В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 19
Текст из файла (страница 19)
А Доказательство. Действительно, АМ = ОМ вЂ” ОА (рис. 1) и, следовательно, а = гв — гл. Так как О гл = (ям уг, гД, гн = (кщ уз, гз), то в силу свойства линейности коордяРис. 1 нат отсюда следует утверждение теоремы. ° Деление отрезка в данном отношении. Говорят, по точка М ~ В делит ненулевой отрезок ]АВ] в оганогиеним Л, если АА," = ЛМВ (рис. 2). А В А=М В А В А В Рис. 2 Обозначение: (АВМ) = Л, Из определения следует, что точка М расположена на прямой АВ, при атом (рис.
2)". 1) если М вЂ” внутренняя точка отрезка ]АВ], то Л > О; 2) осли М = А, то Л = 0; 3) если М расположена вне отрезка ]АВ], то Л < О. Заметим, что других вариантов расноложення точки М ие может быть и что ни в одном нз возможных вариантов Л ие равно — 1, Теорем а 20.2. Пусть А(гг), В(гз), М(гз) — точки пространства и (АВМ) = Л. Тогда гг+ Лгт 1+Л (20» 1 До к аз а т ел ь с т в о.
Условие (АВМ) = Л означает„что Ай] = ЛМ2] или гз — гг — — Л(гз — гз) . Отсюда оде~нет (20.2) . ° Глава 1т, Векторная алгебра Следстлвие. Соотлноитение(20.2) в координаязной форме имесят следуйнций видт длл А(хт, у1, зт), В(хз~ уз» «3) ~ М(хз1уз зз) хт+Лхз ут+Луз зт+Лзз хз = 1+Л ' 1+Л ' 1+Л т УЗ= ЗЗ— Прямоугольные координаты. Базис еы..., е„, где тт = 1, 2, 3, называется орптонормироеанным, если векторы базиса 1) имеют единичную длину н, в случаен >1, 2) попарно перпендикулярны. Аффинная система координат 10; ез, ез, ез), соответствующая ортонормированнсму базису ет, ез, ез, называется прямоугольной р нт й йк Удим 8 21.
Проекции вектора и координаты Проекции вектора на плоскости. Пусть на плоскости Р даны две непараллельные прямые и Х. Проекцией напраелснно- В го оятрезко АЗ на пртытую парол ельне нрлзтой Х называет- А ся (рис. 1) направленный отрезок АЗВтт где Ат, Вт — проакции точек А н В на пря- Ат Вт мую 1 параллельно прямой Х,. Обозначение: ргтсАХт. Рис.
1 Теорема 21.1. Проекции равных направленных отпрезаое рроены. Доказательство. Пусть АЗ = СХ1, покажем, что ргтьАВ = ргт"СХ1 . Введем на плоскости систему координат (О; еы ез», где 0— точка пересечения прямых 1 н Х, ез — базис на прямой 1, ез — безас на прямой Х. Пусть точки А, В, фРимеют координаты А(хА, уА), В(хв, ув), С(хс,уо), Р(хтт,уо). Так как а = А4 = СХ1т, то согласно теореме 20.1 (21.1) хн — хА = хо — хо. Так как точки Аы Вт, Сы Рт имеют координаты А)(хА,О), Вт(хв, 0), Ст(хс,0), Рт(хтт,0) (220, замечание 2), то Ъ = АзВт — — (хв — хА,О), с = СЗРт = (хтт — хе, О).
Согласно (21.1) отскда следует, что Ъ = с. — -т — т Это означает, что АЗВт и СЗРт поролсдактт адин н тот же вектор н поэтому равны. ° у 21. Проекции вектора и ксюрдинвты Проекцоей вектгцга а = АХ) на прямого 1 параллельно прямой Ь называетса вектоР, поРсовденный РггьАМ. Обозначение: Ргали. Корректность определения вьпеквет из теоремы 21.1. Теорема 21.2.
