В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 6
Текст из файла (страница 6)
б) Далее в последней перестановке из этого списка выполним одиу траиспозицию, поменяв местами числа а1 и аз. И снова упорядочим все перестаиовки, иачииающиеся с оэ, и т.д. ° г 4. Олределятели Следствие 1. Прин > 2 число четник перестановок равно числу нечетных. Действительно, после упорядочения в списке всех перестановок четные и нечетные перестановки будут чередоваться, а так как и! четно при п > 2, то количества четных и нечетнъ1х перестановок совпадают и равны и.'/2. Следствие 2. От каждой перестановки ивп чисел можно перейти к любой другой перестановке из згвая же чисел с помзигъю конечного числа тракснззиггий. Т е о р е и а 4.4. Если ам аг,..., а„— перестпанввка из яеремх и катуралъкмк чисел с числом икверсий з, тв после преобразования ее е катурзлъкую иереапакввку индексные номера 1,2,..., и збргруют новую перестановку с тем же числом инверсий з.
Доказательство. Рассмотрим в перестановке ам аг,..., аг,..., аг„, а„ любые ее два числа а; и аз. Числа а; и аг образуют либо инверсию (а, > агч 1 < у), либо порядок (а; < аз, г' <,у). После преобразования перестановки (4.1) в - натуральную числа а; и ау будут располагаться следующим образом: 1,2,...,аз,..., а„...,п в случае инййсии, 1,2,...,а;,...,а,...,и в случае порядка, причем в обоих случаях 4 < у. Это означает, что числа а, и а в пере- становке (4.1) и и:с индексы 4 и г в перестановке индексных номеров одновременно образуют либо инверсию, либо порядок.
Следователь- но, обе эти перестановки имеют одинаковое число инверсий з. ° Построение определителя и-го порядка. Пусть А = (а; )— квадратная матрица и-го порядка. Рассмотрим произведение элемен- тов этой матрицы, взятых по одному нз каждой строки и каждого столбца: (4.2) ан,аг,...а„„. Заметим, что в этом произведении сомножителя упорядочены в порядке возрастания номеров строк, при этом номера столбцов ам аг, ..., а„образуют перестановку нз чисел 1,2,...,к, так как а, й (1,2,...,п) н ви Ф аг прн 4 Ф,г'.
Произведений вида (4.2) в матрице А столько, сколько существует перестановок амаг, „а„ нз и чисел, т,е. гй . Определителем квадратной матрицы А = (ай) к-гв порядка нззываегся сумма всевозможных произведений аъиаз, ...а„„ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем если сомножнтели в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком (- -1)а621 ъз -в~) ---ю~ Для обозначения определителя привиты символы (А(, де( А. Итак, ам агз ... Ога аз! азз ...
Оз .() 1) ага!азах ачо ! — К а=(о! аз ... ач) ач1 ааз . ачч (4 3) где суммирование ведется по всевозможным перестановкам (оп от, ...,О„) из чисел 1,2,...,и. Каждое произведение в сумме (4.3) называется членом определигпеля, а число ( — 1) «") - его знакам. Из свойств перестановки следует, что число всевозможных членов Опреддеьпеля В-го порядка равно В( и что прн и ~ 2 числО положительных членов равно числу отрицательных и равно и!/2.
Определение (4.3) для и = 3 н и = 3 приобретает внд ам агз а ~ =омам-ащащ ! ап ащ агз ащ азэ азз = амозз азз Ф а!зазвав! + а!лаз! аэз— (4л) -ащащам — агзагьазз — аыаззазз. Для запоминания соотнощение (4.4) н (4.$) сувзествуют удобные мнемонические прээигнь дающие схему вычисления положительных я отрицательных членов опредачителее эторого и третьего порядков: Х соответственно, В этих схемах элементы, входящяе в одно щюоиэведение, соединены отрезками. Простейшие свойства определителя. 1э.
Определиизель глрергольной материны равен произведению диагональных злемвнизов. Действительно, если А = (а!1) — треугольная (верхняя или нижняя, (1.2)) матрица и-го порядка, то все члены определителя этой матрицы, кроме аыазз... а„„, заведомо равны нулю. Поэтому 3 4. Определители )А! = ( — 1) ~гд'" "1 амате "о „= ам аэг .. а„„.
° 2'. Определитель квадратной матрицы ке иэмекяетса при ее т,щц„.щир-анки ~А~ = ~Ат~ Доказательство. Определитель матрицы А= (ай) й гекхп состоит из членов вида (4.2). Все множители из произведения (4.2) н в матрице Ат находятся в разных строках н разных столбцах. Следовательно, ~А~ и (Ат~ состоят из одних н тех же членов. Сравним нх знаки. Знак произведения (4.2) кэк члена (А) определяется четкостью перестановки а = (омаг,...,а„), Определим его знак как члена ~А ~. Имеем амиагаг ..а,иг„= 4,ггг~~ г...ав „. Упорядочим во втором произведении сомножителя в порядке возрастания номеров строк, т.е. так, чтобы номера строк образовали натуральную перестановку: а„„а',г...а„„„= аго,агд ° а'„н .
Зяак произведения (4.2) как члена ~Ат~ определяется четностью перестановки й = (Д,)1э...,, Д,). Но эта перестановка совпадает с перестановкой индексных номеров в перестановке а после преобразования ее в натуральную. Согласно теореме 4.4, о(а) = оф). Таким образом, ~А~ и ~Ат~ являются суммами одинаковых слагаемых, т.е. совпадают. ° Следствие 3. В определении (4.3) определителя можно поменять ролями строки и столбцмг )А~ = ~ ( — 1) 1 ~во~гааге ° ° ° аа и а (ои...,о ) так как эта сумма равна ~Ат!.
