В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Достаточносп доказана в 34 (свойство 8). Необходимость вытекает из теоремы о базисном миноре, так как из равенства ~А~ = О следует, что гй А < и и, значит, в матрице А имеется хотя бы одна небезисная строка (столбец), которая является линейной комбинацией других (т.е. базисных) строк (столбцов). ° Пусть в линейном пространстве даны две системы векторов. Бслн каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой, то говорят, что первая сисомма линейно еюраксаетсл через еспорукс Очевидно, что "линейная выражаемостьо обладает свойством транзитивности, т.е. если система векторов ам..., аь линейно выражается через Ьм..., Ь:„, а система векторов Ьм..., ܄— через см..., с то ам..., аь линейно выражается через см..., с,„.
Т е о р е и а 16.2. Если е линейном пространстве ббльшал система векторов линейно емражоетсл нерее меньшую, то бааьшал сискмма линейно ааеисима1. Доказательство. Пусть ам...,а и Ьм...,܄— две системы векторов в линейном пространстве, т > и и а; = 2 " суЬ,, 1 = 1, т. Тогда в матрице '] число строк балыке числа столбцов.
Из (1б.1) н условия теоремы следует, что щ С < и < т. Значит, в матрице С сутцествует хотя бы оциа небззисная строка (например, е-я), которан линейно выражается через другие строки. ~дца нз свойств операций З пространстве Мо следует, что вектор ое линейно выражается-через другие векторы системы аь..., о . Отсюда и из теоремы 14.2 следует линейная зависимость системы векторов ан ..а . ° Т е о р е и в 16.3. Ранг матрицы равен асаксилаьеьному числу ее линейно независимых строк (столбцов). стеорема нреассаелнат собой Лщтую формуаноовку теоремм, кассетной как "основнак теорема о лннеаноя завнснмостн" [14]. Доказательство. Пусть гйА = т и т > О (случай т = О очевиден).
Тогда в матрице А существуют т линейно независимых строк (сптлбцов) — зто ее бззисные строки (столбцы). При этом любая система из большего числа строк (столбцов) линейно зависима на основании теорем 16.1, 14.2. н С л г д с т е и е 2. гй А = гб Ат . Замечание 1. Теорема 16.3 дзот два новых определения ранга матрицы.
Т ео р е м а 16.4. Если зсг строки (столбик) лтатрицм А линейка выражаются через строки (столбцы) .матрицы В, тпо гйА < гбВ. Доказательство. Пусть гйА = г, гйВ = з и пусть ам...,а, и Ьм... „Ь, — базисные столбцы матриц А и В. Докахтвм, что г < з. Пусть г > з, тогда согласно условию теоремы система ам..., ат линейно выражается через систему столбцов матрицы В, которая, в свою очередь, в силу теоремы 16.1 линейно выражается через систему базисных столбцов Ьк...', Ьг. Отсюда следует, что ат,, а, линейно выражается через Ьт,...,б„причем г > з. Из теоремыт4~~.
вытекает линейная зависимость ам...,а,. Это противоречит тому, что ам..., о — базисные столбцы. ° Теорема 16.6. Ранг произведения матприц кг превосходит рангоо сомножитпглгй. Доказательство. Пусть С = АВ. Из (2,3) и (2.2) следует, что строки матрицы С линейно выражаются через строки матрицы В, а столбцы С вЂ” через столбцы матрицы А Отсюда в силу теоремы 16.4 вытекает, что гй С < гй В, гб С < гб А.
° Ранг матрицы и элементарные преобразовании, Т е о р е м а 16.6. Ранг матрицы нс измоняетсз ири умножении сс на невььрожденкуто лтатрицу Доказательство Пусть С = АР, 1Р~ Ф О. Тогда на основании теоремы 16.5 имеем гбС < гбА. С другой стороны, матрица Р обратима (теорема $.2) и А = СР '.
Снова воспользовавшись теоремой 16тк получим, что гй А < гб С. Оба этих неравенства говорят о том, что гб С = гб А. Аналогично доказывается, что гб ЯА = гй А, если Д ф О. и Т е о р ем а 16.Т. Злгмгнтаркие преобразования матприци нг изменюот гг ранга. Доказательство. Это утверждение следует нз теоремы 3.2 и невырожденности матриц (3.1) элементарных преобразований ()Р;.~ = -1, )Щ = а Ф О, !Ь;.~ = 1). ° Т ео рема 16.6. Ранг матрицы не изменится, если из скотски сс строк (столбцоо~ вычеркнуть или припиогть строку (соотпеетстеснно спюлбгц), которал яоллстпся линейной комбинацией другия сторон (соотпеетстеенно спюлбцое).