Проекция векгпора на щимую1 параллельно прямой Ь обладает свойством линейностиг 1~ ~ гг(а+ Ь) = ~ ге а+ Рггь Ь, 'т'а, Ь, 2) ргг (гха) = а ° ргг~ а, Ча, Ча й 11. Доказательство. Пусть в базисе ег, ез, рассмотренном выше, векторы а, Ь имеют координаты а = (амаз), Ь = (ЬмЬз). Тогда рггь а = (ам 0)„ргг Ь = (Ьм О) и в силу линейности координат ргг~ а+ +РггьЬ = (аг+Ьг,0). С дРУгой стоРоны, а+ Ь=(аг +Ьг,аз+Ьз1 в Рггь (а+ Ь) = (аг+Ьмй). Следовательно, Ргф (а+ Ь) = Р~ф а+РггьЬ. Аналогично доказывается второе условие линейности. ° Замечанне 1. Формулы (19.3) для коордияат вектора а в базисе ег, ез плоскости 1з могут быть залвсаны в терминах проекций вектора на ось в виде Т'Г' (рг„а) ! 1' где рг, а и ргз а — проекпии вектора а на осн„определенныв вектора; ми ег и ез соответственно (т.е. оси координат Ох и Оу), параллельно другой оси (т.е. оси Оу и Оз соответственно).
Проекции вектора в пространстве. Пусп в иростраистве заданы плоскость гг и непараллельная ей прямая Проекцией направленного В огпрезка АМ на прямую 1 (на В плоскость к) параллельно плоскости к (соответственно прямой 1) называется (рис. 2~ А направленный отрезок Аг Вг 1 А) (АзВт), где Аг н Вг (Аз и Вз) — проекции точек А и В на прямую 1 (плоскость т) параллельно плоскости к (прямой О Аз Обозначение: ргг АЮ, к р .'АВ.
Для обеих проекций спрв ведливо утверждение теоремы Рис. 2 21.1г проекцно равнмз направленньгк отрезков равны. Доказательство утвервгдения для проекций в пространстве отличается от доказательства теоремы 21 1 только тем, что система координат (О; ем ез, ез) состоит из точки О пересече- 1"лава тг.
Векторнвл алгебра ния прямой 1 с плоскостью е, базиса ет, еэ плоскости тг и базиса еэ прямой Ь Проекцией еектпора а = Ас) на прлмую 1 (плоскостпыг) параллельно плоскостпи тг (ирлмой 1) называется вектор, порожденный ргг" АМ (рг~ Аст). Обозначение: ргт а, ргга . Обе проекции еектпора обмь даюш сеойстпеом линейностпи. Доказательство этого факта повторяет доказательство теоремы 21.2 с той лишь разницей, что рассматривается система координат (О; ет, еэ, еэ), упомянутая выше. Замечание 2, Формулы (194) для координат вектора а б 7э в базисе ет, ею еэ могут быть записаны в терминах проекций вектора на ось в виде (рг а) (рг„а) (рг, а) ~ег ~еэ~ ~еэ! (21 3) где рг, а, рг„а, рг, а — проекции вектора а на оси, определенные баэисными векторами ет, ею ез (т.е.
оси ксюрдинат Оз, Ор, Ое), пареллельно координатным плоскостям Орл, Оял, Оку соответственно. Теорема 21.3. На плоскостпи ~е простпранспше) величина проекции вектора на ось параллельно прямой (соотпеетистпеенно плоскостно) обладаетп свойством линейностпи. Утверждение теоремы следует из того, что величины рассматриваемых проекций пропорциональны координатам (согласно (21.2) и (21.3)), которые обладают свойством лянейности (теорема 17.3). ° Мы определили три различные проекции вектора.
Во всех трех случаях, если 11Х, илв 1Ллг, проекции вектора называются оршогональнмми проекциями 3 22. Скдлнрнов произведение Определение и основные свойства. Пусть а и Ъ вЂ” ненулевые векторы. Отложим их от инной точки О. Пусть а = ОА, Ь = 01). Уелом между ееюпорами а н Ь называется наименьший угол между лучами (ОА) в (ОВ). Обоз нач ение: (а, Ь). Корректность определения очевидна.
Из определения следует, что О с ( а, Ь) < тг. Скалярным правоведением ненулевых еекпюрое а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один яз векторов а или Ь нулевой, то скалярное произведение этих векторов по определению считается равным кулю. Обозначение: (а, Ь). Итак, для ненулевых векторов а и Ь (а, Ь) = ~ а! . (Ь) сое(а, Ь). Обозначим через рг Ь ортогональную проекцию вектора Ь на ось, определенную вектором а ~ 0 (рис. 1).
90 Глава К Векторнвл алгебра координатам длину вектора и угол между векторамк, тек как | а| = = Да, а~, соз(а, Ъ) = (а, Ь)/(| а| . | Ъ|). Задача вычисления скалярного произведения векторов по их координатам существенно упрощается, если рассматривается ортонор. мярованный базис. Векторы а и Ь называкпся ортогональними, если (а, Ь) = О. Из определения следует, что векторы а и Ь ортогонельны тогда в только тогда, когда либо один иэ ннх нулевой, либо они перпендикулярны.