Из доказанного свойства вытекает н более общий вывод: строки н столбцы матрицы равноправны с точки зрения свойств определителя, Это означает, что свойства определителя, касающиеся строк матрицы, справедливы н для ее столбцов. Этим обстоятельством мы будем пользоваться в дальнейщем, ограничиваясь в доказательствах теорем только строчным илн только столбцовым вариантом. 3'. Если одна иэ строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то ее определитель равен кулю. Утверждение вытекает яепосредственно из определения (4,3) определителя, если учесть, что в каждый член определителя входит множителем элемент нз нулевой строки. ° 4'. При умкоэгсении строки (столбца) матрицы ка число ее определипгель умноэгсается на эта число.
Утверждение также вытекает из определения определителя, если учесть, что в каждое слагаемое суммы (4.3) это число входит множителем ровно один раз и его можно вынести за знак суммы. ° Заметим, что свойство 4 означает, что общий множитель элементов строки (столбца) матрицы можно выносить за знак определителя. 5'. Если каэгсдмй элемент некоторой строки матрицы кредспювлек в виде суммы двух слагаемых агь = Ьг + сы й = 1, к, Глава 1.
Матрицы то определитель матрицы можно представить в виде суммы двух определителей: аг Р а' 1 а', а'„ где Ь' = (Ьг, Ьг,, .., Ь„), с' = (сы сю..., с ). Утверждение вытекает из определения (4.3), если учесть. что аьмаа,...аол ° . о = амч ага, - .. Ьт... а„п„+ а1п, аг, . сч... а„„. ° Аналогичное свойство справедливо для столбцов. 3аме чан ие 1. Свойства 4 и 5 часто объединяют, называя их свобством линебкости определителя относительно строк н столбцов, б'. При перестановке меслмми двух строк (столбцов~ матрицы ее определитель меняет знак.
Доказательство. Пусть в матрице А = (а,") б Ж""" переставляются г'-й и Тьй столбцы н  — результат втой перестановки: А =(а1...а;...ау...а„), В = (а1 ...аз ...а; ..а„). Очевидно, что определители матриц А и В состоят из одних и тех же членов.
Сравним их знаки. Члену а,1...а„л...а,,а „„ в )А) соответствует перестановка ам..., о;,..., од...о„, а в )В)— перестановка аы..., а з..., аь..., о„. Эти перестыювки отличаются друг от друга одной транспозицией, т.е. имеют разную четность. Отсюда следует, что все члены определителя )А) входят в определитель )В) с противоположными знаками. Это означает, что )А) = -(В). ° 3амечание 2. Отметим, что свойство б относится к случаю, когда переставляются строки (столбцы) с разными номерами.
7'. Определитель матрицы, имеклцеб две одинаковые строки ('союл6- ца~, равен нулю. Утверждение вытекает из свойства б: достаточно в матрице номе- нять местами одинаковые строки, тогда )А) = — (А) = О. й 8". Если одна строка (столбец) матрицы являеп1са линебноб комбинациеб других ее строк (слюлбцов), то определитель матрицы равен нулю. Утверждение вытекает из свойства линейности определителя и свойства 7. ° 9'. Если к какоб-либо строке (столбцу) матрицы прибавить линебную комбинацию других ее строк (спъмбцов), то ее определипмль не изменится.
Утверждение вытекает нз свойств 5 и 8. ° Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Пусть А = (аб) и И "" и Ь б И, 1 < Ь < апп(т,п). Вы- у 4. Определителя б ерем в матрице А нронэвольные Й строк и Й столбцов с номерами »1 < »г « ... гь и »« < »г « ... »ь соответственно. Элементы матрицы А, находящиеся на пересечении выбранных строк н столбцов, образуют квадратную матрицу Й-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором Й-го порядка матрицы А, расположенным в строках с номерамн ты гг,..., гь и столбцах с номерами гы»г,..., »г.
Для обозначения миноров приняты символы М»Д,' а««»« " а1«»г »1»«" »г а«г», ... аг«»„ Пусть теперь А = (аг») — квадратная матрица и-го порядка и М*.". "*."„- ее минор, при~ем Й < и, Если в матрице А вычеркнуть строки я столбцы, в которых расположен заданный минор, то оставшиеся элементы матрицы А образуют квадратную матрицу (и — Й)-го порядка. Определитель этой матрицы называется допвлниямльным минором к минору М'," "'",. Дополнительный минор обозначается символами М,;;,, М, М . Очевидно, что исходный минор является дополннтельнйм к своему дополнительному минору. Дополнительный минор к минору М*,'","""„, взятый со знаком ( — 1)в . б +» 1, незываетсн алгебраическим дополнением к минору Мг',»,"'»«, и обозна- 4«1«ь..««Г 11««+«2+- +««+»1+»2» --+»ВМ »«»« "»« Й»«" »»' Теорема 4.5 (теоремаЛапласн).
Пусть А = (а; ) б И""" и Й б И, 1 < Й < и — 1. Пусть в матрице А выбраны произвольные Й ~;,. строк (или столбцов). 7Ъгда определитель магприцы А равен сумме есгеогмоэкных произведений миноров Й-го порядка, расположенных е выбранных строгах (соответственно спюлбцат», на их алгебраические дополнения. Доказательство. Пусть выбраны строки с номерами г» с гг с ... < 4,. Следует доказать, что (4.6) где суммирование ведется по всевозможным значениям»ы2г,...,»г (1 с»1 <»г «... »ь <и). Для доказательства рассмотрим подробнее правую часть требуемого равенства (4.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
