В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Минор М'.";"'",, как определитель Й-го порядка, представляет собой сумму произведений Й элементов матрицы А. Точно так же н алгебраическое дополнение А' ',"'*-; является суммой произведений и — Й элементов матрицы А. Значит, произведение 2 л«««ь «««и«бр«««««««««««««««««««««ч«« 32 Глава 1. Матрицы М',".*"".А"""".", а следовательно, и вся правая часть (4.6) представляет собой сумму произведений п элементов матрицы А. Обозначим зту сумму чер~ Я и покажем, что она совпадает с деФ А как с суммой (4.3) членов определителя с соответствующими знаками. 1.
Сначала покажем, что произведение которую сумму членов деФА, причем с теми же знаками„с какими они входят в деФА. а) В простейшем случм, когда ми- А = нор М',", '"'„находится в левом верхнем углу матрицы А (рнс. 1), дополнительный минор будет занимать правый ниж- Рис. 1 ний угол, при этом он будет совпадать с алгебраическим дополнением, тэл как (-1)~'+з+- +Ю+~)+э+- +ь) = 1 Возьмем произвольный член минора М',"-,"""'„: (-1) ~ )анмаз,. ...
аь „и произвольный член дополнительйого к нему минора: ( — 1) аа+цэь,,аэ+З,эьэ,... а В„. Фв) Тогда щюизведенне МД",""; А~",„',"', есть сумма произведений вида ( — 1) 11п(а)+ибэ) а|и,аь*,... оьц,аь)-)„в„„... а„в„. В этом произведении все сомножнтели находятся в разных строках и резных столбцах матрицы А, следовательно, оно будет членом деФА. Знак этого члена равен (-1) ~ ' "' 'В1 о'"*В ), где)9' = )3 +к. Но 1к) и(ам..., сц„)3~+„..., Д„') = п(а) + в(3'), так как никакое аг нв с каким ф'. не образует инверсий: все пч < )г, а все )3' > й. Прн этом п(19') = ггпу), так кэк все инверсии и порядки в обеих перестановках сскраняютсл.
Таким образом, произведение М1Д,*"'*.'А"'."""" представляет собой некоторую сумму членов деФ А, причем с теми же знаками, с какими они входят в дев А. б) Общий случай минор» М„",~~""'„сводится к рассмотренному следую|цим образом. Будем переставлять 1)-ю строку матрицы А последовательно со всемв предыдущими до тех пор, пока она не займет место первой строки.
Затем точно так же будем переставлять Фз-ю, ., ц-ю строки до тех пор, пока они не займут места второй, ..., й-й строк ссютветственио. Аналогично переставим .))-й, уз-й, ..., уь-и столбцы до тех пор, пока они не займут места первого„второго, ..., й-го столбцов. При этом всего будет выполнено (1) — 1)+. +(гь — й)+(Л вЂ” 1)+,"+Оь — й) = = (Ва +... + Фь) + Ь + .. -+ )ь) — 2(1 +... + й) (47) 8 4. Определители Зз перестановок строк н столбцон матрицы А. В результате этих перестановок матрица А преобразуется в матрицу В, в которой рассматриваемый минор М"","'-", матрицы А займет левый верхний угол.
Так кэк при указанных преобразованиях взаимное расположение строк н столбцов дополнительного минора не изменилось, то дополнительный минор к минору М",™,'"'", в матрице А останегсв дополнительным к нему и в матрице В. Из п. "а" следует, что произведение М*ф" "„М„," „является суммой членов бег В с теми же знаками, с какими они входят в дегВ. Но, согласно свойству 6 определителя и равенству (4.7), ггегА = ( — 1)9»+" +"~+~"+".+1»~дегВ. Следо- ' вательно, слагаемые произведения ( — 1)<*'+-+*»)+В»+г-еу»г М'.".' ". 3»32- 1* Му 12 " в д т в бег А со сво и зна ами. 2.
Из доказанного в п. 1 следует, что вся сумма Ю представлнет собой некоторую сумму членов бег А со своимн знаками. 3. Покажем теперь, что в сумму В входят все члены 4еФА. Пусть (4.8) а ни аэ, а„„ — произвольный член г)егА. В этом произведении соберем отдельно сомножители, расположенные в строках с номерами гы гэ,...,4ы (4.9) апач ача», ° а»»»»,„° Они расположены в различных столбцах с номерами ач, а;„..., аы. Эти номера однозначно определяются заданием члена (4.8).
Обозначим через М минор й-го порядка матрицы А, расположенный в строках с номерами гы гэ,...,4ь и столбцах с номерами а;,,а,„...,а;,. Тогда произведение (4.9) будет членом этого минора, а произведение остальных сомножителей (4.8), не вошедших в (4.9), — членом дополнительного минора М к минору М. Итак, любой член определителя матрнвы А может быть получен умножением определенного этим членом минора М на дополнительный к нему микор М. Из доказанного в и. 1 следует, по при умножении минора М на его алгебраическое дополнение получится член (4.8) с его знаком.
4. Осталось доказать, что каждый член г)е»А входит в сумму Я ровно один рвз и что других слагаемых в этой сумме нет. Для этого достаточно показать, что количество слагаемых в сумме Я равно и(. Действительно, минор М... состоит из к1 слагаемых, алгебраическое дополнение к нему — из (и — Й)'. слагаемых. Значит, произведение М'-,".',""'„А";"~'., состоит из к)(п — й)! членов определителя матрицы А. Таких произведений в сумме Я столько, сколько существует миноров й-го порядка в строках ты гэ,...,эы т.е.
