В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В применении к задаче вычисления определители зта схема выглядит следующим образом: — определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов (свойство 1); — элементарные преобразования матрзпгы либо не изменяют определителя (свойство 9), либо изменяют (свойства 4 и б), но так, что зтн изменения можно легко восстановить; — произвольная квадратная матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольной форме (теорема 3.1). Метод Гаусса вычисления определителя состоит в приведении матрицы элементарными преобразованиями к треугольному виду, вычислении определителя получившейся треугольной матрицы и восстановлении исходного определителя, если использовались элементарные преобразования типов 1 н 2 63). Зе и е чо н ос 3. Б методе Гаусса вычисления определителя можно использовать злемевтврные преобразования квк строк, тьк и столбцов.
Зозгечекое 4. Для вычисления определителя и-го порядка методом Гаусса 3 требуегск выполнить — + О(пз) операций умножения двух чисел. Теперь для и = 100 определитель может быль вычисзен быстрее чем зв одну секунду иэ компьютере с быстродействием 10е врифмегнческнх оперэцнй в секунду, $ 5. Обратная матрица Условие обратимости. Матрица А ' называется обрашмай к матрице А, если АА ' = А 'А = Х. Матрица А, для которой существует обратная матрица, называетгя обранзгьыо6. у б. с)братная матрица Иэ определения следует, что обратимой может быть лишь квадратная матрица, твк как равенство АА т = А 'А возможно лишь для квадратных матриц А и А т одинакового порядка. Но не вв ~О О~ ждая квадраткая матрица обратима.
Так, матрица А = при умножении справа на любую матрицу дает матрицу с нулевой первой строкой, т.е. ни для какой матрицы В произведение АВ не мсокет совпадать с единичной матрицей Х. Выясним„какие свойства матрицы обеспечивают ее обратимость. Квадратная матрица А называется вмролсденной (особенной), если )А! = О, н нгвмроотсденной (неособенной)„если (А~ г О.
Пусть А = (а,.) й )й""". Матрнпг 44п, Ам " Аг -4тя т12г . ° . Апг Ат Аг„... Апп г= ~ (5.1) составленная нз алгебраических дополнений А,т к элементам а,.~ матрицы А, называется присоединенной (взаимной) к матрице А. Т е о р е м а 5.1 (о Фальшивом разложении определителя). Сумма правоведений элементное одной строки (с«толбца) матрицы на алгебраические дополнения к элгмгн«им другой гг стирано (соотвгтпстпвгнно стполбца) равна нулю. Доказательство. Пусть А = (атт) Е й""". Покажем, что для любых ее двух строк т, ут где т ~,у, а;,А, =О. Рассмотрим вспомогательную матрацу В, которая отличается от А только ~-й строкой: на месте ттй строки в В находится г-я строка матрицы А.
С одной стороны, десВ = О (14, свойство 7). С другой стороны, дейВ = ~,, ат,.А-„так как в Разложении де1В по тчй стРоке алгебраические дополнения к элементам у-й строки матрицы В получаются вычеркиванием тэй строки н поэтому совпадают с алгебраическими дополнениями Ат, к элементам у-й строки матрицы А. Отсюда следует (5.2). Аналогично доказывается столбцовый вариант теоремы. ° Доказанную теорему иногда называют теоремой о "чужих" алгебраических дополнениях.
Напомним, что в этой терминологии умножение иа "свои" алгебраические дополнения дает ргзложение (4.10) определителя по строке (столбцу соответственно). Т е о р е м а $.2 (критерий обратимости), Матприца обратима тогда и толью «югда, когда она не вмроотсдена. Глава 1. Матрицы Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А обратима. Тогда существует обратная матрица А г такая, что АА г = 1, Взяв определители от обеих частей етого равенства, согласно (4.13) получим,что(АДА г! = Щ,те.
