В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Проблемы оснований геометрии и обосновании метода координат....,, ..............,............,............... 370 3 1. Аксиомы элементарной геометрии.........,.....,......,..... 370 3 2. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида 382 з 3. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского. 385 84. Заклточительные замечания о проблемах аксиоматнки ...... 387 Предметный уттазатель . , .....,...,...... 388 'Указатель обозначений 393 ПРЕДИСЛОВИЕ Линейная алгебра является широко используемым аппаратом для всех разделов математики н ее приложений. Особенно возросла ее роль в связи с развитием вычислительной техники и математики, Не будет большим преувеличением утверждать, что любое математическое приложение в вычислительной практике на том или ином этапе сводится к решению алгебраической задачи.
Логическая структура линейной алгебры исключительно проста, она основана на небольшом числе удобных в обращении понятий и аксиом. Однако абстрактный характер алгебраических понятий затушевывает это ее свойство и эатрудняег первоначальный опыт изучения линейной алгебры. Объединение линейной алгебры и аналитической геометрии в адин курс позволяет подчеркнуть геометрическую природу линейной алгебры и сделать ее объекты более наглядными. По существу„линейная алгебра и аналитическая геометрия настолько связаны, что между ними трудно провести четкую грань, "во мкогих случаях онн отличаются друг от друга лишь языком: каждую из этих дисциплин можно понимать как перевод другой" (Ж.
Дьедонне). При написании этой кяигн мы придерживались традиции объединения (переплетения) линейной алгебры и аналитической геометрии, установившейся в системе преподавания на факультете вычислительной математики н кибернетики МГУ нм, М,В.
Ломоносова. Прн совместном изучении этих дисциплин геометрические представления своей наглядностью делают алгебраические понятия и факты более воспринимаемыми, помогают уяснить, а зачастую и предвидеть не всегда очевидные факты, В свою очередь алгебраический формализм позволяет проводить геометрические исследования более компактно, Авторы испольэовали ряд методических приемов из учебников, написанных А.Г. Курошем [14[, И.М.
Гельфандом [б[, Н.В. Ефимовым [7[, Г.Е. Шиловым [17[, В,В. Воеводиным [2[, А.И. Кострикивым [12[, В.А. Ильиным и Э.Г. Позняком [10[. Нам приятно подчеркнуть благотворное влияние на методические особенности предлагаемой книги идей первого лектора по данному курсу на факультете ВМиК МГУ В.В. Воеводина. Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить ректора МГУ В.А. Садовничего н декана факультета ВМиК МГУ Д.П. Костомарова, оказавших существенную поддержку изданию этой книги, н научного редактора книги Л.В.
Крицкова за ценные замечания, способствовавшие ее улучшению. В.А. Ильин, Г.Д. Ким ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В настоящем издании нзм удалось упростить некоторые доквза тельства. Ряд других доказательств мы излагаем более подробно, указывая возможные обобщения, содержащие существенную дополнительную информацию. В текст книги внесены небольшие дополнения, касающиеся общей алгебры, теории точечных пространств, метрических и нормированных пространств, вычислительных осяов линейной алгебры, а в конце книги помещено приложение, посвященное проблемам оснований геометрии и обоснования метода координат, Наконец, иамя исправлены имевшиеся а предыдущем издании опечатки и неточности. Мы выражаем благодарность нашим холлегам по кафедре и фа. культету ВМиК МГУ вЂ” профессорам Е.Г.
Дьяконову, Е.Е. Тыртышникову и доцентам Н.И, Ионкину, Л.В. Крицкову, В.С. Панферову, Р.В. Рззумейко и А.И. Фалику — за полезные обсуждения, способствовавшие улучшению изложения. С благодарностью мы отмечаем, что труд Л.В.
Крицкова по прочтению рукописи вышел за рамки редактировании. Мы очень благодарны рецензентам академикам РАН С.М. Никольскому и В.В. Воеводину, а также ректору МПГУ члену-корреспонденту РАН В.Л. Матросову и доценту МГУ А.И.Камзолову за поддержку этой книги. Мы считаем также нашим приятным долгом выразить глубокую благодарность ректору МГУ академику В.А.Садовничему и декану факультета ВМиК МГУ академику Е.И, Моисееву, стараниями которых эта книга включена в серию "Классический университетский учебник . Мы очеяь признательны сотрудникам издательства "Проспект" С.М.
Грачеву, Л.В. Рожникову, В.А. Товсгоногу, К.В, Хомерики, облегчившим нам подготовку рукописи к печати, ЛИТЕРАТУРА 1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Мз Наука, 1979. 2. Воеводин В. В. Лияейная алгебра. М.: Наука, 1980. 3. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. Мх Наука, 1980. 4. Воеводин В.
