойство ассоциативности алгебраической операции означает, что результат применения операции к трем элементам не зависит от распределения скобок, указывающих на порядок последовательного применения операция к парам элемен- тов. Для ассоциативной операции зто же верно и для любого конечнога числа и элементов. Теорема 9.1. Если алгебраичесагя операция «на мноз»сестее Х ассоциативна, пю результат ее применениэ к и злементпам не зависит от расстановки скобок«лить бм скобки обэединяли пары элементов, указывая на порядок последоеатпального применения операции к двум элементам.
Доказательство. Докажем индукцней по и. Для и = 3 оно, очевидно, верно. Пусть утверждение верно для любого Й < п, докажем его для Ь = и. Пусть в выражении а« * аг * . «а„произвольным образом расставлены скобки. Заметим, что последним шагом будет всегда выполнение операции над двуми элементами а» * ":«аь н аз+1 *- .
» а„, 1 < Ь < и — 1. Твк как Ь < и, то оба выражения не зависят от распределения скобок. Осталось показать, что (а»» " * а«) «(аз+« * ° * а») = (а«« ° ° . *а ) «(а +г « ° ° «а„,), где 1 <»и < и — 1. Пусть Ь < т Обозначим а» « . «аг = а, аз+«« ° «а = Ь; а +«* ° .- «а = с. Надо показать, что а «(Ь «с) = (а» Ь) «с, а зто действительно верно.
и Элемент е 6 Х называется ней»пральнмм элементом мноз»сесп«за Х относительно алгебраической операции «, если Уа 6 Х: а *е = е*а = а. Примеры. 1. Очевидно, что число 0 6 К является нейтральным элементом относительно операции сложения чисел в К, а матрица О й К"'"" — нейтральным элементом относительно сложения матриц э К»« "», Операции вычитания чисел и матриц не обладают нейтральнь«ми элементами.
2. Также очевидно, что 1 б К и 1 6 К""" являются нейтральными элементами относительно операций умножения чисел в К и матриц в К""" соответственно. Операция умножения на множестве всея четных чисел, являясь алгебраической операцией, не обладает нейтральным элементом, Т е о р е м а 9.2.
Нейтральны»1 элемент единспгеен. Доказательство. Действительно, если е1 и ег — два нейтральных элемента, то е» «ег = ем так как ег — нейтральный элемент, и е« * ег = ег, так как е» вЂ” нейтральный элемент. Значит, е« = ег. и Пусть « — алгебраическая операция на множестве Х, обладающая нейтральным элементом е. Элемент х' нэзывэется сил»мзтричнмм элементом для элемента х е Х, если х «х' = х' «х = е. Примеры.
Очевидно, что любое число а е К и любая матрица А Е К "" обладают симметричным элементом относительно опера.- ции сложения: нми являются ссютвегственно противоположное число — а н противоположная матрица -А. Что же касается умножения чисел в К и умножения матриц в К""", то не каждый элемент обладает симметричным. только нену- Глава П. Теоретико-зпюжественные понятия левое число а Е К и невырожденнал матрица А Е К""" имеют симметричные элементы: ими являются соответственно обратное число а ' и обратнвл матрица А г Яб). Т е о р е м а 9.3, Симметричный эламент относительно ассоциативной алгебраической операции единствен.
Д о к аз а те л ь с т в о. Действительно, если х' и ха — два симметричных элемента к элементу х Е Х, то х' = х'*в= х'*(х э хи) = (х'*х)*ха = еаза = х". ° Замечание. В определеннн нейтрального н симметричного элементов мы считали, что х ь е = е * х = х н х ь х' = х' е х = е, Но можно рассматрлвать только равенстве х ь е = х н х * х' = е (ллн е * х = х н х' е х = е) н гонэрнть о правом нейтральном н правом симметричном элементах (нлн о левом нейтральном н левом симметричном). Этим обобщением мы будем нногдв пользоваться. Говорят, что алгебраическая операция:г на множестве Х обла деву обратной операцией, если для любых двух элементов а, Ь Е Х уравнения а* х = Ь и р е а = Ь имеют единственное решение.