столько, сколько существует способов выбрать 1 столбцов уы тэ, - „гь нз п столбцов матрицы А. Итак, имеется Сь таких произведений, а количество ела гаемых в сумме Я равно СсЫ(п — й)! = Ы. ° Глава Х. Матрицы Разложение определителя по строке (столбцу). Если в теореме Лапласа выбрать я = 1 н строку (столбец) с номером «, то минорами первого порядка, расположенными в «-ф.оброке (столбце), будут сами элементы а«1 (а «). Обозначив че1юзЯ;~лгебраическое дополнение к элементу а;,, получим нз теоремы, а, что п и ае$ А = ~~» об А;у (или бе1 А = ~» аг;Ад,). (4.10) 6=« 1=1 Д1 „гг~гга)-,а4 ~ ~~~~6 у гг ..
»г Представление определителя в виде (4,10) нззывается разлог«сгнием определителя по «-6 строке (соответственно по «-му столбцу). Итак» определи«пела матрицы равен сумме есгк произведений элементов произвольной ее с«проки (сп«олбца) на свои алгебраические дополнения, Определитель квазнтреугольной матрицы. Т е о р е м а 4.6, Определитель кеазитреугольной матрицы равен произведению определителей диагонольнът кле«поп. До к аз а тел ь с т во.
Пусть А — в~ег»хняй квгзитреугольная матрица т-го порядка (рис. 2). Применим теорему Лапласа к группе из к столбцов матрицы А, образуАы ющих ее первый клеточньгй столбец. В этих столбцах все миноры 4«г й-го порядка, кроме ~А «~ за ведомо равны нулю, а алгебра- 33 А нческое дополнение к минору ~А««~ совпадает с дополнитель- О ным минором. Согласно теореме Лапласа отсюда следует, что (А( = )А««) 1А~, где.А — также квазитреугольная матрица, но Рис. 2 уже (тп — 1)-го порядка, начи- нающаяся с клетки Аю.
Поступая точно так же еще (т — 1) раз, получим, что (А! = (А««! (Агг! ° (А (. (4.11) Аналогично получается равенство (4.11) и для нижней квазитреугольной матрицы. ° Т е о р е м а 4.7.Определитель произведения кеадратнмж матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей. Доказательство. Пусть А = (а«), В = (в»у) — квздратные матрицы и-го порядка. Рассмотрим матрицу С вида 4 4. Определители С одной стороны„С вЂ” квэзитреугольнвл магрица, поэтому согласно (4.11) !С! =!А!. !В!. (. ) С другой стороны, не меняя определители матрицы С, преобразуем ее так, чтобы клетка А стала нулевой.
Сяачэла аннулируем первую строку матрицы А, для чего прибавим к первой строке матрицы С ее (и+ 1)-ю, (и+ 2)-ю, ...,2п-ю строки, умнсакенные'на ап,аы,...,пы соответственно. В результате этих преобразований бес С остается беэ изменения, первые и элементов первой строки матрицы С станут нулевыми, а вторые и элементов заполнятся элементами первой стрОки матрицы АВ. Теперь в новой матрице вылолиим аналогичные преобразования второй строки: ко второй строке матрицы С прибавим ее (и+1)-ю, (и+2)-ю,..., 2п ю строки, умноженные на аю, аээ,..., аэ„ соответственно.
После этих преобразований определитель матрицы С не изменится, первые и элементов второй строки матрицы С станут нулевыми, а вторые и элементов заполнится элементами второй строки матрицы АВ. Выполнив аналогичные преобразования с третьей, ..., и-й строкой матрицы С, получим матрицу опредавитель которой равен определителю матрицы С. Переставив в матрице Сг первый и (и+ 1)-й столбцы, второй и (и+ 2)-й столбцы, ..., и-й и 2я-й столбцы, получим квэзитреугольную матрицу В определитель которой отличается от определителя матрицы С1 множителем ( — 1)". Таким образом, $С( = !С1 ! = ( — 1)" ~Сэ! = $АВ~.
Отсюда и из равенства (4.12) получаем, что ~АВ! = ~А~ (В~. ° (4.13) Вычисление определителя. Многие задачи линейной алгебры связаны с проблемой вычисления определителя. Глава 1. Матрицы Было бы весьма звтруднитезьным вычислять определитель исходя из его определения, т.е. вычисляя непосредственно все н! членов и опредвхяя их знаки, Дня этого нужно выполнить прв операций умножения (без учетв менее трудоемкой опервющ сеожеиия чисел). Твк, для и = 100 число умножений превосходит 10!эх — с этим не в состоянии справиться даже самые мощные современные компьютеры.
Теорема Лапласа позволяет упростить проблему вычисления определителя, свсщя ее к вычислению определителей более низких порядков. Однако, нвк видно из (4.11), (4д2), этот подход существенно эффективен лкюь для матрица большим числом нулевых элементов, сгруппированных спецявзьным обрезом. Среди различных методов вычисления определителя особое место в приложениях занимает метод Гаргсн. Метод Гаусса применяется для решения широкого класса матричных звдач. Идея этого метада проста и естественна. Она состоит в том, что: ° выделяется тнп матрицы, для которой задача решается достаточно просто„ ° выделяется тнп преобрвзований, которые либо не изменяют решений задачи, либо изменяют нх контролируемым образом; ° произвольная матрица выделенными преобрвзоввниями приводится к выделенному типу, тем самым задача общего вида сводится к более простой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
