В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3 30. Геометрические свойства решений системы Рассмотрим свойства решений системы линейных уравнений с точки зрения теории линейного пространства. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (30,1) с матрицей А й Ктахв. Каждое решение этой системы можно рассматривать как вектор арифметического пространства К". Совокупность всех решений системы (30,1) образует некоторое подмножестио пространства К". Выясним, какими свойствами оне обладает. Линейное подпространство решений однородной системы. Теорема 30.1. Множества всех решений однородной системы Ах = О с п неизвестными является линейным падпрострвнствам ври4метпичесивга прастпрпнствв К".
Доказательство. Обозначим Ь = 1х е Ко~Ах = О). Легко проверить, что если х е Ь, р е Ь, то х + у е Ь, и, кроме того, если о Е К, то ттх Е Ь. В силу теоремы 18.1 отситда следует, что Ь— линейное подпространство пространства К". ° Эта теорема позволяет энарнсоватье множество решений однородной системы, так как геометрическим обрезом линейного надпространства являются (518) прямая н плоскость, проходящие через начало координат, Произвольный базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений называется (Оундвментаяьнай системой решений. Понятно, что фундаментальная система решений существует лишь в том случае, когда однородная система имеет нетривиальное решение.
При этом система уравнений может обладать многими фундаментальными сисгемамн решений. Однако все эти системы состоят из одинакового числа векторов, равного максимальному числу линейно независимых решений однородной системы. Определим это число. Теорема 30.2. Размерность пространстве решений однородной системы Ах = 0 с и неизвгстпными равна и — г, гдв у'ж гй А. 330. Геометрические свойства решений системы 113 Доказательство. Построим фундаментальную систему решений.
Для этого воспользуемся аппаратом свободных неизвестных. Пусть х1, ..., хг — главные неизвестные. Придадим свободным неизвестным х„+ь..., хп следующие и — г наборов решений: (1,0,...,0), (О, 1,..., 0), ..., (О, О,, 1). Для каждого из этих наборов найдем соответствующие значения главных неизвестных.
Тем самым найдем и — г решений системы1 (с1ь сш,, с1„1,0,...,0) т (соь сш ..., сот, 0,1,...,О) т Е1 (сп — г,1~оп-гд~ . сп-тр 0 0 ° ° ° 1) Еп г Решения е1,..., еп г обладают следующими свойствами. 1. РЕШЕНИЯ Е1,..., Е„г ЛИНЕйиа НЕЗаВИСИМЫ, таК КаК Матрнца С11 С11 ... Сгг сг1 сэз -.. сэ, О 1 ° 0 сп-тл сп-тд ° ° . сп-г,т 0 О ° ° 1 имеет ранг, равный и — г (она с1щержит минор (п — г)-га порядка, отличный от нуля), а ранг матрицы согласно теореме 16.3 равен максимальному числу линейно независимых строк.
2. Любое решение х = (хь..., х„хг+ь..., хп)т является линейной комбинацией е1... е„„, и, более тога, (30.3) хг1-1е1 + - . + хпеп-г Действительна, обозначим у = х — хт+1е1 —... — хпеп,. Пусть у = (у1,...,уп)т, Очевидно, что у — решение системы. Найдем его, пользуясь общей теорией решения систем: придвдим свободным неизвестным значения ус+1,..., р,. Пользуясь соотношением (30.2), легка показать, что у +1 =... = уп тп О.
Следовательно, укороченная система будет однородной системой, имеющей единственное и, очевидно, тривиальное решение у1 =... = уг = О. Таким образом, у = О. Отсюда вытекает (ЗО.З). Из свойств 1 и 2 следует, что е1,, еп г — фундаментальная система решений, ° Построенная фундаментальная система решений называется нормальное фундаментальной спспммоб решеии6. Общий принцип построения фундаментальной системы решений следует из теоремы 30.21 так как размерность пространства решений однородной системы равна и — г, то для построения фунрвментааьной аистины решений достаточно найти любые и — г линейно независимых решений (3 17, утш.*рждение Ц. Для зтога достаточно свободным неизвестным придать т1 — 1" ЛИНейНО неэаанонмЫх В1борав значений, т.е.
наборов вида Глава ЪХ. Системы уравнений 114 (сЬг+ы' " ' гс1в)~ 1 (си-пг+н.."1са-пв)~ Дли ка1оРых с1л+1 " . с1в Фо. Са-г,~+1 ... Са-па (30.4) Если для каждого из этих наборов найти соответствующие значения главных неизвестных, то получим и — г решений системы. 1т е! = (с11з ° ~ с1г с1,~+3 ° 1 сгв) ЪТ е„„= (с „ы ..., с„,„с„, „+г, ..., с„,,„), линейяо независимых вследствие (30,4) Обмен решение одноро~рюй системы.