В., Кузнецов Ю, А. Матрицы ивычисления. М.: Наука,,1984. 5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1983. 6, Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет, 1988. 7. Ефимов Н. В, Высшая геометрия. Мз Наука, 1978. 8. Ефимов Н. В„Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. Мз Наука, 1974. 9. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия.
М.: Фвзматлят, 2004 (классический университетский учебник). 10. Ильин В. А„Позняк Э, Г. Линейная алгебра. Мл Фнзматлит, 2004 (классический университетский учебник). 11. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сеидов Вл. Х. Математический анализ. Часть 1. Мс Проспект н изд-во Моск. ун-та, 2004 (классический университетский учебник). 12. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Физматлит, 2004 (классический университетский учебник) . 13. Кострикин А. И., Манин Ю.
И. Линейная алгебра и геометрия, М,: Наука, 1986. 14. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1983. 16, Тыртышников Е. Е. Краткий курс численного анализа. М,: ВИНИТИ, 1974. 16. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М.: Физматгиз, 1963. 17. Ш и л о в Г. Е. Математический анализ (коиечномерные линейные пространства). Мз Наука, 1969, Глава 1. Матрицы 5 1. Понятие матрицы терминология и обозначения. Пусть го,п Е М. Мапзрицей римера гл х и называется совокупность гоп чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из тл строк и и столбцов. При этом свми числа называются элемсюламп матрицы.
В первых главах мы будем рассматривать лишь вещественные матрицы, т.е. матрицы с вещественными элементами. В дальнейшем (з43) мы убедимся в том, что все изложенные свойства остаются справедливыми н в общем случае матриц над произвольным полем. Матрицу обозначают прописными латинскими буквами, при этом саму таблицу заключают в скобки (либо круглые, либо квадратные, либо двойные вертикальные): 4 5 6 ' О 1 ' 2 Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: а;. — элемент матрицы, расположенный в этй строке н у-м столбце (в позиции (1, з)).
В этих обозначениях матрица размера оз х и в общем виде может быть записана следующим обрезом: аы а1э ... аы аю оээ ... ао„ ола1 оиьэ ° .. опав Приведем ряд других обозначений, которымн мы будем пользоваться в дальнейшем: В "" — множество всех вещественных матриц размера пз и и; А = (ав) — матрица А с элементами а,.~ в позиции (з,у); (А)в — элемент матрицы А в позиции (э, Я; А„,„„— матрица А размера оз х и.
Элементы аб, где з = ), называются диагональнэьии, а элементы оу, где з ф у, — енсдэагональнмма. Совокупность диагональных элементов аи, азэ,..., аыо где Й = ппп(т, и), нэзываетси элаеной диагональю матрицы, а совокупность элементов аз„, аз,„м ... — ее побочной дааэонолью. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О. Отметим, что для каждого размера пз х и существует своя нулевая метр нци Матрица размера и х и называется квадратной эзаязрпцей и-эо иорлйюь Квадратная матрица называется диагональной, если все ее Глава Х Матрицы внедиагональиые элементы равны пулю.
Обозначение: 61ай(ап, ..., а„„). Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называется скалярной. Скалярная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной ('тоггсдгстеенной) и обозначается символами 1 или Е, Отметим, что для каждого порядка п существует своя единичная матрица. Число эгА = ам + . +а„„нэзывжтсл следам матрицы А = (а; ) б 1к""'". Матрица размера 1 х н называется строчной матрнцей, или матрнцей-сглрохой, или вектор-сгарохой. Матрица резмера т х 1 называется столбцовой згатрицей, или матрицей-сяюлбцом, или еехтаорстолбцом. Компактная форма записи матрицы, Пусть А = (а,.) ~Ж Обозначим г-ю строку н гьй столбец матрицы А символами а,'- и ос ам аги а,'=( ач ан ..
а;„) аьи В этих обоз начвннях матрица А может быть записана более компактно: аг Р Г аз А= или А= ( аг аг .. а„) . (1.1) Такой формой записи мы нередко будем пользоваться, причем не только лаконичности ради. Матрицы специального вида. Квадратная матрица А = (а;.) б 3Г'"" называется вераней (оравой,) треугольной, если ап = О при 1 > у, и ннжней (левой) треугольной, если а," = 0 при 1 < у. Обсгий вид треупиьных матриц: (1 ) Матрица А = (ап) и 1с "" называется верхней (правой) ступенчатой, если она обладает следующими свойствами: 1) если Ря строка нулевая, то (1+ 1)-я строка также нулевая; 2) если первые ненулевые элементы 1-й и (1+ 1)-й строк расположены в столбцах с номерами й; н й,+~,, то хч < х;+ь Этн свойства означают, что все нулевые строки являются после~э ними и что все элементы, расположенные слева и под первым ненулевым элементом каждой строки, равны нулю, Происхождение названия становится понятным из "рнсунЫ' ступенчатой матрицы: у 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
