В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Арифметическое цростраиство Н" совпадает с цростраистаом матриц й""" иаи рах1. 4, Пространства многочленов. Мппгпчлсиоас и-й степени от одной переменной г с вещественнымн коэффициентами называется выражение вида У(г) = ае+а1с+агг +" +ап$п, где а; е)й, 3 = б,п, причем а„~ О. Число О Е й по определению считается многочленом с пулевыми коэффициентами н называется ирлееылс ымпгпчлсмпас Степень нулевого многочлена ие определена. Два многочлеяа У(с) = ,'Д аьсь в д(г) = Щ Ьага называются раемььыи, есин п = тп и аь = Ьг, й = О,п.
срммой многочленов У(г) = 2 ь о аьга н д(г) =;> в о ьаг" называется многочлен Й(г) = 2"г (аь + Ьь)Ф, где недостающие коэффицть виты (ав или Ьь) заменяются нулями, О б о з н а ч е н н е: у (г) + р(г). Вроигегдсиигы многочлена у'(г) = 2 а и аьг~ ма числа а е К назывветсн многочлен аУ(г) = 2 ,',", оааьгг. Нетрудно проверить, что множества М„всех многочленов степени не выше п и множество М многочленов всех степеней, наполненные нулевым многочленом, образуют вещественные линейные пространПростейшие свойства линейных пространств. Следующие свойства линейных пространств являются элементарными следствиями нз аксиом.
1 . В линейном простпрапстес сречествует единственный прлгепй егитер, так как если дг и йг — два нулевых вектора, то из аксиомы 3 следует, что 91 = 01 + От =йг. Замечо нее 4. Говори о едииствеииости пулевого вектора, мы ие различаем равные векторы. В етом же смысле следует поиимать и другйе утверждения о едивствеииости. 2'. Длл люйпго еектора линейного пространства существует едиистпвеимый прптпиеопплпжиый вектор, твк как если Ь и с — два противоположных вектора к вектору а, то, последовательно применяя аксиомы 3, 4, 2, получим, что Ь = 6+ (а + с) = (Ь+ а) + с = с. 3 .
В линейном пространстве справедливы раеемстпеи. Оа = й, Ча Е 3г и ад = 9, Ча Е К. Доказательство. Для доказательства первого равенства достаточно проверить, что Ь.ьба = Ь, ЧЬ Е е'. Это соотношеняе вытекает из следующей цепочки равенств, основанных на аксиомах 2 — 7: Ь+ Оа = (Ь+ й) + Оа = Ь+ (( — а) + а) + Оа = (Ь+ (-а)) + а+ Оа = = (Ь + ( — а)) + 1а + Оа = (Ь + ( — а) ) + (1 + 0)а = (Ь + (-а)) + а = = Ь + (( — а) + а) = Ь+ Р = Ь. Второе равенство доказывается с помощью первого и аксиомы б: если а — произвольный вектор пространства, то ад = а(йа) = (ггй)а = =Оа= д.
° 4". В линейном пространстве из равенства аа = д следует, чпю либо а = О, либо а = д. В самом деле, квк следует из свойства 3', случай а = О возможен, если аа = д. В случае когда и ~ О, на основании свойства 3' н аксиом 5, б получим /1 '1 а = 1а = ~-а( а = — (аа) = -д = д, 5~. В линейном пространстве длл любого вектора а противоположный вектор может быть получен как произведении — а = (-1)а. от~ ОфР 4ФМ~~Ьиз( Ячьаз~~~ Это утверждение вытекает нз аксиом 3 — 5, 7 и свойства 3', так как 9 д~р а + ( — 1)а = 1а + ( — 1)а = (1 — 1)а = Оа = д. 6~. Длл любой пары еекторое а и 6 линейного пространства существует, и притом единсгпвеннал, разность Ь вЂ” а.
Доказательство. Вектор Ь+(-а) является разностью Ь вЂ” а векторов а и Ь, так как на основании аксиом 1 — 4 и определения разности имеем а + (Ь + ( — а)) = (а + (-а)) + Ь = д + Ь = Ь. При этом если с — любая другея разность Ь вЂ” а, то из аксиом 2 — 4 следует, что с = с+ д = с + (а + ( — а)) = (с+ а) + ( — а) = Ь+ ( — а). ° 3 14.
Линейная зависимость Пусть аь аю, аь — векторы линейного пространства г' и ам аз, ..., аь — действительные числа. Вектор а1а1 + азат +... + аьаь называется линейной комбинацией векнирое аь аз,..., аь с каидФициенпюми аь аз,..., аь. Если вектор Ь является линейной комбинацией векторов аь аз,..., аы то говорят, что векпюр Ь линейно выражаетсл через еекоюры ам аз, ., аы при этом представление вектора Ь в виде Ь = а|а1+... + аьаь называют разложением вектора Ь по вскяюрам ам ам...,аь.
Очевидно, нулевой вектор линейно выражается через любой вектор, так как д = Оа, Ча б У. Через нулевой вектор не может выражаться ни один ненулевой вектор, так кзк ад = д, Ча б Ж. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной, если среди ее коэффициентов хотя бы один отличен от нуля. Очевидно, тривиальная комбинация любой системы векторов равна нулевому вектору. Система векторов аь аю ..., аь называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.
если существуют числа ам аз,..., аз, одновременно не равные нулю и такие, что (14.1) а~а1+ азах+... + аьаь = д, Глава Пс. Введение в теорюо линейных пространств в линейка независимой, если нулевому вектору равна только тривиальная линейная комбинация этих векторов, т.е. если из равенства (14.1) следует, что а« = аг =... —— ав = О. Теорема 14,1.
