В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Понятие матрицы (здесь все неотмеченные элементы равны нулю, а заведомо ненулевые элементы помечены знаком е). Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней (левой) сгауиенчагпой матрицы. Ступенчатая матрица, у которой л; = 1, называется шраиециевионой. Общий еид трапециевидных матриц; 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
0 0 ... 0 где аи ф 0 при 1 = 1, г. До сих пор мы рассматривали матрицы, элементами которых служат числа. Так в основном будет и в дальнейшем. Одно из немногих в этом отношении исключений составляют матрицы, элементами которых являются также матрицы. Остановимся на этом более подробно.
Разобьем матрицу А = (а; ) Е К "" системой горизонтальных и вертикальных линий на клетки (блоки). Клешочной (блочной),иагприцей называется матрица, элементами которой служат эти клетки. Общий вид клегочной ма Глава 1. Матрицы где А — клетка, расположенная в т-й клеточной строке н в тчм клеточном столбце. Квадратная клеточная матрица А = (А; ) с квадрач ными клетками на главной диагонали называется квазидиагоиальиой, если Ат» = О при т ~ д, и квазиптреугольн„если Агз = О при т > д (илн т( т).
Как будет видно из дальнейшего, блочные матрицы по многим характеристикам близки к числовым матрицам (см., например, с. 17, свойство 1). Это продуктивно используется в вычислительной математике для обработки большого объема информации. $2. Операции иад матрицами Равенство матриц. Две матрицы А = (ау) и В = (Ь;») одина- кового размера пт х и называются равными, если а,» = Ьйи 1 = 1, тп, т' =1,п, Обозначение: А= В. Линейные операции. Суммой матриц А = (а,") е К "" и В = (Ь,») й К "" называется матрица С = (с;.) е К "", элемен- ты которой определены равенством с; =ае+Ьт, »=1,та,3 =1,п. Обозначение: С = А+ В.
Матрица — А = ( — а,») е К"'"" называется противоположной к матрице А — (а,") е К Теорема 2.1. Операцих сложения матариц обладает следу- ютцими свойстлвоми: тА В, С о Кю х» и О а Кт»х» 1» А + В = В + А (сложение матприц холтмутатаивио); й) (А + В) + С = А+ (В + С) ~слолсеиие матприц ассоциаптивпо); 8)А+О=О+А=А; фА+( — А) = — А+А=О. Доказательство. Эти свойства непосредственно вытекая»т нз определения и доказываются по единой схеме. Докажем свойство 2. Матрицы (А + В) + С и А + (В + С) имеют одинаковый размер тп х х и, при этом их элементы, расположенные в одинаковых позициях, равны,так как ((А+В)+С1»» =(А+В)т»+(С)т» = (а»+Ь»)+с» = ау+(Ьа+су) =(А);»+(В+С)т, = (А+(В+С))у.а разнос»пью матриц А (а,) Е К»'х» и В (Ь ) е Кю»х» позыва вгся матрица Х = (к,;) ь Км"" такая, что А = В + Х, Обозначение: Х = А — В.
Очевидно, что для любых матриц А, В е и "" существует единственная разность А — В, прн этом А — В = А + (-В) = (ае — Ь; ). Произведением »топ»рицы А = (ай) 6 К "" иа чисзо ст е К на)»Кмх», й равенством св» -— ~~От»ч т'= 1,тп,я'= 1,п Обозначение: С = аА. й 2, Операции над матрицами Т ео р е м а 2,2.
Операция умнов!сенил матрицы но число обладает следующими свойство.ми: ЧА, В б К"'"", 'га, Д Е К 1) 1 ° А=А; й) (аВ)А = а()»А); У) а(А+ В) = аА+ аВ !умножение матрицы но число дистрибутивно относитлельно сложения матриц»; ») (а +»г)А = аА+ )гА (умножение матрицы но число дистрибутивно относип!ельне сложения чисел); ~6) — А = (-1)А. -У2йгйт~ 2 йФ,,Я». ф 6 г) Все эти свойства непосредственно вытекают вз определения и проверявпся по той же схеме, что и свойство 2 нз теоремы 2.1. ° Итак, на множестве К "" всех вещественных матриц одинакового размера т х и любые две матрицы можно сложить и любую матрипу можно умножить на вещественное число. При этом результаты выполнения этих операций также будут матрицами из К "".
Обратим внимание на эту особенность множества К "", так как в дальнейшем мы неоднократно будем сталкиваться с множествами, наделенными операциями сложения и умяожения на число, которые обладают свойствами, сформулированными в теоремах 2.1 и 2.2. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют однозначно определить матрицу ь а!Аг+агАг+...+аьА» = ~ а;А, г=! называемую линейной комбинацией матриц А!, Аг,..., Аь Е Кюхп с козффициенгломи аг, аг,,, аь б К.
Умножение матриц. Произведением матриц А = (а; ) й К и В = (Ь,г) Е К""~ нэзываетгл матрица С = (с;„) б К "", элементы которой определены равенством с!1 = 2 ааЬ,у, ! = 1,гл, ! = 1,/с. а=! Обозначение: С= АВ. Уже из определения следует, что произведение матриц зависит от порядка сомножителей; произведение АВ определено лишь в том случае, когда размеры матриц А и В согласованы специальным образом: "ьисло столбцов левой матрицы должно совпадать с числом строк яровой.
Это означает, что оба произвадеиия АВ и ВА определены тогда и только тогда, когда А н В имеют размеры т х и и и х т соответственно. При этом размеры матриц АВ и ВА совпэдают лишь при т = и. Следовательно, равенство АВ = ВА возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, может зависеть от порядка сомножителей: Глава Т Матрицы Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются перестано- вочннми нли коммутирующими Очевидно, что на множестве И" хо 1) нулевая и единичная матрицы перестановочны с любой другой матри пей; 2) любые две диагональные матрицы перестановочны.
