В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При этом формулы преобразования координат имеют вид х = а+ х'сову — у'эшу, у = р" + х'вшл+ у'ам р. (24.6) 2. Пусть С = . ~ ~, тогда <С< = — 1 н ет' = сову. ед+ эш р- ез, ез' = зш р ет — сову ез. Поступая аналогично п.
1, получим (рис, 2,6), что (е~', ет) = р, (е~', еэ) = (ез', ет) = -' — к, (ез', ез) = я — у. В этом случае базисы е и е' противоположно ориентированы и система координат (О', ет', еэ') не может быть совмещена с (О; ею ез) путем переноса начала и поворота; после поворота на угол у нужно выполнить отражение относительно оси ег' (т,е. изменить направление ез'). При этом формулы преобразования координат имеют вид < х = а+я'сезар+ р'япу, р = Д+ х'апы — р'сову.
Заметим, что в обоих случаях положение второго базиса е' = = (ем е') относительно первого с = (еь ез) однозначно определяется лишь одмнм параметром — углом у. Преобразоввиие прямоугольной декартовой системы коордвмат в пространстве Пусть (О; ем ею еэ) и (О', е'„еэ, еД вЂ” прямоугольные декартовы системы координат в пространстве, т.е. е = (ем ею ез) н е' = (е',, еэ, еЦ вЂ” ортонормированные базисы и матрица перехода С = (с; ) е йз" ортогональна. Аналогично тому, как это было на плоскости, положение второго базиса е' относительно первого с может быть однозначно определено лишь тремя параметрами — так называемыми углами Эйлера. Введем эти углы. Будем счн шть, что обе системы координат одноименны и имеют общее начало О.
Пусть для определенности базисы е и е' образуют правые тройки. Обозначим через Ов ось, совпадакицую с линией пересечения координатной плоскости Оху первой системы ксюрдинат с координатной плоскостью Ох'р' второй системы и направленную в ту сторону, откуда кратчайший поворот от оси Ох к оси Ох' авдея совершающимся против часовой стрелки (рнс. 1).
Очевидно, ось Ов перпендикулярна плоскости Охх'. Пусть теперь эу — угол между осями Ох н Ои, отсчитываемый в плоскости Оху от оси Ох в направлении кратчайшего поворота от оси Ох к оси Оу; д — угол между осями Ох и Ох', не превосходящий э. (так как системы координат одноименны); 1с — угол между осями Ои и Ох', отсчитываемый в плоскости Ох'у' от оси Ои в направлении кратчайшего поворота от оси Ох' к оси Оу'. у 24.
Преобразование координат л1(я) Рис. 1 Рис. 2 Трн угл» р„0 < и < 2я, от Ох до Ои в плоскости Оху; д, 0 < Р < я, от Ог до Ог' в плоскости Охг', у, 0 < ~р < 2к, от Ов до Ож' в плоскости Ох'у' называются углами Эйлера системы координат Ож'р'г' относительно Охуг. Кери заданы три угла Эйлера, то преобразование первой системы координат Охуг во вторую Ож'у'г' можно представить в виде последовательного проведения трех плоских поворотов: 1) поворота плоскости Оху вокруг оси О» на угон в', при этом повороте ось Ох совместнтсн с ось1о Оп„ось Ог останется на месте, а вся система координат Охуг перейдет в систему координат Ож1у1г1 1рис. 2)„.
2) поворота плоскости Оу1в1 вокруг оси Ох1 на угол 9, при этом повороте ось Ог1 совпадет с осью Ог', плоскость Ох1уг совмесппся с плоскостью Ох'у', а вся система координат перейдет в систему координат Охгутгг (рис. 3) ," 3) поворота плоскости Охгуз вокруг оси Огг на угол х, при этом повороте система координат Охэуггэ совмесгнтси с системой ксюрдинат Ожгу'г' (рис.
4). Рис. 3 Рис. 4 Глава г', Векторная алгебра Каждый из указанных трех поворотов производится в одной из координатная алоскосямб соответствузощей системы координат, поэтому формулы преобразования координат в соответствии с 124,5) будут иметь следующий вид: 1) для первого поворота с ~сов Ф вЂ” зш 4~ 01 У = Сз р1, где Сз = в1п'Ф сов ф 0; ~24.7) О 0 1 2) для второго поворота | х11 Г з1 ~1 0 0 91~ =С, ~рз~, где С, = ~0 совр — апд1; 124.9) 81 зз 1, 3) для третьего поворота рз = Сз у, где Сз = вшФ сов Ф 0; ~24.9) Из 124.7)-(24.9) следует, что с я1 М р~ = С ~р'~, где С = СзСзСз х 3' (24.10) см = совфсоз~р-вшфсовдвшт, сз з = — соз ф ап ~в — вш ф соз д соз ф, сгз = вшрапб, сз1 = апФсову+ созФгозйапр, сзз = - зшрзш р+ соз рсовдсову, сзз = — совб~вшр, сз1 = апрашу, сзз = вшдсозу, сзз = совр.