В терминах ортогонзльностн векторов ортонормнрованность базиса ем ., еа, где п = 1, 2,3, означает, что (еое)= (22,4) Т е ар ем а 22.3, Скаилриое произведение векторов а = =озез+озез+азез и Ь = Взез+Рзез+)3зез равно сумме попарнмх произведений коордииаях (а, Ь) =ко;А (22.5) еюгда и только тогда„когда ем ез, ез — ортаиормироеанкый базис. Доказательство, Достаточность вытекает из (22.3) н (22.4). Необходимость.
Соотнощеннн (22.4) вытекают нз (22.3), если учесть, что векторы ем ез, ез в базисе ем ез, ез имеют координаты (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) соответственно. ° Следствие 2. Если векторы а = ~аыоз,оз), Ь = (Д,~3з,фз) задаем координатами е ортпоиормироеаином базисе, то |а| = аз~+о~~+о~~, "соз(а, Ь) = . (22.0) |а| |Ь| Следе т е ие 3. В прлмоузольиой декартовой системе координат рассгполиие р(А, В) между точками А(хм ум з1 ) и В(кз, уз, зз) иакодитсл по формуле р(А,В) = (кз — кг) +(уз — уз)з+ (зз — зз)з Это равенство следует из того, что р(А,В) = |АМ| и АМ = (кз зм уз ум зз з1). Неправлягопзие косинусы.
Напраеллюи1ими косинусами вектора (луча) называются косинусы углов, образованных этим вектором (соответственно лучом) с осями координат. Для прямоугольной декартовой системы координат (О; ем ез, ез) направляющие косинусы единичного вектора е совпадают с координатами вектора е в базисе еы ез ез так как если е = оз е1+оз ез+азез, то оь = (е, еь) = = сов( е, еь), й = 1, 2, 3. 523. Векторное я смешанное произведения $ 23. Векторное и смешанное произведения Ориентация в вещественном линейном пространстве. В $19 пря рассмотрении оси, определенной ненулевым вектором е, мы фактически ввели ориентапию на примой, назвав положительным то направление, которое совпадает с направлением нестора е. Прежде чем вводить определение ориентвпли, общее для прямой, плоскости и пространства, снова обратямся к прямой. Каждый ненулевой вектор е прямой образует беляс, и переход от одного базиса к другому осувжствлжтся умножением етого вектора нв ненулевое число.
Так как вто число либо положительно. либо отрнпательно, то все бавткы на прямой равбяваютск ровно на два класса: базисные векторы одного класса имеют одинаковое направление, а любые два базисных вектора разных клатхов имеют противоположные направления. Тот факи по базисные векторы относятсв к одному классу, нв алгебраическом явьпе озйачает, что они отличаются тюлотюппмльнмм мноомиямлем. Именно зтям мы и Воспольвуемся для определения ориентация.
Два базиса е = (еы, е„) и е' = (еы..., е'„) линейного пространства г' называются одинаково ориентпироеаиными, если матрица перехода С,, имеет положительный определитель, и нротпиеопллопюмо ориемтпироеаниыми — в противном случае. За м е ч а и и е 1. Из определения и нз свойств определителя следует, что два базиса, получающиеся друг из друга — перестановкой двух их векторов илн — умножением кйкого-либо вектора на отрицательное число, противоположно ориентированы. Т е о р е м и 23.1. Онтноитение одинаковой ориетппирееаннеспти является оптмоитеиием эквивалентности на мноотсесптве всея базисое простпрамстпеа т~. Доказательство. Действительно, рефлекснвность отношения следует нз того, что переход от базиса к самому себе осуществляется с помощью единичной матрицы, симметричность — из теоремы 17.5 н очевидного факта: )С г) ° ~С) > О, транзнтнвиость — из того, что если е' = еС, ео = е'Р, то ен = е(СР), цри этом ~СР~ = = '1С( ° (Р( > О.
° Так как определитель матрицы перехода от одного базиса к другому либо положителен, либо отрицателен, то множество всех базисов пространства разбивается отношением одинаковой ориентированности ровно на два непересекающихся класса (класса эквнвнлентности) так, что всякий базис принадлежит одному и только одному классу, два базиса одного класса одинаково ориентированы, а любые два базиса нз разных классов противоположно ориентированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