Фундаментальная сн; стима Решений ем..., е, однороДной системы линейных УРавнений позволяет записать любое решение системы в общем виде: х = а1е1+... + а„е„,, 'Фаы..., ав „б В. (30.5) Представление (30.5) Решения называется об нм ешекигм одководкой снсгпсмм уравнений через фщдьмскпиглькйю системр решении (в отличие от общего решения (23Х) через свободные неизвестные).
Линейное многообразие решений неоднородной системы. Пусть Ах =б (30.6) — неоднородная система линейных алгебраических уравнений, ОдноРодная система Ах=О, (30.7) полученная из системы (30.6) заменой свободных членов нулями, на-. зывается приведенной однородной системой для системы (30.6). Между решениями обеих систем существует тесная связь. Легко пРОвеРить следующие факты. 1'. Срмма решений неоднородной и приведенной однородной систем является решением кеодкородкой системы. 2'. Резкость двух реомкий неоднородной системы является решением приведенной однородной системы.
Т е о р ем а 30.3. Мкозхгстео всех решений неоднородной снспжмм является линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства решений приведенной однородной системьь ко частное решение неоднородной системы. Доказательство. Пусть Н вЂ” множество всех решений неоднородной системы (30.6), с — чвспюе его решение и Х вЂ” множество всех решений приведенной системы (30.7).
Покажем, что Н = с+ Х. Действительно, если г б Н, то г = с+ (г-с) = с+и, где х = г — с. Так ккк х Е Х (как Разность двух решений системы (30.6)), то г б с+ Х и, следовательно, Н С с+ Х. С другой стороны, если г 6 с+ Х, то у 30. 1'еаметрнческне свойства решений системы х = с+ я, т б Х. Значит„х Е Н как сумма решений неоднородной и приведенной систем. Следовательно, с+ Х, с Н и Н = с. + Ь. и Общее решение неоднородной системы. Итак, найдя одно (частное) решение неоднородной системы и прибавляя его к каждому решению приведенной системы„можно получить все решения неоднородной системы.
В силу (30.5) это позволяет записать решение неоднородной системы в общем виде следующим образом: (30.8) ~../ в = с + о1 е1 +... + схч,ев „, ~~а1,..., о„с б Й, 1де с — частное решение системы (30.6), а е1,..., е, — фундаментальная система решений системы (30.7). Представление (30.8) роше ния называется иле ешсниела мео орной системы уравнений ч а ~ гч ~н»ах~ба н однородной системы есп сумма частного решения неоднородной системы и общего решении приведенной однородной системы. Заме ьанне.
В соотвесствин с теоремой ЗО.З геометричесиим обратом множества всех решений неоднородной сиогемм уравнений слухшт прямая н плоскость, не проходяпШе через начало координат Д18). Глава И1. Алгебраические линии и поверхности первого порядка $ 31. Понятие об уравнениях линии и поверхности Пусть Оху и Охуг — аффннные системы координат на плоскости и в пространстве, Уравнение г(х,у) = О, (з1.Ц соответственно г'(х, у, г) = О, (31.г) называется уравнением линии Е на плоскости (поеерхности тт е пространстве) в заданной системе координат, еслн этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии Е (поверхности тг), ы только оии. Очевидно, что два уравнения в заданной системе ксюрдинат определяют одну и ту же линию (поверхность) тогда и тольиэ тогда, когда онн эквивалентны. Алгебраическим одночленом относительно переменных х, у (соответственно х, у, г) с вещественным коэффициентом Л называется выражение Лхгуг (Лхгугг ), (31.3) где р, а, г — целые неотрицательные числа.
Если Л ф О, то число р + а (соответственно р + д + г) называется сптепенью одночлена. Алгебраическим лтногочленогг относительно переменных х, у (х, у, г) с вещественными коэффициентами называется конечная сумма алгебраиче. ских одночлеков (31.3). Наибольшая степень одночленов, входящих в многочлен, называется степенью лтногочлена, Линия на плоскости (поверхность в пространстве) называется алгебраической, если в некоторой аффннной системе координат она определяется уравнением (31.1) (соответственно (31.2)), где Е(х, у) (соответственно Р(х, у,г)) — алгебраический многочлен от переменных х, у (х, у, г) с вещытвеннымн коэффициентами.
Степень многочлена Е(х, у) (соответственио г'(х, у, г)) называется порядком линии (поверхности). Корректность этого определения вытекает из следующей теоремы. Теорема 31.1 (об инвирмантности порядка). При переходе отп одной аффинной системы координат к другой алгебраическая линия (поеерхностпь) остаетсл алгебраической и тюрлдок ее не изме- 3 32. Уравнения лрямой наплоскости я плоскости в Пкктранстве 117 Доказательство проведем для линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