Система из одного вектора линейка зависима тогда и тпольхо пюгда, когда эпют еехтпор нулевой. До к аз ате л ьс т во. Линейная зависимость сястемы из одного вектора а равносильна тому, что ста = д при некотором а ф О, а зто, в свою очередь, равносильно (113, свойства 3, 4) тому, что а = д. ° Теорема 14.2. Сис«пгма еехторое амаг,.,аю где 6 > 1, линейка зависима тогда и «польке тогда, когда котя бьс один иэ еехторов втой систпемм икейко еиразюагпсся через другие. Доказательство. Необходимость. Если система векторов амат,, ..,аг линейно зависима, то существуют числа ат, аэ, ..., аю одновременно не равные нулю и такие, что ага«+ азат +... + а,ас +...
+ аьаь = д. (14.2) Пусть ас ~ О. Тогда в силу (14.2) а; = ~",я, ( — а,стас) а,. Так как Й > 1, то для вектора ас существует хотя бы один "другой" вектор системы. Достаточность, Пусть а, = ~влтава,. Тогда, перенеся правую часть этого равенства в левую, получим нетривиальную линейную комбинацию векторов системы, равную нулевому вектору: -агૠ—...
— ас тас «+1а, — он+тат+« — ... — аьаг = д ° Эта теорема даст другое определение линаанои зависимости сногвиы векторов, в но«ораз содвржитсв более одного вахтера. Теорема 14.3. Если подсисп«езса системы есхтпорое линейке зависим«с то и еся систпема линейно зависима. Доказательство. Не ограничивая обптдости рассуждений, можно считать подсистемой системы векторов ам аг,..., а„..., ав ее первые з векторов. Из линейной зависимости а«, аз,..., а, следует, что а«а«+агат+... +с«,а, = д для некоторых чисел а«,аг,...,а„среди которых существуег ас ф О.
Тогда а«а«+ агат + ... + а,а, + Оа,+ «+ + ... + Оаг = д, причем аи уг О. Следовательно, система векторов а«, аг, ..., а„..., аз линейно зависима. н Т е о р е м а 14.4. Л'юбая подсистпама иикейко независимой систпеми еектпорое линейке кезазис«ьма. В самом деле, если бы существовала линейно зависимая подсистема, то на основании теоремы 14.3 вся система была бы линейно зависимой. н Теорема 14.5.
Система векторов амаз,...,аг линейке независима тогда и только тогда, когда любой вехтер, яеляюисийся линейной комбинацией зтпит еекторое, имсетп едикстпееккое разлоэюекие по этим есктпорам. Доказательство. Необходимость доказываетсяотпротивного. Пусть существует вектор 6, который имеет два различив«я разложения по векторам ас аг ' аьс 6 Кс «асс«т 6 ~т с с агат $ з у 14. Линейная зависимость 67 3а, ф а',. Вычитая почленно одно равенство нз другого, получим нетривиальную линейную комбинацию векторов ам аз>..., аь, равную нулевому вектору.
Отсюда следует линейная зависимость системы векторов аы аю, „аы Достаточность также доквзывается от противного. Пусть система аы аю...,аь линейно зависима, тогда а1а1 + атаз + ... + аьаь = д (14.3) для некоторых чисел амаэ,...,аь, среди которых существуета, 7Ь О. Но, с другой стороны, Оа1 + Оаэ+ ...
+Оаь = д. (14.4) Мы получили два различных разложения (14.3) в (14.4) нулевого вектора д по векторам аы аю..., аы что невозможно. ° 'Г е о р е м а 14.6. Если система ввкгворов ам аю..., аь лине6- но независима, о система аз, аю...,ам Ь линейно зависима, то вектор Ь линейно вмражаетсл через всктаоры ам ам..., аь. Док аз ате л ьст во. Из линейной зависимости системы векторов аы аю ..., аю Ь следует, что а,а1 + азаг + . ° - + аьаь + аоЬ = д (14.5) для некоторых чисел амат,...,аы ао, среди которых хотя бы одно отлично от нули. Если ао —— О, то ненулевой коэффициент а, находится среди чисел ам ею..., аь; при этом (14.6) переходит в равенство а1а1 + азаг+ ..
+ аьа» = д, где ж, Ф Р, 1 < з < й, которое противоречит условию линейной независимости ам аю...,аь. Следовательно, ао ~ О; отсюда и из (14.6) получаем, что Ь = ~„,, ( — а;/ао) а;. ° Примеры.1. Арифметическое пространство К". Варифметическом пространстве Ж" единичные векторы е1 =(1,0,0,...,0), еэ =(0,1,0,...,0), е„=(0„0,0,...,1) линейно независимы. Это сдедует нз того, что линейная комбинация этих векторов с коэффициентами ам ам..., а„представляет собой ари4 метнческий вектор (аы аю..., а„), который равен нулевому вектору д = (О,..., 0) тогда и только тогда, когда а, = О, 1 = 1, н.
2. Пространство многочленов. Многочлевы 1,1,1з,...,г' линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих многочленов с козффициентамя ае, аы..., а„представляет собой многочлеи ~;~", о аь$, который равен нулевому многочлену тогда и только тогда, когда аь = О, Й = О, и. 68 Глава ЕК Введение в теорию линейных пространств $ 15. Геометрический смысл линейной знвисимости В С в) О а А Рнс. 1 О А Утверждение 2. На прямой (на плоскости и в пространстве) вслкий вектор линейно выражаетсл через любой ненулевой вектор (соответственно любые два неколлинсарных и любые три некомпланарных вектора). Доказательство. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