)А) )А г) =1.Следовательно,)А) ф О. Достаточность. Пусть )А) уб О. Покажем, что матрица )лг)А является обратной к матрице А. В самом деле, из разложения определителя по строке (столбцу) и теоремы 5.1 имеем, что АА = АА = )А)1. Следовательно, АфА = +АА = Х, т.е. ~я~ ~А~ 1 А = — А. ° )А) (3.3) Теорема О.З (о единственности обратной матрицы).
Если А — квадратная матрице и АВ = Х )'или ВА = 1), кго В = А г. Доказательство. Из равенства АВ = Х следует, что  — квадратная матраца и, согласно (4.13), А не вырождена. Следовательно, матрица А обратима я для нее существует обратная матрица А У.
Тогда А ' =А '(АВ) =(А гА)В =1В =В. Таким обрезом, В = А '. Аналогично рассматривается случай, когда ВА = 1. ° Доказанная теорема устанавливает свойство единственности обратной матрицы, и, более того, нз нее следует, что для квадратной матрицы А одного из равенств АА г = 1 или А гА = 1 достаточно, чтобы матрица А ' была обратной к матрице А. Некоторые свойства обратной матрицы. 1. 1 У шХ,так какХ ° 1=1.
2. )А ~) = 1/)А), так как (А) (А ~) = 1. 3.(А г) ьшА,таккакАА с=А 1А=Х. 4 (Ат) г (А-У)т так как (А-1)тАт (АА-г)т 1т Х Ь. (АВ) г =В "А г, так как (АВ)(В 'А г) = 1. Вычисление обратной матрицы. Соотношение (5.5) дает явный вид обратной матрицы. Оио полезно е теоретических исследованиях н совершенно неэффективно для праатичеекоге вычисления (ренее что для матриц второго порядка) вследствие большого обьема требуемых вычислений. В самом деле, для получения обратной матрицы к матрице и-го порядка согласно (5.5) требуется вычислить нв определителей (и — 'г)-го порядка я один определитель н.го порядиа. В вычислительной математике используготси различные доколнительиые приемы вычисления обратной матрицы, которые по объему вычясеений равносильны вычислению всего лишь двух определителей п-го порядка. Опишем один ив них.
Теорема 5.4. 11роивеольиал иееырожденмол магдрица элемектпармими преобразовепиями только сшрок (пголько спцьлбцов) приводипгсд к единичной матирице. До к аз атея 5 ство. Рассмотрим строчный вариант теоремы. Пусть А = (а; ) Е К" "" и бей А р О. Применим к матрице А основной процесс (теорема 3.Ц. Так как А — квадратная матрица, то о~~чепенчатая ма а гольной. Ввиду невырожденности исходной матрицы она также будет невы жденной и ее вальные злементы будут отличны от нуля.'Разделив каждую спгроху у 5.
Обратная матрица на ее диагональный элемент, т.е. выполнив элементарные преобразования строк, получим треугольную матрицу Вида 1 агз а|э, . аш 0 1 азз - аз б О О ясли представить процесс приведения матрицы к верхней ступенчатой форме как преобразование матрицы "слева направо" (в таком порядке аннулируются столбцы), то теперь будем выполнять аналогичные преобразования "справа належ~". Нв первом шаге с помощью последней строки аннулируем все наддиагональные элементы последнего столбца, вычитан из первых (и — 1) строк последнюю строку, умноженную на аш,аз ...,а„ц„соответственно. На втором шаге из первых (и — 2) строк вычитаем (н — Ц-ю строку, умноженную на ак„ы аз,„з,..., а„з,„1 соответственно. Выполнив аналогичные преобразования, через (н — 1) шагов получим единичную матрицу.