Наличие обратной операции означает существование двух алгебраических операций. Первая ставит в соответствие любой упорядоченной паре элементов а, Ь Е Х однозначно определенный элемент х Е Х такой, что а е х = Ь, и называется правой обратной операцией к операции *, а вторая — элемент р Е Х такой, что р е а = Ь, и называется левой обратной операцией Но если алгебраическая операция э коммутативна, то х = р и обе операции совпадают и определяют обранзнрю операцию к операции э. Очевидно, вычитание чисел в К и вычитание матриц в К™ х " — операции, обратные к операции сложения вКиК "". Пусть е1 и гг — две алгебраические операции на множестве Х. Алгебраическая операция э1 называется дистприбутивной справа относительно алгебраической операции *з, если (аезЬ)эгс=(аэгс)*г(Ьэ,с), 'Фа,Ь,сЕХ; дистрибутивной слева, если а *1 (Ь *з с) = (а аг Ь) *з (а *г с), Уа, Ь, с Е Х; и дистрибутивной, если она днстрибутнвна и справа и слева. Пример.
Умножение чисел в К (матриц в К""") дистрибутивно относительно сложения в К (К""" соответственно). Но сложение не дистрибутивно относительно умножения. Пусть на множестве Х задано отношение зквнвэлентносгн, Нами уже отмечалось э $7, что, наэвэа элементы множества зквнввлеятнымя, мы ожндаем, что в одной н той же снтуацнн онн должны проявлять себя одинаково.
В первую очередь это относится к элгебранческнм операциям, в когорых участвуют зквнвалентные элемеятьь Алгебраическая операцня ь на множестве Х назывеатся согласованной с отношением эквнвалентностн на этом множестве, если нз того, что аг аз, Ьг Ьг, следует, что аг е Ь| аз е бэ, т.е, алгебраическая оперецня, примененная к эквввэлентным элементам, дает эквнвалентныв результаты. Это эвсгавляег нас прн внеденнн тех нлн иных злгебранчынях операций проверять выполненне этого требовання. Мы не будем осгэнавлнваться на этом, а предлагаем чвтателю самому убеднться в справедливости данного свойства у всех рассматрнвеемых операций. у О. Алгнбраичесиие законы Заметим, что в ваших рассужценнях, говоря о внутренних законах юзмпознцнн, мы всюду испольэовали термин "алгебраическая опервпкв".
Зто ве случайно. Как правило, термин "внутренний закон композиции' используют в тех случаях, когда наряду с внутренним законом композиции рассматрявается н внешний закон компсаицки. Внешний закон композиции, Пусть Х и Р— два множества, Вмензммм локоном композиции ма ммошсесшее Х называется отобрв жение (): Рхх-+Х, т.е, закон, посредством которого любому элементу а б Р н любому элементу з Е Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент с б Х.
Тот факт, что (а,з) ~-~ с, обозначается символом с=аз. Умножение матрицы А б В "" на число а и ЬЬ является внешним законом композиции на множестве Ж "". Умножение чисел в 1к можно рассматривать н как внутренний закон композиции, н как внешний. Внешний закон композиции на множестве Х называется дпсшрибзтппеиым ошносмтедомо емушренмеео закона комаовнцнн е в,Х, если а(о е Ь) = ао е аЬ, та ~ Р, 1го, Ь е Х.
Внешний закон композиции на мнолсестве Х назъшается днспзрпбушмеммм отмоситааько емушрвнкеео локона композиции *' в Р, если (а 'В)о = ац*Во, 'та,В б Р, та 6 Х. Умножение матрицы А б К"'хн на число а б К дистрибутивно как относительно сложения матриц, так н относительно сложшшя чисел, ибо а(А+ В) = аА+ аВ, (а + В)А = аА + ВА. Глава 1П. Геометрические векторы Основными объектами геометрических исследований явлиются точки, прямые и плоскости в пространстве.
С математической точки зрения логически безупречным методом введения этих понятий является аксиоматический метод, получивший завершение в трудах Гильберта. Существуют различные версии аксиом евклидовой геометрии. Мы оставим в стороне зти исследования, ограничившись ссылкой на Приложение к этой книге и формулировками тех фактов, на которые непосредственно будем опираться. Отрезок [АВ) — зто множество, состоящая из точек А я В и всех точек прямой (АВ), которые лежат между точками А и В.
Каждому отрезку [АВ[ можно поставить в соответствие неотрипательнае действительное число [АВ[, называемое Взимай ыарезка [АВ) и удовлетворяющее следующим акскомам: Ц аксиома тождества: [АВ[ > О, тА, В, [АВ[ = О тогда н только тоща, когда А = В, 2) ыссиома симметрии: [АВ[ = [ВА[, 'тА, В; 3) неравенство треугольника: [АВ[ < [АС[+ [СВ[, ЧА,В С, [АВ[ [АС[+ [СВ[ тогда и только тогда, когда тачка С лежит на отрезке [АВ), Длина отрезка [АВ) нэзызмтся также рзсстояюым между'тачками А и В н обозначается символом р(А, В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