Теорем а 2.3. Операция умножения матриц обладает сле- дующими свойствами: 1) (АВ)С = А(ВС) (свойство ассоциативности), й) а(АВ) = (аА)В = А(оВ), Ъа Е И, Р) А(В+С) = АВ+АС, (А+В)С = АС+ВС (свойство дистрибутивности), выполненными длл любых матриц А, В, С, длл которых левис части равенств имекоп смысл. Доказательство.
Эти свойства проверяются непосредствен- но. Остановимся подробнее на свойстве 1. Так ввк произведение (АВ)С имеет смысл, то размеры матриц А, В и С согласованы со- ответствующим образом. Пусть А = (ау) е И"'х", В = (Ь;.) е И""", С = (су) е Ий" о. Тогда н произведение А(ВС) имеет смысл, при этом размеры обеих матриц (АВ)С н А(ВС) совпадают. Проверим совпаде- ние элементов этих матриц, расположенных в одинаковых позициях. Обозначим АВ = У = (иу), ВС = У = ~~~;.), (АВ)С = Я = (в, ), А(ВС) = Т = (1ц). Тогда для любых 1 = 1, т, у = 1, р й й и вн = 1„ч-1щч~д = Ее=1(Х,~=~ а! Ь о)сод п ь ( й Ф' =Е,= щ.о. =Е, *.Ь:,=1Ь"сеу) Числа с в первой двойной сумме (а,„— во второй) не зависят от индекса суммирования г (соответственно у), т.е.
являются общими множителями слагаемых внутренней суммы, Следовательно„с; (со- ответственно айг) можно внести под знак суммирования, так что й о й и в1. = ~"~ьа ( „а;,Ь,с ) = ~~, ~„й йа,„Ь, со., Ц.=~ „1~Д ам~сод=~ 1~ а Ь с Отсюда и из свойств двойной суммы следует, что в1у = 11у . В Транспонированне матрицы. Пусть А = (а,.~) н Ит"". Матри- ца Ат = (а; ') 6 И"" называется транспонированной к матрице А, если ай = а1„1 = 1, щ у' = 1, 1п. Для обозначения транспонированной матрицы используются так- же символы Ай и А'. Переход от матрицы А к Ат называется траиспонированием ма- трицы А. Заметим, что при транспонировании матрицы А ее строки становятся столбцами Ат с теми же номерами, а столбцы — строюми.
Другюхи словами, транспонирование — зто вращение матрицы в про- странстве на 180' вокруг главной диагонали. у 2. Операции нвд матрицами 21 Т е о р е м а 2.4. Операция транспонированил матриц ойла- даегя следующими свойствами: 11(А+ В) — Ат+ Вт й) (ггА)т = пАт, Ча с К У) (АВ)т — ВтАт 4 (Ат)т А выполненными длл всех матриц А,В, длл которых имеют смысл левые "!асти равенств. Доказательство. Проверим свойство 3, остальные непосред- ственно вытекают из определения. Положим А = (а, ) й К~"", В = (Ь!у) б К""~, произведение АВ при этом имеет смысл.
Нетруд- но проверить, что произведение ВтАт также имеет смысл, при этом размеры матриц (АВ)т и ВтАт совпадают. Элементы этих матриц, расположенные в одинаковых позициях, равны„так как ((АВ)т)О = (АВЬ! —— Е а,.ьм = Е ЬыаФ = ~ВтАТ)сь ° в=1 в=! Некоторые сройстна операций. Приведем несколько полезных фактов, касающихся операций над матрицами, Доказательство этих свойств предосгавлжтся читателю. 1.
Операции сложения, умножения на число и умножения блочньгх матриц совершаются по тем же правилам, по которым они соверша- ются с обычными числовыми матрицами: а) если блочные матрицы А = (АО), В = (В! ) имеют одинаковый размер и одинаковым образом разбиты на клетки, то сумме матриц А и В при том же разбиении на клетки отвечает блочная матрица С = (С! ) с элементами С, = А, + В, ', б) произведению аА отвечмт блочная матрица С = (С! ) с эле- меятами С!. —— аА! ", в) если А = (А, ) и В = (В;.) — блочные матрицы, у которых число столбцов блока А1, равно числу строк блока В, црн любых в, в, г, то произведению АВ соответствует блочная матрица С = (С! ) с элементами СО = ~,А1,в,у.
2. Вектор-столбец е! = (О ... 010 ... 0)т б К""' н вектор-строку е! = (О ... 010... О) ~ К'" (у которых все компоненты равны О, кроме 1-й, равной 1) будем называть соответственно вчм единичным столбцом н Ь-й единичной строкой, Если А = (а; ) 6 К "", то в обозначениях (1.1) Ае, = а1, егА = ас (2.1) З.Если А = (а!.) е К "",а Ь' = (агггз...а ) и Ь = т = (а!свз ..., а„) — вектор-строка и вектор-столбец соответственно, то АЬ = ~~! и!ап Ь'А = ~ гг!а',. (2.2) в=1 1лава 1. Матрицы ,1 Е А (, ) й1Рьхь В (Ь ) ййьхг а'В .)В АВ= [ АЬ1 АЬг " АЬг ), АВ = (2.3) а' В т.е.
спюлбци произведения АВ лаглютсл линейными комбинациями столбцов лгатрицн А, а строки произведения А — линейными комбинациями строк матрицы В, $3. Элементарные преобразования матриц Приведение матрицы к ступенчатой форме. Элементарными преобразованиями матрицы называютсв преобразования следующих типов: 1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; 2) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 3) прибавление к одной строке (столбцу) матриць1 другой ее строки (соответственно столбца), умноженной на любое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