СтСтСт , Равенство (24,10) в силу ортогональностн матриц См Сз, Сз дает обрат- ное выражение новых координат через старые 101 у 25. Полярные координаты Соотношения (24.10) и (24.1Ц получены в предположении, что обе системы координат имеют общее начало. Если же зтн системы координат имеют начало в разных точках, но получаются одна нз другой параллельным переносом, то равенства (24.10) и (24.11) не меняют своега вида, так как ни направления асей, ни величины углов Эйлера при этом не изменяются. Таким образом, формулы преобразования координат имеют вид (24.2), где величины с; определены соотношениями (24.11) через углы Эйлера, Итак, преобразование прямоугольной декартовой системы координат в одноименную систему координат состоит в последовательном проведении параллельнога переноса н трех плоских вращений.
Если же системы координат Охра и Ох'р'х' разнаимениы (угол с больше л), то после параллельного переноса и поворотов на углы Эйлера необходимо еще выполнить зеркальное отражение относительно плоскости О'х'у' получившейся системы координат. 5 25, Полярные координаты Декартовы системы координат — не единственный способ определять положение точки с помощью чисел и тем самым применять числовые расчеты для решення геометрических задач. Для этой цели используются и другие типы координатньпс систем.
Опишем некоторые яз них. Полярные координаты на плоскости. Полярная система координат на плоскости состоит нз точки О плоскости и исходящего из нее луча 1. Точка О называется по носом, луч 1 — полярной осью. Обозначение: (О;1). Задание полярной системы координат позволяет однозначно определить положение любой точки плоскости с помощью двух чисел (рис. 1): 1) расстояния г от то*щи М до полюса О и,если М~О, 2) угла р между лучом [ОМ) н полярной осью 1 (угол отсчитывается от оси 1 против часовой стрелки). О Рнс.
1 Рис. 2 Число г называется полярным радиусом точки М, а угол ~р — яоллрпь.ч рааом. Упорядоченная пара чисел (г„~с) называется полярными координатамиточки М. Обозначение: М(г,у). Глава К Векторная алгебра Из определения следует, чтог 1) т> 0 для любой точки М плоскости и т = 0 с=ь М= О; 2) О с уг с 2я для любой точки плоскости, кроме полюса, а длн полюса угол уг не определен; 3) любая точка плоскости, отличная от полюса, имеет полярные кгюрдинаты, при этом две точки плоскости совпедают тогда и только тогда, когда совпадают ик полярные координаты.
С каждой полярной системой координат связана некоторая прямоугольная декартова система координат. В этой системе (рис. 2) начало совпадает с полюсом, положительная полуось абсцисс — с полярной осью, положительная полуось ординат получается вращением полярной оси на угол я/2 против часовой стрелки. Полученную таким образом систему координат Оху называют сисглемой коордииагл, определенной полярной системой координат (О;Ц. Очевидно, что такое соответствие между полярными и прямоугольными системами координат биективно. Как легко видеть из рис.
2, прямоугольные координаты (х, у) точки М н ее полярные координаты «т, ггг) связаны соотношениями т = ~„/хх + ух, х = тсозсг, у = тэтр х х н т ~/хх + ух (25.1) у у зш г,а чгх~х 2+ ух Полярные координаты в пространстве. Обобщением полярной системы координат в пространстве являкггся цилиндрические и сферические системы координат. Пусть в пространстве заданы плоскость я и перпендикулярная к ней ось Ох. Пусть Π— точка пересечения оси Ох и плоскости я. И та и другая система координат состоят из полярной системы координат (О;г) плоскости я и оси Ох.
Обозначение: (О;1;х). Точка О называется полюсом, ось г — полярной осью, ось Ох — хеиипгиой осью. Цилиндрическими координатами точки М, не лежащей на зенитной оси, называется упорядоченная тройка чисел (т, гр, х), где (т, гд)— полярные координаты ортогональной проекции Р точки М на плоскость я, х — координата на зенитной осн ортогональной проекции Я точки М на зенитную ось (рис. 3). Для точек зенитной оси т = О и угол уг не определен.
Р33 Сферичесяими иоороииояиьии точки М, не лежащей на зенитной оси, называется (рис. 3) упорядоченная тройка чисел ~р,~о,д)„где р — расстояние от точки М до полюса О, И - угол между радиус-вектором ОМ и положительной полуосью Ох (отсчитываемый от ОА) против часс Вой стрелки, если смотре'гь из полярной оси), у — полярный угол точки Р. При атом у называется долготой тачки М, д — широтой, р — радиусом. Долгота не определена для всех точек зенитной оси, широта не олределена для полюса.
Рис. 3 Глава Ч1. Системы линейных алгебраических уравнений $ 26. Постановка задачи Терминология. Сисгпемоб го линейных алгебраических рравне- Ь ° ~ р Ь аых1 + ашхэ +... + аг„х„= Ьы а21х1 + аээхэ + ° ° + аэ ха Ьэ а тх~ + а эхт+ .. + атпхп = Ь, где а, ч Ь< ~э = Т, гп, д' = Т, и) — заданные вещественные числа, а хм..., х„— неизвестные величины. Числа а; называются квэффициенпшми сисшамы„а Ь, — свободными членами. Упорядоченная совокупность чисел сы..., с„Е Ж называется решением сисшемы„если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных хы, х„соответственно каждое уравнение обращается в тождество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
