В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(7.1) Положим т и, если т = п(пкк1р), Нетрудно проверить, что бинарное отношение (7.1) является отношением эквивалентности. Найдем классы эквивалентности. Пусть т при делении на р дэ ет в остатке г. Очевидно, О < г < р — 1. Тогда с1(т) = (и = рй + + г ~ й ц Е) — множество всех целых чисел и, дающих при делении на р остаток г. Так как при делении на р иозможно ровно р различных Глава П. Теоретико-множественные понятия остатков: О, 1,..., р- 1, то количество классов эквивалентности равно р. Обозначения: С„= (н = р1с+ г~ (с и Е), где О < и с. р — 1, и 2 — фактор-множество множества Е по отношению эквивалентности (7.1). В этих обозначениях Е = (Со, См..., С 1).
Множество Ер называют ммвжсстлеам классов весчскюв но модулю р. $8. Отображения Определения, простейшие свойства. Пусть Х, У вЂ” два множества. Оиюбраохением,г' множества Х во множество У называется закон, посредством которога произвольному элементу х й Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент р б У; при этом элемент р называется образом элемента х, а элемент х — нрообразом элемента р. Символически отображение записывается в виде у': Х е У яли Х т У. Зались р = у(х) или х ь+ р означает, что элемент х прн у отображении у переходит в элемент р. Отображение множества Х во множеспю У называют также нреобравованисм мнохсесииса Х в У, яли онвратаором, действующим яз множества Х во множество У, или фрмкциеб, определенной на Х со значениями в У.
Все эти названия употребляются в одинаковом смысле, и их использование диктуется соображениями удобства или желанием подчеркнуть тат или иной аспект. В случае Х = У говорят об опюбраксении е ссбл. П и бр рбУ ("и) = (х е Хы'(х) = й)- Образом овюбразсснил у называется множество 1ш Х = Ь = У(х) 3х б Х) Вместо символа ппу используетси также символ у(Х). Отображение у: Х -е У называется: ° инзскшивним, если из того, что х1 ~ хт, следует, что Яхт) с1 У(хх), или, другими славами, если уравнение (8.1) прн любом р б У имеет не более одного решения; ° сюрзвкуаивнмм нли ослобракссниаы мв, если пп у = У, или, другимн словамн, если уравнение (8.1) при любом р й У имеет хотя бы адно решение; ° бисктаивнмм или взаиммо одмозмачныы, если оио и иньективна, и сюръективна, или, другими словами„если уравнение (8.1) при любом у е У имеет, и притом единственное, решение.
Примеры. 1. Пусть а с Ж и К+ — множество всех неотрицательных действительных чисел. Соответствие а + ~а~ определяет три 1сиивои 7 1(э) ве сиедует ессоциироввть с обратимы оеобрвинииеи (а.б), которое может и ие суосествоввть. э 8. Отображения различных отображения т': К -+ К, д: К ~-+ Кэ, Ь: Ке -т Ко. Отображение у не инъективно и не сюръективно, д — не инъективно, но сюръективно, Ь вЂ” биективно. 2. Пусть А б К""". Соответствие А т ттет А определяет отображение у: К""" — т К, не инъективное, но сюръективное. 3. Пусть а, Ь Е К.
Соответствие (а, Ь) т-т а+Ь определяет отображение у: К х К вЂ” т К., не инъективное, но сюръектнвное. Таким образом, операцию сложения чисел можно рассматривать как отображение декартова квадрата множества К в К. Этим обстоятельством мы воспользуемся в дальнейшем. Два отображения у: Х т У и д: Х -+ У называются равными, если у(х) = д(х), 1тх 8 Х. Обозначение: у' = д. Тождестпеенным (единичным) отпображение.и на множестве Х называется отображение ех: Х -+ Х, которое переводит каждый элемент х й Х в себя. Произведение оттэбражеиий. Произведением (сднернозииией илн композиттией) отображений д: Х т У и у: У -+ Я называется отображение Уд: Х -+ Я, определенное правилом уд(х) = у(д(х)), Чх 6 Х. (8.2) Таким образом, произведение отображений есть последовательное выполнение отображений-сомножителей, причем если символ отображения рассматривать как рецепт для выполнения определенных действий, то символ произведения т д следует читать справа налево.
Заметим, что произведение отображений некоммутативно. Даже в случаях, когда оба произведения уд и ду имеют смысл, произведение, вообще говоря, зависит от порядка выполнения отобрантеннй. В этом легко убедиться на примере, когда Х = У = К, у(х) = х + +б, д(х) =!4. Произведение отображений обладает следующими свойствами. 1. тех =,т'; еут = у для любого отлображенил ~: Х -т У. Проверка этого свойства предоставляется читателю, 2. Произведение опюбражений ассоциатаиено, пт.е.
если Ь: Х -+ У, д: У -т Я, у': Я -+ П, ото т(дЬ) = (т'д)Ь. Доказательство. В соответствии с определением равенства отображений нужно просто сравнить значения отображений у(дЬ): Х -т П и (тд)Ь: Х -+ 0 в произвольной "точке" х й Х. Согласно определению (8.2) произведения отображений имеем У(дЬ))(х) = П(д~ )(х)) = Х(д(Ь(х))) = УдИЬ(х)) = ((й)ЬК ). ° 3. Произведение инвекптиених (снтрвекптиенмх, биекптиенмх) опюбражениб инвектаиено ~соотеептсптеенно сюрвектаиено, биектииено). Доказательство. Пусть д: Х -+ У, у: У -+ Š— инъективные отображения и пусть хт ф хг.