Отметим, что на' каждом шаге иэмеяяются элементы только одного аннулируемого столбца. Ясли в доказательстве поменять ролями строки н столбцы, то получим утверждение столбцового варианта теоремы. и Доказанная теорема может быть переформулирована в терминах матриц элементарных преобрезований (теорема 3.2). Для строчного варианта: суи4естеунна матрицы злементарнмя преобразований Хы Хз, ..., Хе такие„нло ХеХь г...ХзХ1А = Х. Отсюда в силу теоремы 3.3 следует, что А 1 =ХеХе-1 --ХзХ1 или А ' = ХьХе-з ХзХ1Х. Это означает, что длл получения обратной матрицы досоютдочно к строкам единичной матрицы Х применить те преобразование, которые приводят матрицу А к единичной матрице. Для этого удобно составить расширенную матрицу (А~Х1 н над строками этой матрицы выполнить те преобразования, которые матрицу А пршюдят к единичной; тогда на месте матрицы Х окажется обратная матрица А 1. Итак, нреабеазоеаиие ~ц~,д т" ~~~-' .
о.е Аналогично в столбцовом варианте имеем чоеобеаэоеечче емооеечае ( ) Этот метод вычисления обратной матрицы называется методом Жордана или методом Хаусса-Жордана Глава Х. Матрицы Замечание. Если в расширенных матрицах (5,5) н (5.6) единичную матрицу Х заменить матрицей В, то вместо матрицы А ' получим в первом случае матрнпу А 1В, а во втором — матрицу ВА 1: преоггаговамиг стомгчаг 1 — Ф так как А ~В = ХьХь «...ХгХ1В, ВА 1 = ВХ1Ьг...Хь Приведение к диагональной форме. Незначительным изменением процесса, описанного в доказательстве теоремы 5.4, можно привести квадратную матрицу А общего вида к диагональной форме. Для этого достаточно элементарными преобразованиями строк и столбцов привести матрицу А к верхней трапециевидной форме, разделить каждую ненулевую строку трапециевидной матрицы на свой диагональнмй элемент, затем с помощью первого столбца аннулировать все наддиагональные элементы первой строки, с помощью второго столбца— все наддиагональные элементы второй строки, и т.д.
Этот же процесс, примененный к прямоугольной матрице, приведет ее к форме, называемой прямоугольной диагональной формой: нлн ХХУ-разложение матрицы. Из первой части доказательства теоремы 5.4 следует, что любая невырожденная матрица элементарнымн преобразованиями строк 1-го и 3-го типов приводится к верхней треугольной форме (5.4), На языке матриц элементарных преобразований это означает, что существуют нижние треугольные матрицы Х1, ..., Хь (см.(3.1)), такие, что ХгХь 1...Х|А=ХХ или А=Х1' ...Х ',Х~~ХХ. (57) Отметим, что среди матриц Хо,..., Хь (а следовательно, и среди матриц Х 1,..., Хь1) нижними треугольными являются лишь те, ко'торые соответствуют элементарным преобразованиям строк 3-го типа, Вьщелнм класс невырожленных матр1щ, для котрых в основном процессе приведения к верхней треугольной форме мсокно обойтись без элементарных преобразований строки 1-го типа (т.е.
перестановок строк). Назовем уаэоеььм ээпноро~и Ьь порядва й квадратной матрицы А минор М ' '"'„, т.е. минор, расположенный в строках и столбцах с номерами 1, 2,..., к. Пусть в матрице А е Ж""" все угловые миноры Ьм Ьэ,..., Ьь отличны от нуля. Так как Ь1 = аы —,~ О, то элемент аы можно выбрать ведущим элементом первого шага (см. доказательство теоремы3.1), Кроме того, элементарные преобразования строк 3-го типа, выполняемые нв первом шаге, не меняют значении всех угловых миноров матрицы А, поэтому все угловые миноры матрицы Ам к которой применяются преобразования второго шага, также отличны от нуля.
Тем самым, на втором шаге основного процесса также можно обойтись без перестановок строк н т.д. Если все матрицы Х н..., Хь в 15,7) — нижние треугольные, то и Х = Х,, 1... Х, 1 Х, — нижняя треугольная матрица (проверьте1) . Таким образом, любая кеадратнал матроца А, у кавюрой есе уаэоеме миноры отлпчкм от нуля, может быть представлена е виде 15.8) где Х вЂ” иижнлл, ХХ вЂ” еерянлл треугольная матлрицьь Представление (5.8) называется Ш-разложением матроцм А. Глава Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