74 Глава Лг. Введение е теорию линейных пространств Доказательство. Рпссмотрнм вариант теоремы, относящийся к вычеркиванию строки. Прежде чем вычеркивать строку, являюшуюся линейной комбинацией других строк, вычтем вз нее эту линейную комбинапню. Тогда вычеркиввемая строка станет нулевой, а ранг матрицы согласно теореме 16.7 не изменится. Затем вычеркнем нулевую строку. При этом ранг матрицы останется прежним, твк как нулевая строка не влияет на порядок ее ненулевых миноров. Аналогично доказываются другяе ваунанты теоремы. ° Метод Гаусса вычисления ранга, Теоретическую основу этого метода для решения данной задачи (см. й4) составляют следующие факты: — ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству ненулевых строк (соответственно столбцов); — элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга (теорема 16.7); — любая матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к трапециевидной форме (теорема 3.1).
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней (нижней) трапециевидной форме и подсчете ее ненулевых строк (столбцов). Отметим, что этот метод почти копирует метод Гаусса вьгчвслонвл определи- толк, отличие лишь в том, что в данной задаче он рсалнзустса нссколько проще, так как накакав элементарное прсобразовавне кс илмеилст ранга матрацы.
Замсчакпе 2. Среди других методов аычнсвоннл ранга вьщолнм мспюд окаезьглкпл мохоров, Минор Мьт1 (й+ 1)-го порядка называется окаймлхющнм мгпюр луь Ф-го поркдка, если Мь получавгсн нз Мам вычеркнваннем одной строкн н одного сп|лбца. Мвюд окаймлоннп миноров основан на следующем утверлгдении (докажктеЦ: если в ма1прице А сущсоювусю ненулевой монар Мг г-го иорюдка, а все окаймллющос сзо мпкорм равны нулю, гло гй А = г. Метод окаймлоннл миноров состоит в понско такого минора Мг путем перебора. Бвзуглоано, он уступаат методу Гаусса нз-за большого объема требуемых вычнслсннй, однако в некоторых случаях бывает полезным.
Во волком случае ндоп окаймлоннк матрицы лежит в основе многих методов вычнслнтельной алгебры. Эквивалентные матрицы. Две матрицы А,В б Жюхп называются экенеалвнтными, если существуют невырожденные матрицы Р и Я такие, что А= РВЯ. Обозначение: А ° В. Тво р ем а 16.9. Эквивалентность матрпц леллетсд отношением экепеалентностп на множестве матрац Кюха. Доказательство, В самом деле, рефлекснвность отношения следует из того, что А = 1 А1„„, 'гА 6 зк ""; симметричность — нз того, что если А = РВЯ, то В = Р 'А1~ 1; транзитивность — нз того, что если А = Р1ВЯг, В = РзСЯз, то А = Р1РзСЯэ91 = РСЯ, где Р = Р1Рю Я = Щ~1. ° Теорема 16.10. Любая ненулевая матрцца А бКюхп ранге г эквивалентна матрице Хг Е Й"'хп вида 316.
Ранг матрицы (здесь все элементы, кроме первых г диагокалькь»т элемектов, равкмт 1, равны О), Доказательство. Покажем,чтоматрицаАэлементарнымипреобраэованиями строк н столбцов приводится к виги Х,, Е самом деле, строчный вариант основного процесса ('э3) приводит ее к верхней ступенчатой форме. Если к получившейся матрице применить столбцовый вариант основного процесса, то придем к диагональной матрице. Так как элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга, то ровно г первых диагональных элементов этой матрицы отличны от нуля. Разделив каждую нз первых г строк на диагональный элемент, получим матрицу Х .
На языке матриц элементарных преобразований это означает, что существуют матрицы элементарных преобразований Ям...,Щ и Рп ..Р» такие, что Хг = Я»...ЯьАР1-,.Р„ (теорема 3.2). Положив Я = Я»... Щ и Р = Рг...Р„получим, что Х„= бХАР, где ~»г) ~ О, )Р( ~ О в силу невырожденности матриц элементарных преобразований. ° Теорема 16.11.
Две матрицы А,В 6 К"'"" эквивалентны пюгда и только тогда, когда их ранги совпадают. Доказательство. Необходимость вытекает из определения и теоремы 16,6. Достаточность следует из теоремы 16.16 и транзитивности отношения эквивалентности. ° Скелетное разложение матрицы. Теореме о бэзйсном миноре можно дать чисто матричную формулировку. Т во р е ма 16.12. Любая матрица А б К"'"ь ранга г мозсет быть представлена в виде (16.3) где В ~ Щт»г С с цгхп До к аэ а тел ь ст во.
Для получения разложения (16.3) достаточно взять в качестве столбцов матрицы В базисные столбцы матрицы А. Так как любой столбец матрицы А является линейной комбинацией столбцов матрицы В а - = сг -Ь| +... + с,гб„у = 1, и, то коэффициенты с»1, сг,..., сгд образуют у-й столбец матрицы С 0 = 1,, см.
(2.2), (2.3)). ° 76 Глава П~'. Введение в теорию линейных пространств Предстввленяе (16.3) называется схегегпным разложением маглрпци А. Отметим, что в скелетном разложении гй В = гй С = г, так как гхА < гхв, гбА < гбс. Скелетное разложение можно трактовать и в строчном варианте. строки матрицы С вЂ” это базисные строки матрицы А, через которые линейно выражаются все строки матрицы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