Тогда из инъективности д следует, что д(хт) ф д(хг), а из инъективности г следует, что Дд(хт)) ф у(д(хг)), т . й(х. ) Ф Уд(хг) Глава П. Теоретико-множествеяные понятия Пусть теперь У и д сюръективны. Тогда для любого г б Я в силу сюръективности У существует р б У такой, что г = У(р). Но для этого элеметпа р э силу сюръектнвности у существует элемент х б Х такой, что р = у(х). Таким образом, для любого элемента г б Х существует элемент х б Х такой, что г = У(у(х)), т.е. г = Уд(х). Биективность вытекает вз сюрьективности и инъективносгн. ° Обратное отображение.
Пусть У: Х т У. Отображение У ~ т У -+ Х называется абравтним к отображению У, если У-'У=ах, УУ-'=,. (8.3) Заметим, что из этого определения следует, что У вЂ” обратное отображение к отображению У '. Отображение., для которого существует обратное отображение, называется обратлимм.и. Если выполнено только одно нз равенств (8.3), то отбражение У 1 называеплт соответственно левым нли правим обратннмм. Теорема 8.1 (критерий обратимости).
0пюбразтсениг обретаемо таогда и толью тпогда, когда внв бигктаивно. Л е и и а . Если у: Х -т У, У: У -г Х и Уу = ех, то у инескотивнв„а У сюрвсквгивно. Действительно, если у не инъективно, то существуктт элементы хи хг б Х такие, что хт ф хг, а д(хт) = д(хг). Тогда хт = ех(хт) = = Уд(хт) = У(у(хг)) = У(д(хг)) = Уд(хг) = ех(хг) = хг. Следовательно, д ннъективно. Далее, если х — произвольный элемент Х, то х = ех(х) = Уд(х) = У(у(х)) = У(р), где р = у(х) б У.
Это доказывает сюръективность У. Лемма доказана. Доказательство теоремы. Необходимость. ПустьУ обратимо. Тогда из (8.3) и леммы следует, что У ннъектнвно и сюръективно, т.е. У биективнщ Достаточность. Пусть У биективно, тогда для любого р й У существует единственный прообраз х б Х. Построим отображение у: У т Х, положив д(р) = х. Тогда для любого р б У имеем (Уу)(р) = У(д(р)) = У(х) = р, т.е, Уд = еу, а для любого х б Х имеем (дУ)(х) = у(У(х)) = у(р) = х, т.е. уУ = ех.
Таким образом, д = У ' и У обратимо. и Отметим еще два свойства обратимых отображений. 1. Обравтнвг втаобрагюгнис единстлвгннв, так как если У, ', Уг ~— два обратных отображения к отображению У: Х вЂ” т У, то У ' = = Ут ~ег = Ут т(УУз ~) = (Ут У)Уг з = ехУ. ' = У. '. 2. Произведение збраетиммх отаобрвзтсгниб обратимо, нри зюам (Уд) = д тУ т. Действительно, произведение Уд обратимо как произведение биективных отображений, при этом (Уд)(д 'У ') = = У(ду т)У т = УУ т = гг, (д 'У ')(Уу) = д '(У 'У)у = у 'д = ехПерествновкк (подстановки) п-го порядка.
Пусть Х вЂ” конечное множество, состоящее нз п элементов. Перенумеруем эти элементы и будем считать, что Х = (1, 2,..., н). При биективном отображении У мнвкества Х на себя его элементы преобразуются следующим ф 8. Отображения образом: У(1) = ам Д2) = ам...,У(п) = а„, где а, б (1,2,..., и) и он ~ а прн 1 —,1 у. Таким обрезом, ам ою..., о„— перестановка нз первых и натуральных чисел. Виективное отображение у конечного множества Х на себя называется аересглаиоекоб (илп оодсваноекоб) я-ео порядка. Обозначение: илн У=(пм а, " о«).
В записи (8.4) отображение 1 чаще яезывают подстановкой, а в записи (8.5) — перестановкой. Очевидно, перестановка столбцов в (8.4) дает другую запись той же подстановки: где А А ° Д~ и 'уг, 'ум..., у„- перестановки из первых и натураль ныл чисел и .уь = у(Д), й = 1, и. Подстановка (8.6) называется четиноб, если пересхановкн Д, ~дю... ..., ~ди и уг, ум..., у„имеют одинаковую четиость, т. е, если а(а) + + оф) — четио„и нечетной в противном случае.
Пусть ߄— множество всех подстановок и-го порядка. Произведение Я подстановок у,д Е Я„снова будет подопьновкой нз о„(как произведение биективных отображений) н выполняется по правилу 1 2 ... и У(д(1)) У(д(2)) ... У(д(п)) ' Подстановка -(' ':) называется глозсдествеиноб, подстановка (и ь.:ь) является обратной к подстановке (8.6). Глава П. Теоретико-мншкестзенные понятия $ Я. Алгебраические законы Внутренний закон композиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
